catalan数的新理解

catalan数的新理解h[5]==h[4][0]+h[3][1]+h[2][2]+h[1][3]+h[0][4];对于这种递推式就是catalan数…

HNU 12933 Random Walks Catalan数阶乘求逆元新技能

一个Catalan数的题,打表对每个数都求一次逆元会T,于是问到了一种求阶乘逆元的打表新方法. 比如打一个1~n的阶乘的逆元的表,假如叫inv[n],可以先用费马小定理什么的求出inv[n],再用递推公式求出前面的项. 我们记数字 x 的逆元为f(x) (%MOD). 因为 n! = (n-1)! * n 所以 f(n!) = f( (n-1)! * n) = f( (n-1)! ) * f(n). 所以 f( (n-1)! ) = f(n!) * f( f(n) ) = f(n!) * n …

Catalan数的理解

Catalan数的理解 f(0)=1 f(1)=1 f(2)=2 f(3)=5 f(4)=14 f(5)=42 f(2)=f(1)+f(1) f(3)=f(2)+f(1)*f(1)*f(2) f(4)=f(3)+f(2)*f(1)+f(1)*f(2)+f(3) 通项公式:f(n)= f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1) 理解:固定一个,n-1个全在左边,n-1个全在右边,共有f(n-1)+…

Catalan数,括号序列和栈

全是入门的一些东西.基本全是从别处抄的. 栈: 支持单端插入删除的线性容器. 也就是说,仅允许在其一端加入一个新元素或删除一个元素. 允许操作的一端也叫栈顶,不允许操作的一端也叫栈底. 数个箱子相叠就可以认为是一个栈,只能在最顶端加入一个新箱子或拿走一个箱子. 栈中的元素遵循后进先出(last in first out,LILO)的规律.即:更早出栈的元素,应为更早入栈者. 这是一个演示: 奇数行为栈中元素(右端可以进行插入删除),元素以逗号隔开, EMPTY表示栈为空偶数行为进行的操作 EM…

特殊计数序列——Catalan数

Catalan数前10项 $1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862$ (注:从第$0$项起) 计算式 $C_n=\frac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}$ $C_{n+1}=\sum_{i=0}^nC_iC_{n-i}$ $C_n=\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}$ $C_n=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1}$ 组合意义 1.由$n$个$+1$和$n$个$-1$构成的\(2…

Catalan数计算及应用

Catalan数列是非常奇妙的一列数字,因为很多问题的解就是一个Catalan数.知道了这一规律,很多看似复杂的问题便可迎刃而解.那么什么是Catalan数,什么样的问题的解是Catalan数呢? 1,Catalan数先来看一段Catalan数列:1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,即 h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5... 怎么求出来的呢?两种方式 (1) h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-…

【bzoj1856】[Scoi2010]字符串 Catalan数

题目描述 lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数.现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗? 输入输入数据是一行,包括2个数字n和m 输出输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数样例输入 2 2 样例输出 2 题解数论-Catalan数如果n=m,那么…

Trees Made to Order——Catalan数和递归

Trees Made to Order Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000K Total Submissions: 7155 Accepted: 4094 Description We can number binary trees using the following scheme: The empty tree is numbered 0. The single-node tree is numbered 1. All binary tre…

[Catalan数三连]网格&有趣的数列&树屋阶梯

如何让孩子爱上打表 Catalan数 Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列. 以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名. 先丢个公式(设第n项为$h_n$): $h_n=h_0*h_{n-1}+h_1*h_{n-2}+...+h_{n-1}*h_0,(n \ge 2)$ $h_n=\frac{h_{n-1}*(4n-2)}{n+1}$ $h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$ 应用出栈…

[TJOI2015] 概率论 - Catalan数

一棵随机生成的 $n$ 个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现)的叶子节点数的期望.$n \leq 10^9$ Solution $n$ 个点的二叉树个数即 Catalan 数 $f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$ 设 $g(n)$ 为 $n$ 个点的所有二叉树的叶子个数和,找规律得 $g(n)=nf(n-1)$ Proof. 对于 $n$ 个点,$k$ 个叶子的二叉树,删掉任意一个叶子可以得到 $k$ 个 $n-1$ 个…

Catalan数应用整理

应用一: codevs 3112 二叉树计数时间限制: 1 s 空间限制: 128000 KB 题目等级 : 黄金 Gold 题目描述 Description 一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态输入描述 Input Description 读入一个正整数n 输出描述 Output Description 输出一个正整数表示答案样例输入 Sample Input 6 样例输出 Sample Output 132 数据范围及提示 Data Size & Hint 1<=n&l…

【64测试20161112】【Catalan数】【数论】【扩展欧几里得】【逆】

Problem: n个人(偶数)排队,排两行,每一行的身高依次递增,且第二行的人的身高大于对应的第一行的人,问有多少种方案.mod 1e9+9 Solution: 这道题由1,2,5,14 应该想到Catalan数,但是我却花了两个小时去找递推式. 首先 Catalan数 : 基本规律:1,2,5,14,42,132,.......... 典型例题: 1.多边形分割.一个多边形分为若干个三角形有多少种分法. C(n)=∑(i=2...n-1)C(i)*C(n-i+1) 2.排队问题:转化为n个人…

Catalan数(数论)

