题目链接 https://www.luogu.org/problem/P4707 题解 最近被神仙题八连爆了-- 首先Min-Max容斥肯定都能想到,问题是这题要用一个扩展版的--Kth Min-Max容斥 这个东西需要对Min-Max容斥的本质有着比较深刻的理解. 首先我们从另一个角度证明Min-Max容斥的正确性: \(\max(S)=\sum_{T\in S}f(|T|)\min(T)\), 对于第\((x+1)\)大来说它被计算的次数是\(\sum_{k\ge 0} {x\choose…

题目描述 为了打开返回现世的大门,Yopilla 需要制作开启大门的钥匙.Yopilla 所在的迷失大陆有 \(n\) 种原料,只需要集齐任意 \(k\) 种,就可以开始制作. Yopilla 来到了迷失大陆的核心地域.每个单位时间,这片地域就会随机生成一种原料.每种原料被生成的概率是不同的,第 ii种原料被生成的概率是$ \frac{p_i}{m} $.如果 Yopilla 没有这种原料,那么就可以进行收集. Yopilla 急于知道,他收集到任意 kk 种原料的期望时间,答案对 \(9982…

洛谷 P4707 重返现世 k-minimax容斥 有这一个式子:\(E(\max_k(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}\min(T)\) dp.考虑怎么设状态,因为\(\min(T)=\frac{m}{\sum_{i\in T}i}\),所以要设一维表示和:还要加一维表示当前的\(k\). 设\(f_{i,k,j}\)表示\(S\)中加入了前\(i\)个元素,式子中的\(\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|…

题目传送门 https://www.luogu.org/problem/P4707 题解 很容易想到这是一个 MinMax 容斥的题目. 设每一个物品被收集的时间为 \(t_i\),那么集齐 \(k\) 个物品所需时间就是 \(\{t_i\}\) 中的第 \(n-k+1\) 大的时间. 所以我们不妨把 \(k\) 看成原来的 \(n-k+1\),这个 \(k \leq 11\). 然后根据扩展 MinMax 容斥 \[ \max_k (S) = \sum_{T \subseteq S, |T|…

Description 为了打开返回现世的大门,\(Yopilla\) 需要制作开启大门的钥匙.\(Yopilla\) 所在的迷失大陆有 \(n\) 种原料,只需要集齐任意 \(k\) 种,就可以开始制作. \(Yopilla\) 来到了迷失大陆的核心地域.每个单位时间,这片地域就会随机生成一种原料.每种原料被生成的概率是不同的,第 \(i\) 种原料被生成的概率是 \(\frac{p_i}{m}\) .如果 \(Yopilla\) 没有这种原料,那么就可以进行收集. \(Yopilla\) 急…

传送门 前置知识 做这题前,您需要认识这个式子: \[ kthmax(S)=\sum_{\varnothing\neq T\subseteq S}{|T|-1\choose k-1} (-1)^{|T|-k} min(T) \] 如果不会可以来这里. 思路 题目要求第\(k\)小.为了方便,以下令\(k=n-k+1\),即变为求第\(k\)大. 很显然,这题是让我们求这个东西: \[ \sum_{T\neq\varnothing}{|T|-1\choose k-1} (-1)^{|T|-k} m…

在跨年的晚上玩手机被妈妈骂了赶来写题……呜呜呜……但是A题了还是很开心啦,起码没有把去年的题目留到明年去做ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ也祝大家2019快乐! 这题显然的 kth min-max 容斥就不说了,不会的还是百度吧……记录一下后面的 dp.感觉挺强强的,%题解…… 首先,min - max 容斥的公式为 : \(max_{K}(S) = \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-K}\binom{|T|-1}{K-1}min(T)\) 但是最后面的 \(min(T)\) 显然不…

传送门 我永远讨厌\(dp.jpg\) 前置姿势 扩展\(Min-Max\)容斥 题解 看纳尔博客去→_→ 咱现在还没搞懂为啥初值要设为\(-1\)-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(…

题面传送门 首先看到这种求形如 \(E(\max(T))\) 的期望题,可以套路地想到 Min-Max 容斥 \(\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\),将其转化为容易计算的 \(E(\min(T))\) 进行计算. 不过这题有些不同的一点是我们要求的是第 \(k\) 大而不是最大值,无法直接 Min-Max,这时就要用到一个叫扩展 Min-Max 的东西了,首先抛出式子:\(\max_k(S)=\sum\limits_{T…

[Luogu4707]重返现世(min-max容斥) 题面 洛谷 求全集的\(k-max\)的期望 题解 \(min-max\)容斥的证明不难,只需要把所有元素排序之后考虑组合数的贡献,容斥系数先设出来后也不难解出. 那么我们来考虑如何求解\(k-max\),设出容斥系数\(f(|T|)\) \[kmax(S)=\sum_{T\subset S}f(|T|)min(T)\] 显然是从小到大考虑每个元素作为\(min\)时候的贡献,并且我们只需要其中第\(k\)大的贡献. 假设\(n=|S|\),…

