FFT和NTT学习笔记 算法导论 参考(贺) http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform https://blog.csdn.net/qq_38944163/article/details/81835205 https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/FFT.html [TOC] 概述 目的 以$O(nlg_n)$的时间复杂度计算多项式乘法 多项式的表达 系数表达: \(\{a_0, a_1,…

和\(FFT\)相对应的,把单位根换成了原根,把共轭复数换成了原根的逆元,最后输出的时候记得乘以原\(N\)的逆元即可. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long const int MAXN = 3 * 1e6 + 10, P = 998244353, G = 3; LL a[MAXN], b[MAXN]; int N, M, limit = 1, L, r[MAXN], Gi; inline LL…

参考资料 picks miskcoo menci 胡小兔 unname 自为风月马前卒 上面是FFT的,学完了就来看NTT吧 原根 例题:luogu3803 fft优化后模板 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; int n, m, lim=1, rev[2100005]; const double PI=acos(-1.0); struct Complex…

具体原理就不讲了qwq,毕竟证明我也不太懂 FFT(快速傅立叶变换)&NTT(快速数论变换) FFT //求多项式乘积 //要求多项式A和多项式B的积多项式C //具体操作就是 //DFT(A),DFT(B)->暴力乘积->拉格朗日插值(即IDFT(C))->C //其中DFT表示离散傅里叶变换 //通俗的来说就是用点值表示多项式 //使用神秘单位复数根将时间复杂度降至O(nlogn) //ps:但是常数巨大 //pps:应用非常广泛,非常多题目都要fft or ntt优化,板子…

引入 \(\tt NTT\) 和 \(\tt FFT\) 有什么不一样呢? 就是 \(\tt NTT\) 是可以用来取模的,而且没有复数带来的精度误差. 最最重要的是据说 \(\tt NTT\) 常数小的很,可以在这一方面吊打 \(\tt FFT\) . 至于对于不用取模的多项式乘法怎么做,可以给他附一个非常大的模数. 但是如果遇到有非整数的系数的多项式还是只能看 \(\tt FFT\) 了. 正文 \(\tt NTT\) 的前置知识比 \(\tt FFT\) 的要简单的多. 原根 对于 \(p…

0. 前置芝士 基础群论 复数 \(\mathbb C = \mathbb R[x^2+1]\) 则有 \(i^2+1=(-i)^2+1=0\),\(i \in \mathbb C - \mathbb R\) \(i^0=1;i^1=i;i^2=-1;i^3=-i;i^x=i^{x \bmod 4}(x \in \mathbb Z)\) 定理 0.1(欧拉公式) \(e^{ik} = \cos k + i \sin k\) 证明: (因为这里辛辛苦苦打出来的 \(\sf \LaTeX\) 炸了,…

这两天有点颓,所以东西学的也很慢...这个一眼就能推出来的活生生卡了我两天.. 说几个细节: 柿子: \[f*g = (\frac{f}{M} +f\%m)*(\frac{g}{M} +g\%m) \] \(M\)通常设置为\(32768\).把上一步的几个韩束化成\(a,b,c,d\)的形式,答案就是: \(M * M * a * c+M * (a * d + b *c) +b * d\) 一看卷积,多搞几次\(FFT\)就过去了. 处处小心膜爆.有效方法如下. #define int lon…

先要学会FFT[学习笔记]FFT——快速傅里叶变换 一.简介 FFT会爆精度.而且浮点数相乘常数比取模还大. 然后NTT横空出世了 虽然单位根是个好东西.但是,我们还有更好的东西 我们先选择一个模数,$const\space int\space p=998244353$ 设g为p的单位根.这里就是3 那么有:$(\omega_n^1)^n = g^{p-1}=1\space mod \space p$ 那么,假设$x=(\omega_n^1)$ 其中一个解可以是:$x=g^{\frac{p-1}…

目录 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 引入 快速数论变换--NTT 一些引申问题及解决方法 三模数 NTT 拆系数 FFT (MTT) 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 \(NTT\) 在某种意义上说,应该属于 \(FFT\) 的一种优化. --因而必备知识肯定要有 \(FFT\) 啦... 如果不知道 \(FFT\) 的大佬可以走这里 引入 在 \(FFT\) 中,为了能计算单位原根 \(\omega\) ,我们使用了 \(\text{C++}\) 的 math 库中的…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 写在前面 一些约定 前置知识 同余类和剩余系 欧拉定理 阶 原根 求原根 NTT NTT的定义 从单位根到原根 常用NTT模数表 NTT的实现 写在前面 为了不使篇幅过长,预计将把学习笔记分为四部分: DFT,IDFT,FFT的定义,实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) NTT的实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二) 任意模数NTT与FFT的优化技巧…

第三波,走起~~ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ 单位根反演 今天打多校时 1002 被卡科技了--赛场上看出来是个单位根反演但不会,所以只好现学这东西了( 首先你得知道单位根是什么东西,对于 \(n\) 次方程 \(x^n-1=0(x\in\mathbb{C})\),在复数域上有 \(n\) 个根,其对应到复平面上就是单位圆的 \(n\) 等分点,我们将这些单位根从 \(x\) 轴正半轴开始顺时针依次…

