题目大意 一行有\(n\)个球,现在将这些球分成\(k\) 组,每组可以有一个球或相邻两个球.一个球只能在至多一个组中(可以不在任何组中).求对于\(1\leq k\leq m\)的所有\(k\)分别有多少种分组方法. 答案对\(998244353\)取模. \(n\leq {10}^9,m<2^{19}\) 题解 因为\(k>n\)的项都是\(0\),所以我们钦定\(m\leq n\) 考虑DP. 记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个球分为\(j\)组的方案数. \[ f_{i,j}=f…

题解 分治FFT 设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数,\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数 经过简单的推导(枚举\(1\)所在的连通块大小),有: \[ f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}} \] \[ \begin{align} g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\ &=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-…

多项式 ln 定义 \(给一多项式F(x),求G(x)\equiv lnF(x)\pmod x^n\) 前置知识 \(不定积分\) \(微分\) \(多项式乘法逆\) 推式子: \[\because G(x)\equiv lnF(x)\pmod x^n\] \[又\because lnF(x)=\int dlnF(x)\] \[=\int (lnF(x))'dx\] \[=\int \frac{F'(x)}{F(x)}dx\] 步骤: \(1.求F(x)的导数\) \(2.求F(x)的逆F_r(…

LINK:多项式对数函数 多项式 ln 如题 是一个模板题.刚学会导数 几个知识点 \([f(x)\cdot g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)',f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)\) 求B(x)=ln A(x) 没啥好办法 同时对两边同时求导. \(B'(x)=[lnA(x)]'=ln'(A(x))A'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}\) 然后对于后者分子直接逐项求导分母求逆. 最后就可以求出B'(x)了.然后利用不定积分来对这个东西进行积分求出原多项式…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295 题目大意 求所有\(n\)个点的弱联通\(DAG\)数量. \(1\leq n\leq 10^5\) 解题思路 先不考虑弱联通的限制,求\(n\)个点的\(DAG\)数量. 设为\(f_i\),那么有式子 \[f_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)}f_{n-i}(-1)^{i+1} \] 这个式子的意思是说新建一层出度为\(0\)的点,\(\binom{n}{i…

题目大意:给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$,满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$,$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$. 现在给你一个多项式$h(x)$,满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$ 请输出多项式$h$的前$k$项,在模$998244353$意义下进行. 数据范围:$n,m≤10^5$. 我们现在有: $f(x)=\…

传送门: http://codeforces.com/problemset/problem/838/C 题解: 如果一个字符串的排列数是偶数,则先手必胜,因为如果下一层有后手必赢态,直接转移过去,不然,就一直耗着,因为是偶数,所以会让后手进入下一层,则后手必输. 排列数是偶数,打表发现\(|s|\)是奇数时,先手必赢,否则后手必赢,接下来尝试归纳这个结论. |s|<=2时显然成立. 对于\(|S|\)奇数,排列个数是奇数时,设a[i]表示第i个字符出现次数,排列个数=\(\binom{|S|}{…

题意 题目链接 Sol \(B(x) = \exp(K\ln(A(x)))\) 做完了... 复杂度\(O(n\log n)\) // luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define MP(x, y) make_pair(x, y) #define fi first #define se second #defin…

题意 题目链接 Sol 这个不用背XD 前置知识: \(f(x) = ln(x), f'(x) = \frac{1}{x}\) \(f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)\) 我们要求的是\(G(x) = F(A(x)), F(x) = ln(x)\) 可以直接对两边求导\(G'(A(x)) = F'(A(x))A'(x) = \frac{A(x)}{A'(x)}\) 发现这个可以算,只要求个逆就行了. 那么就直接求导之后积分回去,复杂度\(O(nlogn)\) #include<bi…

$G(x)=ln(A(x))$ $G'(x)=ln'(A(x))A'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}$     由于求导和积分是互逆的,所以对 $G$ 求积分,即 $G(x)=\int\frac{A'(x)}{A(x)}$ 用求导 + 求逆 + 积分做一下即可 这里给出求导/积分的公式: $\int F(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{a_{i}}{i+1}x^{i+1}$ $d(F(x))=\sum_{i=1}^{n}i\times a_{i}x^{i-1}$    …