Catalan数 [参考网址]http://www.cnblogs.com/gongxijun/p/3232682.html 记得当时我们队写过一个,差点超时,现在找到了公式,感觉还是挺简单的. 还要注意,就算开long long 也只能表示到第33个,之后就会溢出. &代码: void Solve() { f[1]=1; for(int i=2;i<40;i++){ f[i]=f[i-1]*(4*i-2)/(i+1); } PIar(f,40) } 输出数据在下面,也很显然,33之后就变成…

Catalan数 && 【NOIP2003】出栈序列统计

令h(1)=1, h(0)=1,catalan数满足递归式: h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)h(0) (n>=2) =C(2n, n)/(n+1) =h(n-1)*2(2n-1)/(n+1) 具体推导请百度,这里只需记得推导公式为h(n)=h(n-1)*2(2n-1)/(n+1)即可. 我们来说说这个的应用吧,从catalan数的定义递归定义可以看出,它是由自己本身的一部分和n减去一部分的和得到的,也就是说,有n个物品,1个物品进行操作1,n-…

Catalan数

先看2个问题: 问题一: n个元素进栈(栈无穷大),进栈顺序为1,2,3,....n,那么有多少种出栈顺序? 先从简单的入手:n=1,当然只有1种:n=2,可以是1,2 也可以是2,1:那么有2种:n=3,可以是1,2,3或1,3,2或2,1,3或2,3,1或3,2,1:一共5种:容易联想到可能有一个通项公式可以求:(扯一点,以前学栈的时候做过判断一个序列是否为合法的出栈顺序的题目,只要依次检查序列,对于一个元素i,在i后面出来的且序号比i小的肯定是从大到小出来的,比如 4 2 1 3,如果4…

catalan数及笔试面试里那些相关的问题(转)

一.catalan数由来和性质 1)由来 catalan数(卡塔兰数)取自组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为令其为h(n)的话,满足h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 我们从中取出的Cn就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,…

Catalan数推导（转载）

Raney引理: 设整数序列A = {Ai, i=1, 2, …, N},且部分和Sk=A1+…+Ak,序列中所有的数字的和SN=1,在A的N个循环表示中,有且仅有一个序列B,满足B的任意部分和Si均大于零. Raney引理有一个很简单的数形结合的证明见<浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用>. 关于Catalan数wiki和百科上写的很详细,其中有一问题一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?该问题的解为h(n). 用1表示一个数字进栈,-1表示一个数字出栈,…

HDU 4828 - Grids (Catalan数)

题目链接 : http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4828 Catalan数的公式为 C[n+1] = C[n] * (4 * n + 2) / (n + 2) 题目要求对M = 1e9+7 取模利用乘法逆元将原式中除以(n+2)取模变为对(n+2)逆元的乘法取模 C[n+1] = C[n] * (4 * n + 2) * Pow(n+2, MOD-2) % MOD 其中Pow用快速幂解决 #include <cstdio> #include…

卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论组合 )

卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论组合 ) Posted on 2010-08-07 21:51 MiYu 阅读(13170) 评论(1) 编辑收藏引用所属分类: ACM ( 数论 ) .ACM_资料 .ACM ( 组合 ) 维基百科资料: 卡塔兰数卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为另类递归式: h(n)=((4*…

12个高矮不同的人,排成两排(catalan数）

问题描述: 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种? 这个笔试题,很YD,因为把某个递归关系隐藏得很深. 问题分析: 我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排. 用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案. 比如000000111111就对应着第一排:0 1 2 3 4 5 第二排:6 7 8 9 10 11 010101010…

UVA 10312 - Expression Bracketing（数论+Catalan数）

题目链接:option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1253">10312 - Expression Bracketing 题意:有n个x,要求分括号,推断非二叉表达式的个数. 思路:二叉表达式的计算方法就等于是Catalan数的,那么仅仅要计算出总数,用总数减去二叉表达式个数.得到的就是非二叉表达式的个数. 那么计算方法是什么呢. 看题目中的图,对于n = 4的情况,能够分为这几种情况来讨论…

【集训笔记】【大数模板】特殊的数【Catalan数】【HDOJ1133【HDOJ1134【HDOJ1130

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3324 http://blog.csdn.net/xymscau/article/details/6776182 #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<queue> #include<iostream> #include<algorit…

上一篇括号配对让人联想起catalan数，顺便转载一篇归纳的还不错的文章

转载请注明来自souldak,微博:@evagle 怎么样才是合法的组合? 只要每一时刻保证左括号的数目>=右括号的数目即可. 直接递归就行,每次递归加一个括号,左括号只要还有就能加,右括号要保证加进去之后右括号总数不大于左括号总数 void insert_parentheses(char *res, int l, int r){ if(l==0&&r==0) cout<<res; else{ if(l>0){ res[n-l-r]='('; insert_pare…

catalan 数——卡特兰数(转)

Catalan数——卡特兰数今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下一.Catalan数的定义令h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2该递推关系的解为:h(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3,...(其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数) 问题描…

Catalan数——卡特兰数

一.Catalan数的定义令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2) 该递推关系的解为:h(n) = C(2n,n)/(n+1),n=0,1,2,3,... (其中C(2n,n)表示2n个物品中取n个的组合数) 二.问题描述 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种? 问题分析: 我们先把这12个…

POJ 2084 Catalan数+高精度

POJ 2084 /**************************************** * author : Grant Yuan * time : 2014/10/19 15:42 * source : POJ 2084 * algorithm: Catalan数+高精度 * ***************************************/ import java.io.*; import java.math.*; import java.util.*; publ…