[实变函数]5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介

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[实变函数]5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介

1 Riemann 积分的局限性 (1) Riemann 积分与极限的条件太严: $$\bex f_k\rightrightarrows f\ra \lim \int_a^b f_k =\int_a^b \lim f_k. \eex$$ 这 ``一致收敛'' 极大地限制了 Riemann 积分的应用. (2) 积分运算不完全是微分运算的逆运算: $$\bex f\mbox{ 在 }x\mbox{ 连续}\ra \frac{\rd}{\rd x}\int_a^x…

[实变函数]5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分

本节中, 设 $f,g,f_i$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数, $A,B$ 是 $E$ 的可测子集. 1 定义: (1) $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分 $$\bex \int_E f(x)\rd x =\sup\sed{\int_E\phi(x)\rd x; 0\leq \phi\leq f}. \eex$$ (2) $f$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积 $\dps{\lra \int_Ef…

[实变函数]5.2 非负简单函数的 Lebesgue 积分

1 设 $$\bex \phi(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}(x),\quad c_i\geq 0, \eex$$ 其中 $$\bex E_i\mbox{ 可测},\quad E_i\mbox{ 两两不交},\quad E=\cup_{i=1}^j E_i, \eex$$ 则定义 $$\bex \int_E \phi(x)\rd x=\sum_{i=1}^…

[实变函数]5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分

1 记号: 一元函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 (1)Riemann 积分: $\dps{(R)\int_a^b f(x)\rd x}$; (2)Lebesgue 积分: $\dps{(L)\int_{[a,b]}f(x)\rd x}$. 2回忆 (1)Riemann 积分: 对函数 $f:[a,b]\to \bbR$ 及 $[a,b]$ 的任一分划 $$\bex T:\ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,\quad\sex{\mbox{细度 }\sen{T}=\ma…

[实变函数]5.4 一般可测函数的 Lebesgue 积分

1定义 (1)$f$ 在 $E$ 上积分确定 $\lra$ $\dps{\int_Ef^+(x)\rd x<+\infty}$ 或 $\dps{\int_Ef^-(x)\rd x<+\infty}$; 此时称 $$\bex \int_E f(x)\rd x=\int_Ef^+(x)\rd x -\int_Ef^-(x)\rd x \eex$$ 为 $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分. (2)$f$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积 $\lra$ $\dps{\int_Ef^…

[实变函数]5.6 Lebesgue 积分的几何意义 $\bullet$ Fubini 定理

1 本节推广数学分析中的 Fubini 定理. 为此, 先引入 (1)(从低到高) 对 $A\subset \bbR^p, B\subset\bbR^q$, $$\bex A\times B=\sed{(x,y);x\in A, y\in B} \eex$$ 称为 $A$ 与 $B$ 的直积 (direct product). (2)(从高到低) 设 $E\subset \bbR^{p+q}$, $x\in \bbR^p$, 则称 $$\bex E_x=\sed{y\in\bbR^q;(x,y)…