【算法】BSGS算法

[模板]大步小步算法——BSGS算法

大步小步算法用于解决:已知A, B, C,求X使得 A^x = B (mod C) 成立. 我们令x = im - j | m = ceil(sqrt(C)), i = [1, m], j = [0, m] 那么原式就变成了: A^(im) = A^j * B 我们先枚举j,把A^j * B加入哈希表然后枚举i,在表中查照A^(i*m),如果找到了,那么就找到了一个解. 算法的复杂度为O(n^0.5) 代码: #include <bits/stdc++.h> #define ll long…

BSGS算法 BSGS算法用于求解关于x的模方程$A^x\equiv B\mod P$(P为质数),相当于求模意义下的对数. 思想: 由费马小定理,$A^{p-1}\equiv 1\mod P$,在p-1次方后开始循环,所以若原方程有解,$x_{min}\in[0,P-1]$. 设$x=i*m+j$,有$A^{i*m+j}\equiv B\mod P$,移项得${(A^m)}^i\equiv B*A^{-j}\mod P$,类似天天爱跑步,对于左右互不影响的等式可以开桶统…

【codevs 1565】【SDOI 2011】计算器快速幂+拓展欧几里得+BSGS算法

BSGS算法是meet in the middle思想的一种应用,参考Yveh的博客我学会了BSGS的模版和hash表模板,,, 现在才会hash是不是太弱了,,, #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; struct node{ static const int mo=100007; int a[100010],v…

bzoj2242: [SDOI2011]计算器 && BSGS 算法

BSGS算法给定y.z.p,计算满足yx mod p=z的最小非负整数x.p为质数(没法写数学公式,以下内容用心去感受吧) 设 x = i*m + j. 则 y^(j)≡z∗y^(-i*m)) (mod p) 则 y^(j)≡z∗ine(y^(i*m)) (mod p)(逆元) 由费马小定理y^(p-1)≡1 (mod p) 得 ine(y^m) = y^(p-m-1) ine(y^(i*m)≡ine(y^((i−1)m))∗y^(p-m-1) 1.首先枚举同余符号左面,用一个hash保存(…

[BSGS算法]纯水斐波那契数列

学弟在OJ上加了道"非水斐波那契数列",求斐波那契第n项对1,000,000,007取模的值,n<=10^15,随便水过后我决定加一道升级版,说是升级版,其实也没什么变化,只不过改成n<=10^30000000,并对给定p取模,0<p<2^31.一样很水嘛大家说对不对. 下面来简单介绍一下BSGS算法,BSGS(Baby steps and giant steps),又称包身工树大步小步法,听上去非常高端,其实就是一个暴力搜索.比如我们有一个方程,a^x≡b (…

BSGS算法

BSGS算法我是看着$ppl$的博客学的,您可以先访问$ppl$的博客 Part1 BSGS算法求解关于$x$的方程 \[y^x=z(mod\ p)\] 其中$(y,p)=1$ 做法并不难,我们把$x$写成一个$am-b$的形式那么,原式变成了 $y^{am}=zy^b(mod\ p)$ 我们求出所有$b$可能的取值(0~m-1),并且计算右边的值同时用哈希或者$map$之类的东西存起来,方便查询对于左边,我们可以枚举所有可能的$a$,然后直接查…

BSGS算法及扩展

BSGS算法 $Baby Step Giant Step$算法,即大步小步算法,缩写为$BSGS$ 拔山盖世算法它是用来解决这样一类问题 $y^x = z (mod\ p)$,给定$y,z,p>=1$求解$x$ 普通的$BSGS$只能用来解决$gcd(y,p)=1$的情况设$x=a*m+b, m=\lceil \sqrt p \rceil, a\in[0,m), b\in[0,m)$ 那么$y^{a*m}=z*y^{-b} (mod\ p)$ 怎么求解,为…

uva11916 bsgs算法逆元模板，求逆元，组合计数

其实思维难度不是很大,但是各种处理很麻烦,公式推导到最后就是一个bsgs算法解方程 /* 要给M行N列的网格染色,其中有B个不用染色,其他每个格子涂一种颜色,同一列上下两个格子不能染相同的颜色涂色方案%100000007的结果是R,现在给出R,N,K,请求出最小的M 对于第一行来说,每个位置有k种选择,那么填色方案数是k^n 对于第二行来说,每个位置有k-1中选择,那么填色方案数时(k-1)^n种依次类推,如果i+1行的某个格子上面是白格,那么这个格子有k种填色方案将M行分为两部分,第一部…

BSGS算法及其扩展

bsgs算法: 我们在逆元里曾经讲到过如何用殴几里得求一个同余方程的整数解.而$bsgs$就是用来求一个指数同余方程的最小整数解的:也就是对于$a^x\equiv b \mod p$ 我们可以用$bsgs$在$O(\sqrt n)$ 的复杂度内求出关于$x$的最小正整数解.(前提是$p$为质数) $a^x\equiv b \mod p$ 我们可以知道如果我们的模数p是一个质数,我们将同余式的右边以逆元的形式乘到左边来,根据殴拉定理(因为p是质数,所以a,p互质)则我们…