引入 可能有不少OIer都知道FFT这个神奇的算法, 通过一系列玄学的变化就可以在 $O(nlog(n))$ 的总时间复杂度内计算出两个向量的卷积, 而代码量却非常小. 博主一年半前曾经因COGS的一道叫做"神秘的常数 $\pi$"的题目而去学习过FFT, 但是基本就是照着板子打打完并不知道自己在写些什么鬼畜的东西OwO 不过...博主这几天突然照着算法导论自己看了一遍发现自己似乎突然意识到了什么OwO然后就打了一道板子题还1A了OwO再加上午考试差点AK以及日更频率即将不保于是就有了…

解决涉及子集配凑的卷积问题 一.介绍 1.基本用法 FWT快速沃尔什变换学习笔记 就是解决一类问题: $f[k]=\sum_{i\oplus j=k}a[i]*b[j]$ 基本思想和FFT类似. 首先转化成为另一个多项式$FWT(A),FWT(B)$ 使得:$FWT(A\oplus B)=FWT(A)×FWT(B)$ 这里,$×$是按位乘.这个是$O(n)$的. 然后,再$IFWT$回去即可. 类似于,直接过马路不好走.先从左边走上一座天桥,再从天桥走过去,再到马路右侧走下天桥. 就变成了$O(…

FWT学习笔记 引入 一般的多项式乘法是这样子的: \(c_i=\sum_{i,j}a_j*b_k*[j+k==i]\) 但是如果我们将这个乘法式子里面的+号变换一下变成其他的运算符号呢? \(c_i=\sum_{i,j}a_j*b_k*[j\oplus k==i]\) 其中\(\oplus\)可以取\(and,or,xor\) 这个时候FFT和NTT就没有什么用了... 前人的智慧是无穷的! 考虑一个神奇的算法:FWT(快速沃尔什变化) or卷积 先从最容易的or卷积下手. 我们考虑他给出的式…

点亮技能树行动-- 本篇blog按照分类将网上写的OI知识点归纳了一下,然后会附上蒟蒻我的学习笔记或者是我认为写的不错的专题博客qwqwqwq(好吧,其实已经咕咕咕了...) 基础算法 贪心 枚举 分治 倍增 构造 高精 模拟 图论 图 最短路,次短路 k短路 差分约束 最小生成树 拓扑排序 欧拉图 二分图染色,二分图匹配 最大团,最大独立集 tarjan找scc.桥.割点,缩点 网络流 最大流,最小割,费用流 有上下界的网络流 分数规划 2-SAT 树 LCA 最近公共祖先 树的直径 树的重心…

Spring实战第六章学习笔记----渲染Web视图 理解视图解析 在之前所编写的控制器方法都没有直接产生浏览器所需的HTML.这些方法只是将一些数据传入到模型中然后再将模型传递给一个用来渲染的视图.尽管我们编写了几个JSP视图但控制器不关心这些. 将控制器请求处理的逻辑和视图中的渲染实现解耦是SpringMVC的一个重要特性.而控制器只通过逻辑视图名来了解视图,这时就需要Spring视图解析器了. SpringMVC定义了一个名为ViewResolver的接口,大致如下所示: public i…

定义 多项式 系数表示法 设\(A(x)\)表示一个\(n-1\)次多项式,则所有项的系数组成的\(n\)维向量\((a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n-1})\)唯一确定了这个多项式. 即 \[A(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\] \[=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\] 点值表示法 将\(n\)个互不相同的\(x\)代入多项式,会得到\(n\)个互不相同的取值\(y\).设他们组成的\(n\)维向量分别…

目录 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 必备芝士 点值表示 复数 傅立叶正变换 傅里叶逆变换 FFT 的代码实现 还会有的 NTT 和三模数 NTT... 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 几个星期之后,继 扩展欧拉定理 之后, \(lj\) 大佬又给我们来了一发数论... 虽然听得心态爆炸, 但是还好的是没有 \(ymx\) 大佬的飞机开得好... 至少我还没有坐飞机... 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 首先,你需要知道 矩阵乘法 的相关知识. 通过…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 写在前面 为什么写这篇博客 一些约定 前置知识 多项式卷积 多项式的系数表达式和点值表达式 单位根及其性质 DFT和IDFT DFT的过程 IDFT的过程 FFT FFT的数学证明及时间复杂度分析 FFT的递归实现 FFT的非递归实现 FFT的局限性 例题 写在前面 为什么写这篇博客 笔者去年暑假刚刚学习过FFT,NTT的一些基础应用.但当时对FFT和NTT的理解还不够深入.本博客参考2016年国家…