世界是物质的,物质是运动的,运动是有规律的,规律是可以被认识的. 关于期望意义下min-max容斥,我们认为每个事件的时间来认识事件,max/min S表示集合S中所有时间最后/最前出现的事件,E(max/min S)表示事件max/min S首次发生的期望时间.这样,仿照普通min-max容斥的推导可得 \[ E(\max S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}E(\min T) \] 同理的kth-max-min也成立 \[ E(\max_k S)=\sum_{…

题目分析 题目就是求第K种原料的出现期望时间. 考虑广义min-max容斥. \(\text{kthmax}(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T)\) 显然\(\min(T)=\frac{m}{\sum\limits_{i\in S}p_i}\). 发现\(m\)的范围很小,那么我们可以考虑设状态dp算贡献. 设\(f_{j,k}\)表示对于集合\(|S|\),\(j=\sum\limits_{i\i…

收集邮票加强版,每个邮票不是等概率获得的了. 而且是获得K个,如果把一个全集S集合找出其获得时间集合(显然获得时间两两不同)的话,那么就是第n-k+1大的期望! %%%Sooke min-max容斥扩展: 推广到期望: 只要求后面的东西 对于集合T,设∑t∈T=SUM,那么,E(min(T))=m/SUM 所以,只要知道SUM,就可以计算贡献 所以,不妨把SUM放进状态里,记录贡献次数(就是-1和组合数那坨) k=n-k+1之后也很小 f[p][i][j],当k=p时候,前i个,SUM=j的所有…

传送门 kthMinMax的唯一模板? 首先你需要知道kth Min-Max定理的内容:\(kthmax(S) = \sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1}min(T)\),证明与二项式反演相关,而且比较有趣的一件事情是这个定理也可以推广到期望上. 因为\(|n-k| \leq 10\),所以我们把求第\(k\)小改为第\(k\)大,那么就有\(k \leq 11\). 那么我们就只需要支持快速的求出所有满…

Preface 菜鸡HL终于狗来了他的省选停课,这次的时间很长,暂定停到一试结束,不过有机会二试的话还是可以搞到4月了 这段时间的学习就变得量大而且杂了,一般以刷薄弱的知识点和补一些新的奇怪技巧为主. 偶尔也会打一些比赛找找手感(比如HHHOJ的比赛,Luogu比赛,以及comet OJ上之前的CCPC题) CF和CC看情况,主要是我真的不太喜欢读英文题的恐怖感觉233 希望这段时间的努力可以让我不跪省选吧 2-26 早上晨跑完了就和杨浩讲了停课的事,不出意外地很轻松就通过了. 然后回班拿了点东…

MIN-MAX 反演 我们知道对于普通的 \(\min-\max\) 容斥有如下式子: \[ \max(S) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1} \min(T)\\ \min(S) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1} \max(T) \] 证明可以构造一一映射,抵消贡献. 上述式子在期望意义下也是成立的: \[ E[\max(S)] = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1} E[\m…

炫酷反演魔术课件byVFK stO FDF Orz(证明全有%%%) 莫比乌斯反演 \(F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\Rightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac n d)F(d)\) \(F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)\Rightarrow f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac d n)F(d)\) 推带\(\gcd\)的题常用式子:(实际上是借用了积性函数的式子) \([\gcd(…

基本形式 \[ \max(S) = \sum_{T\subseteq S, T \neq \varnothing} (-1)^{|T|-1}\min(T) \] 证明 不提供数学证明. 简要讲一下抽象理解伪证: 考虑从大到小排名为 \(i\) 的数,这个数会作为集合 \(T\) 的最小值出现时,那么 \(T\) 剩下的所有值都是从大于它的数中选取的.那么选取方案就是 \(\binom{i-1}{|T|-1}\). 如果 \(i=1\),也就是 \(a_i = \max(S)\),那么它只会被加上…

大米饼正式退役了,OI给我带来很多东西 我会的数学知识基本都在下面了 博客园的评论区问题如果我看到了应该是会尽力回答的．．． 这也是我作为一个OIer最后一次讲课的讲稿 20190731 多项式乘法 FFT 基本概念 1.多项式的两种表达(拉格朗日插值法) 多项式:\(A(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\),最高项次数为\(n-1\),次数界为\(n\) \((a_0,\cdots,a_{n-1})\)为多项式的系数表达, \((x_0,y_0),\cdots,(x_{n…

