第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分,表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数,记为 或者 . 第二类Stirling数的推导和第一类Stirling数类似,可以从定义出发考虑第n+1个元素的情况,假设要把n+1个元素分成m个集合则分析如下: (1)如果n个元素构成了m-1个集合,那么第n+1个元素单独构成一个集合.方案数 . (2)如果n个元素已经构成了m个集合,将第n+1个元素插入到任意一个集合.方案数 m*S(n,m) .   综合两种情况得:     递推式:dp[i][j]…

基本定义 第一类斯特林数:$1 \dots n$的排列中恰好有$k$个环的个数:或是,$n$元置换可分解为$k$个独立的轮换的个数.记作 $$ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}. $$ 第二类斯特林数:将$n$个元素分成$k$个非空集合的方案数.记作 $$ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}. $$ 根据定义,我们有 $$ \sum_{k=0}^n \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix…

在组合数学,Stirling 数可指两类数,第一类Stirling 数和第二类 Stirling 数,都是由18世纪数学家 James Stirling 提出的. Stirling 数有两种,第一类和第二类Stirling 数 第一类斯特林数: 形如$\left[\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right]$,也写作 $s(n,k)$ 组合意义: $s(n,k)$ 表示吧$n$个数分成$k$组,每组是一个环,求分成的方案数. 也就是一个轮子,怎么转都是一样的,如:1…

题目大意 求子集斯特林数\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\%2\) 方法1 数形结合 推荐一篇超棒的博客by Sdchr 就是根据斯特林的递推式,分奇偶讨论 得到一个函数\(P_{n,m}\equiv\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\% 2\) 再根据函数递推式通过画图,数形结合 转化成图中从一点走到另一点的方案数 变成组合问题求解 做法 这是给连插板都不会的我看的 \(a_1…

第一类斯特林数 在这里我因为懒所以还是用\(S(n,m)\)表示第一类斯特林数,但一定要和第二类斯特林数区分开来 递推式 \(S(n,m)=S(n-1.m-1)+S(n-1,m)*(n-1)\) 其中\(S(0,0)=1,S(i,0)=0(i>0)\) 组合意义 \(n\)个元素组成\(m\)个圆排列的方案数 注意这里圆排列指的是两个排列经过旋转能重合的算一种方案 那么递推式就可以这样理解:对于当前的第\(n\)个元素,单独成一个圆排列有\(S(n-1,m-1)\)种方案,放在其它的圆排列中有\…

计算式 \[ S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n,m) \] \(S(0,0)=1,S(i,0)=0(i>0)\) 组合意义 将\(n\)个不可分辨的小球放入\(m\)个不可分辨的盒子中,且每个盒子非空 那么上面的式子就类似与\(dp\)的转移了 性质 1.\(S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\dbinom{m}{i}(m-i)^n\) 证明:考虑组合意义 先将盒子变成有序,最后除以\(m!\)即可 第二类斯特林数保障每个盒子非空,故考虑容斥,…

传送门 题意: 求\(S(n,m)\% 2\)的值,\(n,m\leq 10^9\),其中\(S(n,m)\)是指第二类斯特林数. 思路: 因为只需要关注奇偶性,所以递推式可以写为: 若\(m\)为偶数,\(S(n,m)=S(n-1,m-1)\); 若\(m\)为奇数,\(S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)\). 观察第二个式子,和组合数的递推公式一模一样.所以我们可以联想到组合数. 将上述递推式子前面几项的值写出来,会发现偶数列错了前面奇数列一列,若只看奇数列,则为杨辉三角的…

Count the Buildings Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 1249    Accepted Submission(s): 408 Problem Description There are N buildings standing in a straight line in the City, numbere…

Rank Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 433    Accepted Submission(s): 207 Problem Description Recently in Teddy's hometown there is a competition named "Cow Year Blow Cow".N c…

Examining the Rooms Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1661    Accepted Submission(s): 1015 Problem Description A murder happened in the hotel. As the best detective in the town, yo…