P4128 [SHOI2006]有色图 题目描述 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图.如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的.以下两张图就是同构的,因为假如你把第一张图的顶点\((1,2,3,4)\)置换成第二张图的\((4,3,2,1)\),就会发现它们是一样的. 你的任务是,对于计算所有顶点数为\(n\),颜色种类不超…

传送门 数学渣渣看题解看得想死Ծ‸Ծ 首先发现这玩意儿看着很像polya定理 \[L=\frac{1}{|G|}\sum_{i\in G}m^{w(i)}\] 然而polya定理只能用来求点的置换,边的置换是布星的 于是我们考虑一个点的置换,把它写成若干循环的乘积\((a_1,a_2,..)(b_1,b_2,...)...\) 1.对于不在同一个循环里的点,比方说一条边\((a_1,b_1)\),那么和它在同一个循环的边有\(((a_1,b_1),(a_2,b_2),...)\)设\(a\)的循…

题目传送门:洛谷 P4128. 计数好题,原来是 13 年前就出现了经典套路啊.这题在当年应该很难吧. 题意简述: \(n\) 个点的完全图,点没有颜色,边有 \(m\) 种颜色,问本质不同的图的数量对质数 \(p>n\) 取模. 本质不同指的是在点的 \(n!\) 种不同置换下不同. 题解: 首先有 \(\mathrm{P\acute{o}lya}\) 定理:一类元素在一个置换群的作用下本质不同的元素(不同等价类)个数等于 \(\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}M(g)\).…

Description 给一张 \(n\) 个点的无向完全图,同时还有 \(m\) 种颜色.要求给每条边染色,问有多少种不同的染色方案.两种方案不同当且仅当顶点标号任意重排后不同.\(n\leq 53\). Solution 好吧上课讲的题我还研究了一整个二晚的题解 上课睡觉就是不应该 首先这题要求边的不同染色方案,如果要用 \(burnside\) 或者 \(polya\) 那一套的话需要求边的置换,但是判断方案是否相同又是点的置换.好吧我们考虑点的置换看看在中间能不能统计出来边的置换的方案数…

置换数量是阶乘级别的,但容易发现本质不同的点的置换数量仅仅是n的整数拆分个数,OEIS(或者写个dp或者暴力)一下会发现不是很大,当n=53时约在3e5左右. 于是暴力枚举点的置换,并且发现根据点的置换我们得到的实际上是边的置换,暴力数一下循环节就好了.3e5*50*50,luogu上过掉了.诶怎么bzoj上开的时限总共只有4s啊? 考虑数边置换的循环节时不那么暴力.显然两端点在同一循环内的边和在不同循环内的边是不可能处于同一边的循环的,并且第一种情况只与该循环长度有关,第二种情况只与两循环长度…

1815: [Shoi2006]color 有色图 Time Limit: 4 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 136  Solved: 50[Submit][Status] Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output…

BZOJ1815: [Shoi2006]color 有色图 Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output output 1 4 题解Here! 经典Polya计数. 不想再写一遍了,正解戳这里.…

题意 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图. 如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的. 对于计算所有顶点数为 \(n\) ,颜色种类不超过 \(m\) 的图,最多有几张是两两不同构的图. 数据范围 \(n \le 53, 1 \le m \le 1000\) 题解 神仙题qwq 我们考虑对于点置换与其对应的边置换的关系: 对…

传送门 题意: 染色图是无向完全图,且每条边可被染成k种颜色中的一种.两个染色图是同构的,当且仅当可以改变一个图的顶点的编号,使得两个染色图完全相同.问N个顶点,k种颜色,本质不同的染色图个数(模质数N≤53,P<109). 想了一节课和一中午又看了课件 相同类型的循环合并的想法很巧妙 首先,点的置换对应唯一边的置换,我们可以枚举所有点的置换,找出每个置换下边置换的循环有多少个,然后套$Polya$公式 但是复杂度带叹号 我们发现,很多点置换类型是一样的,我们可以对$n$搜索划分来枚举点置换的类…

题意 用 \(m\) 种颜色,给 \(n\) 个点的无向完全图的 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 条边染色,两种方案相同当且仅当一种方案交换一些点的编号后可以变成另一种方案.问有多少本质不同的染色方案. \(n\le 53, m\le 1000, n<mod\le 10^9\) 且 \(mod\) 为质数. 分析 考虑 \(Polya​\) 定理. 假设已经枚举了一个点置换(对应唯一一种边置换),能否快速求出对应边的置换的循环个数? 对于两个点的循环(设长度分别为 \(l_1,l_2\…

参考 https://wenku.baidu.com/view/fee9e9b9bceb19e8b8f6ba7a.html?from=search### 的最后一道例题 首先无向完全图是个若干点的置换,但是实际上要染色边,也就是要求边的置换 首先,通过dfs构造一个点的置换,然后再把每个置换分割加起来就是答案(实际上分割方案很少) 那么现在有一个点置换的长度(a1,a2,a3...),考虑边置换,一条边(pi,pj),如果pi,pj在不同的置换里,那么显然循环节是lcm(ai,aj),所以循环个…

