如果出现下图所示的负循环,会有相关点的当前最短路径为undefined(即无法定义). 之前我们也看过通用的最短路径算法思路,如下图所示: 这种通用算法会有两个问题: 时间复杂度呈指数性. 如果出现负循环,最短路径的计算会无法中止. 第一个问题能被Dijkstra算法解决,但它不能解决负循环带来的问题,而这节课讲的Bellman-Ford算法适用于负权重和负循环的图下进行最短路径的计算. Bellman-Ford算法一个大概的计算思路如下: 简单来说,就是对所有点正常relax edge完后,进…

两道Bellman Ford解最短路的范例,Bellman Ford只是一种最短路的方法,两道都可以用dijkstra, SPFA做. Bellman Ford解法是将每条边遍历一次,遍历一次所有边可以求得一点到任意一点经过一条边的最短路,遍历两次可以求得一点到任意一点经过两条边的最短路...如 此反复,当遍历m次所有边后,则可以求得一点到任意一点经过m条边后的最短路(有点类似离散数学中邻接矩阵的连通性判定) POJ1556-The Doors 初学就先看POJ2240吧 题意:求从(0,5)到…

Currency Exchange Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 30000K Total Submissions: 22123   Accepted: 7990 Description Several currency exchange points are working in our city. Let us suppose that each point specializes in two particular currencies and pe…

题目链接:558 - Wormholes 题目大意:给出n和m,表示有n个点,然后给出m条边,然后判断给出的有向图中是否存在负环. 解题思路:利用Bellman Ford算法,若进行第n次松弛时,还能更新点的权值,则说明有负环的存在. #include <stdio.h> #include <string.h> #define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b) const int N = 10005; const int INF = 0x3f3f3f3f; i…

---恢复内容开始--- Bellman—Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题.对于给定的带权(有向或无向)图G=(V,E),其源点为s,加权函数w是边集E的映射.对图G运行Bellman—Ford算法的结果是一个布尔值,表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路.若存在负权回路,单源点最短路径问题无解:若不存在这样的回路,算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径值d[v] Bellman—Ford算法流程 分为三个阶段:       (1)初始化:将除源点…

Bellman - Ford 算法: 一:基本算法 对于单源最短路径问题,上一篇文章中介绍了 Dijkstra 算法,但是由于 Dijkstra 算法局限于解决非负权的最短路径问题,对于带负权的图就力不从心了,而Bellman - Ford算法可以解决这种问题. Bellman - Ford 算法可以处理路径权值为负数时的单源最短路径问题.设想可以从图中找到一个环路且这个环路中所有路径的权值之和为负.那么通过这个环路,环路中任意两点的最短路径就可以无穷小下去.如果不处理这个负环路,程序就会永远运…

[MIT6.006] 系列笔记将记录我观看<MIT6.006 Introduction to Algorithms, Fall 2011>的课程内容和一些自己补充扩展的知识点.该课程主要介绍了一些基础的算法,课程主要内容分为以下八个模块: 模块 例子 Algorithmic Thinking 算法思维 Peak Finding 峰值寻找 Sorting & trees 排序和树 Event Simulation 事务模拟 Hashing 哈希 Genome Comparison 基因组…

题意:题目大意:有N个点,给出从a点到b点的距离,当然a和b是互相可以抵达的,问从1到n的最短距离 poj2387 Description Bessie is out in the field and wants to get back to the barn to get as much sleep as possible before Farmer John wakes her for the morning milking. Bessie needs her beauty sleep, s…

Arbitrage Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions:27167   Accepted: 11440 Description Arbitrage is the use of discrepancies in currency exchange rates to transform one unit of a currency into more than one unit of the same currenc…

传送门:点击打开链接 题目大意:一个城市有n种货币,m个货币交换点,你有v的钱,每个交换点只能交换两种货币,(A换B或者B换A),每一次交换都有独特的汇率和手续费,问你存不存在一种换法使原来的钱更多. 思路:一开始以为一个地方只能用一次,感觉好像有点难,后来发现自己读错题了,其实只要判断给你的这幅图存不存在正环就可以了,用dis[]表示某种货币的数量,然后bellman判断正环就可以了.(题目里强调结尾一定要原来的货币,但其实这是废话,因为是以原来的货币为起点的,所以你换出去了一定换的回来),正…

在整理课程笔记前,先普及下课上没细讲的东西,就是下图,如果有个操作g(x),它最糟糕的时间复杂度为Ο(c2 * n),它最好时间复杂度是Ω(c1 * n),那么θ则为Θ(n).简单来说:如果O和Ω可以用同一个多项式表示,这里为c * n,那么这个多项式n就是我们所要求的渐进紧的界θ了: 上节课我们讲了下图的散列表: 有个问题就是怎么去选择散列表的大小m? 有个方法就是先假设从一个小的m=8开始,然后按照需求进行增长/缩短. 这里举个例子:如果n > m (n为key space的大小,m为散列表…

