Catalan数推导（转载）

Raney引理：

设整数序列A = {Ai, i=1, 2, …, N}，且部分和Sk=A1+…+Ak，序列中所有的数字的和SN=1，在A的N个循环表示中，有且仅有一个序列B，满足B的任意部分和Si均大于零。

Raney引理有一个很简单的数形结合的证明见《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》。

关于Catalan数wiki和百科上写的很详细，其中有一问题一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?该问题的解为h(n)。

用1表示一个数字进栈，-1表示一个数字出栈，不难看出该问题的解等价于一个含n个1和n个-1的序列,并且满足其任意前缀和大于等于0的排列数。但是这个序列与我们Raney引理要求序列不太相同，所以我们给这个序列多加一个1，即(n+1)个1和n个-1的序列A{2n+1}，现在我们可以应用Raney引理了，A{2n+1}所有可能的排列总数为C(2n+1,n),而循环不同构的串是组合数的一个划分，再根据Raney引理可知在一个循环同构的等价类中，只有一个串满足任意前缀和大于零，所以满足条件的排列数为C(2n+1, n)/(2n+1)，而由于任意前缀和大于0，所以第一位只能是1而不是-1，所以又可以得出除去第一位后，满足任意前缀和大于>=0的A{2n}序列总数也为C(2n+1, n)/(2n+1) = C(2n, n)/(n+1)，这个便是Catalan的通项公式。