首先发现这题虽然是边的置换,但是是由点的置换所造成的,并且发现点置换对应的所有边置换和置换操作构成置换群. 由于颜色可以全选,那么根据 Polya 定理,答案为: \[|X / G| = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} |B| ^ {c(g)} \] 注意到不同点的置换对应边置换不同,那么只需要考虑每个点置换对应边置换的贡献之和. 对于一个点置换,发现一个点循环置换内部导出子图的边一定置换到另一条也在导出子图当中的边,因此考虑分边循环置换是否在导出点循环置换…

传送门 显然求出每一个环的大小. Ans=∏i(siz[i]+1)Ans=\prod_i(siz[i]+1)Ans=∏i​(siz[i]+1) 注意用高精度存答案. 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; inline int read(){ int ans=0; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch))ch=getchar(); while(isdigit(ch))ans=(ans<<3…

题面 本质上是在对边求置换,然后每个循环里涂一样的颜色,但是还是要点上入手,考虑每条边的两个端点是否在一个循环里 如果在一个循环里,那么当循环长度$len$为奇数时只有转一整圈才行,而边的总数是$\frac{len(len-1)}{2}$,所以有$\frac{\frac{len(len-1)}{2}}{len}=\left\lfloor\frac{len}{2}\right\rfloor$个循环节:当循环长度为偶数时除了上面这种情况正对的每对点旋转$\frac{len}{2}$就可以,所以也是有…

由于有很多本质相同的重复置换,我们先枚举各种长度的点循环分别有多少个,这个暴搜的复杂度不大,n=53时也只有3e5左右.对于每种搜索方案可以轻易求出它所代表的置换具体有多少个. 但我们搜索的是点置换组成的循环,要求的是边置换组成的循环.现在问题就是对于每种搜索方案,求出有多少个边循环. 首先,如果一条边的两个端点属于同一点循环,另一条边的端点属于两个不同点循环,那么显然这两条边不可能属于同一边循环. 对于一个长度为L的点循环,观察发现所有两个端点都属于这个点循环的边构成了L/2个边循环. 对于两…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1815 这道题好难啊,组合数学什么根本不会啊qwq 题解详见08年的Pólya计数论文. 主要思想是只枚举具有代表性的点的置换,算出这些点的置换造成的边的置换的保持不变的着色数(边的置换的保持不变的着色数我想了一天啊_(:з」∠)_),最后再乘上与这种具有代表性的点的置换同类的点的置换总数就可以了. WA了好几次,中间一个地方忘取模了qwq #include<cstdio> #include<…

不想看题解的请速撤离 为防被骂灌输题解,撤离缓冲区 这里没字 $Ploya$神题一道,所以我自己做不出来,颓了一部分题解. 由于理(颓题)解不(没)深(脸)中途又拿了$std$对拍(输出中间结果并qj了自己的代码) 但是启示的确很多 按照题面意思来看,好像是点的交换,但是不是..本题中的置换其实是边与边的置换 因为显然颜色是涂在边上的,至于点的交换可以看成接向两个点的边集的交换 但是归根到底还是先有点动再有边动,所以我们仍然考虑将通过点的置换来求出边的等价置换. 发现没有关于颜色使用的限制,所以…

题目描述 仙人掌图(cactus)是一种无向连通图,它的每条边最多只能出现在一个简单回路(simple cycle)里面.从直观上说,可以把仙人掌图理解为允许存在回路的树.但是仙人掌图和树之间有个本质的不同,仙人掌图可以拥有多个支撑子图(spanning subgraph),而树的支撑子图只有一个(它自身),我们把仙人掌图的支撑子图的数目称为“仙人数”.你的任务就是计算给定图的“仙人数”. 一些关于仙人掌图的举例: 第一张图是一个仙人掌图,第二张图的边(2,3)在两个不同的回路里面,所以不是仙人…

Search GO 说明:输入题号直接进入相应题目,如需搜索含数字的题目,请在关键词前加单引号 Problem ID Title Source AC Submit Y 1000 A+B Problem 10983 18765 Y 1036 [ZJOI2008]树的统计Count 5293 13132 Y 1588 [HNOI2002]营业额统计 5056 13607 1001 [BeiJing2006]狼抓兔子 4526 18386 Y 2002 [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊 43…

题目传送门 bzoj1488 - [HNOI2009]图的同构 bzoj1815 - [Shoi2006]color 有色图(双倍经验) 题解 暴力 由于在做题之前已经被告知是 Burnside 引理,貌似思考的时候少了一些乐趣啊. 考虑一个置换 \(p\),想要求出这个置换下的不动点的个数.对于一个不动点,若存在一条边 \((a, b)\),一定存在一条边 \((p_a, p_b)\). 那么考虑一个长度为 \(l\) 的循环,若 \((i, j)\) 是一条 \(i, j\) 均在循环中的点…