这道题稍复杂一些,需要掌握字符串输入的处理+限制了可以行走的时间. ZOJ1791(POJ1613)-Cave Raider //限制行走时间的最短路 //POJ1613-ZOJ1791 //Time:16Ms Memory:324K #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define MAX 505 #d…

Wormholes Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 35103   Accepted: 12805 Description While exploring his many farms, Farmer John has discovered a number of amazing wormholes. A wormhole is very peculiar because it is a one-way p…

#include<iostream>#include<cstdio>#include<utility>#include<queue>#include<cstring>using namespace std;#define INF 1000000000int d[20005];int n,m,a,b,c;int u[200005];int v[200005];int l[200005];int nxt[200005]; // next[e] 记录e…

题目大意:原题链接 当排队等候喂食时,奶牛喜欢和它们的朋友站得靠近些.FJ有N(2<=N<=1000)头奶牛,编号从1到N,沿一条直线站着等候喂食.奶牛排在队伍中的顺序和它们的编号是相同的.因为奶牛相当苗条,所以可能有两头或者更多奶牛站在同一位置上(即间距可能为0).即是说,如果我们想象奶牛是站在一条数轴上的话,允许有两头或更多奶牛拥有相同的横坐标. 一些奶牛相互间存有好感,它们希望两者之间的距离不超过一个给定的数L.另一方面,一些奶牛相互间非常反感,它们希望两者间的距离不小于一个给定的数D.…

算法名称 适用范围 算法过程 Dijkstra 无负权 从s开始,选择尚未完成的点中,distance最小的点,对其所有边进行松弛:直到所有结点都已完成 Bellman-Ford 可用有负权 依次对所有边进行松弛,一共对所有边松弛n-1次,判断是否有负权 Floyd 无负权 依次对所有点(的所有边进行松弛),直到完成对所有点的操作…

这节课主要讲的计算复杂度,一般有三种表达不同程度的计算复杂度,如下图所示: P:多项式时间: EXP:指数时间: R:有限时间内. 上图还给了一些问题的计算复杂度的对应结果,关于一些细节例如NP, NP-hard等,下面会深入讲到. 在现实应用中,大多数决策问题是不可计算的. 我们先来看下NP是什么? 答:NP是一种计算复杂度,指在运气好的算法下,决策问题能在多项式时间下得到解决.另外,也可以被理解为:决策问题的解决方法能在多项式时间下被检查.百度给出的解释是:NP类问题:所有的非确定性多项式时…

之前我们讲到动态规划五步中有个Guessing猜,一般情况下猜有两种情况: 在猜和递归上:猜的是用于解决更大问题的子问题: 在子问题定义上:如果要猜更多,就要增加更多子问题. 下面我们来看如果像背包问题那样子问题比较多,该怎么去解决? 一.Piano / Guitar Fingering 给定n个按键,找到每个键应该用哪只手指去按.假设有F个手指,刚开始手指f按在p键上,如果转移到用手指g按键q,这个转移难度为定义为d(p, f, q, g). 动态规划的解决思路如下(红叉内的内容是因为只考虑了…

这节课主要针对字符串/序列上的问题,了解如果使用动态规划进行求解.上节课我们也讲过使用前缀和后缀的概念,他们如下所示: 接下来,我们通过三个问题来深入了解下动态规划使用前缀.后缀和子串怎么去解决括号问题,编辑距离,背包问题. 一.括号问题 Parenthesization 在进行一些列矩阵乘法时,我们如果设计括号,可以使计算更加高效? 解决过程如下图所示: 子问题:求矩阵们A的最优相乘方式: 猜:上一次矩阵相乘应在哪? 递归:最小化矩阵相乘的损失: 拓扑排序:增加子串的大小: 原问题:DP(0,…

这节课通过讲解动态规划在文本对齐(Text Justification)和黑杰克(Blackjack)上的求解过程,来帮助我们理解动态规划的通用求解的五个步骤: 动态规划求解的五个"简单"步骤: 定义子问题: 猜部分解决方法: 关联子问题的解决方法; 递归&记录 或者 构建自下向上的动态规划表: 解决原问题. 拿上节课的例子(斐波那契数和最短路径)来看,如下图所示: 一.文本对齐 首先,我们先看下文本对齐问题,在使用word排版文字的时候,为了排版美观,我们常会用到文本两端对齐…

这节课讲动态规划的内容,动态规划是一种通用且有效的算法设计思路,它的主要成分是"子问题"+"重用".它可以用于斐波那契和最短路径等问题的求解上. 一.斐波那契 首先,我们来看下斐波那契问题是什么?传统做法和动态规划法有什么区别? 从上图就能很明显地看出动态规划采用了memorization的思路,将历史计算结果保存下来,这样就能避免递归过程中的重复计算. 我们总结动态规划在求解斐波那契数的内容如下: 记录召回(Memorized calls)只花常数时间.动态规划大…

在之前的课我们讲过了Dijkstra算法,先回顾下,如下图: 那么如果加速DIjkstra算法寻找最短路径呢?这节课上讲师讲了两种方法:双向搜索(Bi-Directional Search)和目标方向搜索(Goal-Directed Search). 一. 双向搜索(Bi-Directional Search) 在正式介绍双向搜索方式前,需要介绍下一个它的双向概念是什么样的,如下图所示: 总结来说就是forward和backward方向上分别定义各自的图变量(例:当前最小路径权重和df, db …