本篇博客已停更 本篇博客已停更 本篇博客已停更 吐槽区: 2020.04.15: 从今天起我做过的题目都记录一下,想不想写题解就另说了 2020.04.17: 写了两天之后真实的发现这是博主的摸鱼日记... 2020.04.22: 从清单中移除了 loj#6612,魔鬼树分块是不可能写的,这辈子都不可能写的 2020.04.22: 上了一下 bzoj 突然发现(通过抄代码和膜题解)过的题马上 500 道了,看了一下发现神 \(hjk\) 各大 OJ 过题量都是我的两倍,自闭了... 2020.0…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…

min-max容斥学习笔记 前置知识 二项式反演 \[ f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \] 一些定义 \(\max (S),\min (S)\)表示分别集合\(S\)的最大,最小元素 套路式子 \[ \max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \] 证明 首先我…

题解: 普通的$min-max$容斥是用来求最后出现元素的期望之类的 $kth min-max$容斥进一步解决倒数第k个出现的元素的期望 给出公式: $kthmax(S)=\sum\limits_{T \in S} {} {(-1)}^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T)$ 例题:重返现世…

min-max 容斥 给定集合 \(S\) ,设 \(\max(S)\) 为 \(S\) 中的最大值,\(\min(S)\) 为 \(S\) 中的最小值,则: \[\max(S)=\sum_{T\in S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\] 这个东西叫 min-max容斥. 证明可以拿二项式反演证 例题 hdu4336 Card Collector 题目 有 \(n\) 种卡片,每一秒都有 \(P_i\) 的概率获得一张第 \(i\) 种卡片,求每张卡片都至少有一张的期望时间. 记 \(…

「PKUWC2018」随机游走(min-max容斥+FWT) 以后题目都换成这种「」形式啦,我觉得好看. 做过重返现世的应该看到就想到 \(min-max\) 容斥了吧. 没错,我是先学扩展形式再学特殊形式的. \[E(\text{max}(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\text{min}(T))\] 问题转化之后,然后我们可以枚举所有状态然后 \(O(n)\) 树形 \(dp\) \(-1\) 那项可以 \(O(2^n)\) 推出来,接下来就是子集…

$\min - \max$ 容斥 Part 1 对于简单的$\min - \max$容斥有一般形式,表达为:$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times \min(T)$ 对于上述式子,可以简单的理解. 对于$S$中的每一项,其中的最大值为第$i$项 由于$|T|$非空,一共有$2^{|S|}-1$个$T$,其中,对于非最大值的任意一项,都包含至少一个比其大的元素 所以这些元素的选择情况构成了$2^{k}$幂,其中$|T|$的奇偶分布…

退役前的记录 诸位好,我是\(CJ\)最菜的\(Oier\),已经是\(G2\)的老年选手了,不知道什么时候就会退役了,总之\(G1\ double\)的机会已经没有了,去年因为联赛失利而止步,而今年虽然有了很大的进步,但留给我犯错的机会却没有了,联赛,\(WC\),省选,\(SC\),\(NOI\),我不知道我能坚持到什么时候,只要有一点失误,就真的要退役了.在这新的赛季,我不知道我什么时候就会永远的离开\(OI\),只是想记下这\(OI\)生涯最后的时光,在退役之后也能留下奋斗过的痕迹,能让…

这个东西是一个非常好玩的数学工具. $$max(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|-1}min(T)$$ $$max_k(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T)$$ 其中$max(S),min(S),max_k(S)$分别表示集合$S$中的最大值,最小值,第$k$大值 现在我们考虑如何证明,显然我们只用证明第二个式子. 设$$max_k(S)=\sum_{T\subset S}f(|T|)\min(T)$…

骗个访问量.. A:取石子 将点 x 与点 x / prime 连边,那么这个图可以由指数之和的奇偶性来划分成一个二分图. 接下来考虑推广阶梯 NIM (或者这原本就是阶梯 NIM ?),必胜当且仅当奇数层的点上的石子数的异或和不为 0 ,所以进行一下计数就好了. B:重返现世 如何处理 \(k = n\) ?考虑 \(\text{max-min}\) 容斥,然后 DP .网上资料很多,这里不赘述. 考虑将 \(\text{max-min}\) 推广到 \(\text{kthmax-min}\)…

[Learning]min-max容斥以及推广 min-max容斥 就是max(a,b)=min(a)+min(b)-min(a,b) max(a,b,c)=a+b+c-min(a,b)-min(a,c)-min(b,c)+min(a,b,c) .... 为什么这样做? 有的时候min要好算很多 期望的线性 所以可以直接套期望 然后例题: [HAOI2015]按位或 [HAOI2015]按位或 推广 from:在Ta的博客查看 max_k(S)表示S中第k大 依然可以套期望: luoguP470…