之前听说过webpack,今天想正式的接触一下,先跟着webpack的官方用户指南走: 在这里有: 如何安装webpack 如何使用webpack 如何使用loader 如何使用webpack的开发者服务器 一.安装webpack 你需要之前安装node.js $ npm install webpack -g 安装成功后,便可以使用webpack命令行了. ok,开始工作! 二.新建一个空目录,名字为myApp,文件如下 entry.js document.write("It works.&qu…

1.  开始 这几天,看了李炎恢老师的<PHP第二季度视频>中的“章节7:创建TPL自定义模板”,做一个学习笔记,通过绘制架构图.UML类图和思维导图,来对加深理解. 2.  整体架构图 3.  UML类图 4.  思维导图 (右键查看图片可放大) 5.  PHP代码 我已经把有关这部分PHP代码,上传到git.oschina.net上,可以在 https://git.oschina.net/andywww/myTest 的文件夹template_Study下看到相关的完整代码. templa…

1.开始 最近开始学习李炎恢老师的<PHP第二季度视频>中的“章节5:使用OOP注册会员”,做一个学习笔记,通过绘制基本页面流程和UML类图,来对加深理解. 2.基本页面流程 3.通过UML类图解析: 4.PHP代码: 我已经把有关这部分PHP代码,上传到git.oschina.net上,可以在 https://git.oschina.net/andywww/myTest 的文件夹 login1下看到相关的完整代码. (完.)…

2014年暑假c#学习笔记 一.C#编程基础 1. c#编程基础之枚举 2. c#编程基础之函数可变参数 3. c#编程基础之字符串基础 4. c#编程基础之字符串函数 5.c#编程基础之ref.out参数 二.C#winform编程 1.C#WinForm基础制作简单计算器 2.C#WinForm基础Email分析器 3.C#WinForm基础累加器 4.C#WinForm基础图片(显示和隐藏) 5.C#WinForm基础登陆失败三次退出系统 6.C#WinForm基础城市选择器 三.c#面向…

2014年暑假JAVA GUI编程学习笔记目录 1.JAVA之GUI编程概述 2.JAVA之GUI编程布局 3.JAVA之GUI编程Frame窗口 4.JAVA之GUI编程事件监听机制 5.JAVA之GUI编程窗体事件 6.JAVA之GUI编程Action事件 7.JAVA之GUI编程鼠标事件 8.JAVA之GUI编程键盘码查询器 9.JAVA之GUI编程列出指定目录内容 10.JAVA之GUI编程弹出对话框Dialog 11.JAVA之GUI编程菜单 12.JAVA之GUI编程打开与保存文件…

原文地址:seaJs学习笔记2 – seaJs组建库的使用 我觉得学习新东西并不是会使用它就够了的,会使用仅仅代表你看懂了,理解了,二不代表你深入了,彻悟了它的精髓. 所以不断的学习将是源源不断. 最近在学习seaJs和AngualrJs的指令和服务,感觉angularjs实在太强大了,好吧,步入主题,今天在深入了解seaJs的时候发现了一款神器,不过这款神奇貌似没有更新和维护了,但我测试了一下,还是可以用的. 这款神奇就是SeaJS 组件库 ,Sea.js 是一个适用于 Web 浏览器端的模块…

CSS学习笔记 2016年12月15日整理 CSS基础 Chapter1 在console输入escape("宋体") ENTER 就会出现unicode编码 显示"%u5B8B%u4F53" 就是\5B8B\4F53 font-family: 中文,英文,最好的是unicode编码 eg. font-family: "SimSun","SimHei",sans-serif; 字体名称 英文名称 Unicode 编码 宋体 S…

HTML学习笔记 2016年12月15日整理 Chapter1 URL(scheme://host.domain:port/path/filename) scheme: 定义因特网服务的类型,常见的为http host: 定义域主机(http的默认主机是www) domain: 定义因特网域名 port: 定义端口号,默认是端口80 path: 网页在服务器上的路径 filename: 文件名称 htm & html 文件名的区别: 之前的老版本系统只支持显示3位的文件名后缀,所以使用htm 现…

今天要学习的这篇文章写的算是比较早的了,大概在DX11时代就写好了,当时龙书11版看得很潦草,并没有注意这篇文章,现在看12,觉得是跳不过去的一篇文章,地址如下: https://msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/ee417025(v=vs.85).aspx . 我本意是记录下学习笔记,但可能写成了翻译,但这也没有办法的事,MSDN的写作风格就是简单凝练,缺少参考索引,所以看MSDN往往也就是读完正文,点点加有超链接的名词,顶多再跑…

ucos另一种任务间通信的机制是消息(mbox),个人感觉是它是queue中只有一个信息的特殊情况,从代码中可以很清楚的看到,因为之前有关于queue的学习笔记,所以一并讲一下mbox.为什么有了queue机制还要用mbox呢,只要设置queue的msg只有一个不就行了?其实很简单,就是为了节约资源,因为使用queue的话需要专门描述queue的机构体os_q,同时需要分配一段内存用来存放msg,而如果直接使用mbox机制的话,就好多了,节约..... 首先从mbox的创建开始,mbox创建的函…