先回顾下上节课的内容: 下面来看一个定理:对于所有的点来说,放松操作总是满足 d[v] ≥ δ(s, v).即点s到点v的最短路径总是小于或等于当前点d的路径权重.证明如下: 在正是进入复杂的图前,先看个简单的有向非循环图DAG(Directed Acyclic Graphs),内无负循环.下图是讲DAG如何找最短路径: 如果有循环且无负权重边呢?可以使用Dijkstra算法,具体如下: 由于Dijkstra算法有三个主要操作:插入点的优先队列,抽取最小优先值,减键操作.所有最后Dijkstra…

首先简单介绍下最大路径问题:给定一个加权图,找到两点之间最短加权路径,本质上就是求两点之间哪条路径的权重和最小.有两种算法去做:Dijkatra和Bellman-Ford,后面几节课会专门讲这两个算法. 下面我们先来看看加权图中是怎么定义最短路径和一些数据结构的概念的: 其实主要就下面两个概念需要注意: d(v):点v的当前权重值. ∏(v):点v的最佳路径来源点. (注:在权重图初始化时,除出发点s,其他点的权重都为无穷,只有达到它们后计算相应的权重,他们的当前权重才会改变,而最短路径就是为了…

一.深度优先搜索 它的定义是:递归探索图,必要时要回溯,同时避免重复. 关于深度优先搜索的伪代码如下: 左边DFS-Visit(V, Adj.s)是只实现visit所有连接某个特定点(例如s)的其他点.右边是实现整张图的visit,即DFS(v, Adj).DFS-Visit是DFS的重要组成模块. 用上图右侧的实例图解释下运作过程: 先从a出发,DFS-Visit到b上. 递归到b上,从b出发,DFS-Visit到e上. 递归到e上,从e出发,DFS-Visit到d上. 递归到d上,从d出发,…

一.图 在正式进入广度优先搜索的学习前,先了解下图: 图分为有向图和无向图,由点vertices和边edges构成.图有很多应用,例如:网页爬取,社交网络,网络传播,垃圾回收,模型检查,数学推断检查和解谜等. 下面拿Pocket Cube魔方(2x2x2立方体魔方)来举个例子: 对于解魔方来说,可以先构建一个初始图,画出每个小立方可能状态上的点,还有可能移动的边,示意图如上图所示,这里讲师没有过多讲解其中的数学内容,只需要了解图在魔方上的解答应用. 二.图的表示 作者讲了三种图的表示方法:邻接表…

首先让我们回顾下上节课讲的,用牛顿法计算√2的内容: 简单来说,牛顿法从x0=1不断向后计算逼近√2的值,而刚开始计算的精度是1,随着牛顿法的逼近(共log2d个循环),就能使得√2逼近值的精度达到d.在逼近过程中,精度的变化为Quadratic convergence二次收敛趋势(即1,2,4,6,....),为了证明这个,讲师给出了下图内容: 假设xn = √a (1+εn) 且εn随着n增加,不断趋于0,本质上来说就是xn = √a,加了(1+εn)是为了方便我们证明二次收敛的存在.之后根…

很多人不喜欢√2的表达,他们认为它不是一个数. 一.卡塔兰数 Catalan numbers 在数方面上,有个著名的数叫卡塔兰数 Catalan numbers,它是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.其中它能解决一个叫求括号化方案数量的问题.如图下: 在卡塔兰数下,设P为平衡的父字符串集. (1)λ属于P集合(λ是空字符串): (2)如果α,β都属于P,则(α)β 也属于P. 如果现在有个空字符串(C0=1)和一对括号(C1=1),则C2=C0C1 + C1C0.归纳结果则为:Cn+1…

前几节课讲散列表的时候,我们需要用Chaining,链接法需要用到指针pointer,但有一种方法可以不要Chaining和指针,还能在发生冲突时,为产生冲突的关键字寻找下一个"空"的Hash地址.这种方法叫:开放定址法(Open Addressing)如下图所示: 在开放定址法中,用到探测法(Probing),它是让Hash函数指定slot的顺序去进行关键字key的探索,从而进行插入/查找/删除操作.简单来说,上图的例子就能看懂probing的运作机制了.为了方便确认slot是否已有…

一.字典 在之前课里,如果我们要实现插入,删除和查找,使用树结构,最好的时间复杂度是AVL下的Ο(log2n),使用线性结构,最好的复杂度为基数排序Ο(n).但如果使用字典数据类型去做,时间复杂度可为Ο(1).下面是对字典和Python中字典的相关内容: 字典本质上就是一个直接可接入的表,每个键内可存放一个数列的items.但因此也有坏处: 键不一定为非负整数: 消耗大量内存空间. 为了解决这两个问题,散列表被提出来了. 二.散列表 首先我们看下散列表是怎么解决字典第一个问题:键不一定为非负整数…