BSGS算法学习笔记

从这里开始离散对数和BSGS算法扩展BSGS算法离散对数和BSGS算法设$x$是最小的非负整数使得$a^{x}\equiv b\ \ \ \pmod{m}$,则$x$是$b$以$a$为底的离散对数,记为$x = ind_{a}b$. 假如给定$a, b, m$,考虑如何求$x$,或者输出无解,先考虑$(a, m) = 1$的情况. 定理1(欧拉定理) 若$(a, m) = 1$,则$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod{m}$. 证明这里就不给出,因为在百度上随便搜一…

bsgs算法详解

例题 poj 2417bsgs http://poj.org/problem?id=2417 这是一道bsgs题目,用bsgs算法,又称大小步(baby step giant step)算法,或者拔(b)山(s)盖(g)世(s)算法,或者北(b)上(s)广(g)深(s)算法... 题目大意就是给定a,b,p,求最小的非负整数x,满足 ax ≡ b(mod p) 先令 x = i*m-j,其中 m=ceil(sqrt(p)),ceil是向上取整. 这样原式就变为 ai*m-j =…

BSGS算法总结

BSGS算法总结 $BSGS$算法(Baby Step Giant Step),即大步小步算法,用于解决这样一个问题: 求$y^x\equiv z\ (mod\ p)$的最小正整数解. 前提条件是$(y,p)=1$. 我们选定一个大步长$m=\sqrt p + 1$,设$x=am+b$,那么显然有$a,b\in[0,m)$.这样就有$y^{am+b}\equiv z\ (mod\ p)$,就有$(y^m)^a=z*y^{-b}\ (mod\ p)$. 但是这个逆元…

BSGS算法+逆元 POJ 2417 Discrete Logging

POJ 2417 Discrete Logging Time Limit: 5000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 4860 Accepted: 2211 Description Given a prime P, 2 <= P < 231, an integer B, 2 <= B < P, and an integer N, 1 <= N < P, compute the discrete logarith…

POJ2417 Discrete Logging | A,C互质的bsgs算法

题目: 给出A,B,C 求最小的x使得Ax=B (mod C) 题解: bsgs算法的模板题 bsgs 全称:Baby-step giant-step 把这种问题的规模降低到了sqrt(n)级别首先B的种类数不超过C种,结合鸽巢原理,所以Ax具有的周期性显然不超过C 所以一般的枚举算法可以O(C)解决这个问题但是可以考虑把长度为C的区间分为k块,每块长度为b 显然x满足x=bi-p的形式(1<=i<=k,0<=p<b),所以Ax=B (mod C)移项之后得到Abi=Ap*…

BSGS算法初探

前言 $BSGS$算法,全称$Baby\ Step\ Giant\ Step$,即大小步算法.某些奆佬也称其为拔(Ba)山(Shan)盖(Gai)世(Shi)算法. 它的主要作用是求解形式如$x^t\equiv y(mod\ MOD)$的式子中$t$的值$(gcd(x,MOD)=1)$. 而且,它是一个简单易懂的算法(毕竟连我这样的数学渣渣都能理解). 一个简单的性质首先,我们需要知道一个简单的性质. 由费马小定理可得,\(x^{MOD-1}\equiv1(mod\ MOD…

luogu2485 [SDOI2011]计算器 poj3243 Clever Y BSGS算法

BSGS 算法,即 Baby Step,Giant Step 算法.拔山盖世算法. 计算 $a^x \equiv b \pmod p$. $p$为质数时特判掉 $a,p$ 不互质的情况. 由于费马小定理 $x^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 当 $p$ 为质数,则要是暴力的话只需要枚举到 $p-1$ 即可. 假设 $x=it-j$,其中 $t= \lceil \sqrt p \rceil,j \in [0,t]$,方程变为 \(a^{it-j}…

BSGS算法及拓展

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1299836 定义一种用来求解高次同余方程的算法. 一般问题形式:求使得$y^x\equiv z(mod\ p)$的最小非负$x$. $BSGS$算法要求$p$是质数. 由费马小定理可知,$y^{p-1}\equiv1(mod\ p)$,所以暴力枚举只要枚举到$p−1$即可. 但是由于$p$一般都很大,所以一般都跑不动... 优化算法$ing...$ 现在令$x=mi−j$(其中\(m…

BSGS算法（大小步算法）

$BSGS$ 算法 $Baby\ Steps\ Giant\ Steps$. 致力于解决给定两个互质的数 $a,\ p$ 求一个最小的非负整数 $x$ 使得 $a^x\equiv b(mod\ p)$ 其中 $b$ 为任意正整数,$2≤a<p$,$2≤b<p$ 该算法使用的原理与欧拉定理有关,其中$a,\ p$互质 $a^{\phi (p)}\equiv 1(mod\ p)$ 又因为 $a^0\equiv 1(mod\ p)$ 所以$0到\phi p$是一个循环节,也就是说该算法最多查找$\p…

Luogu P3846 BSGS算法

https://www.luogu.com.cn/problem/P3846 BSGS这个东西是用来干啥的? 形如下面这个式子: \[a^b = c\;(mod\;p) \] 其中:p是一个质数.$2\leq a,b<p\leq2^{31}-1$ 求一个最小的正整数b,使得式子成立首先,我们要知道一个东西.这个式子是有循环节的根据费马小定理:p是质数,且a不是p的倍数时有:$a^{p-1}\equiv1\;(mod\;p)$ 而:$a^0=1$ 因此答案是落在\([0,p-2]…

BSGS算法解析

前置芝士: 1.快速幂(用于求一个数的幂次方) 2.STL里的map(快速查找) 详解 BSGS 算法适用于解决高次同余方程 $a^x\equiv b (mod p)$ 由费马小定理可得 x <= p-1 我们设 $m = sqrt(p)$ 至于为什么写,下文会讲到. 那么$x$就可以用 $m$ 表示出来. 即 x = $k \times m - j$ 移项可得 $a^t \equiv b\times a^j$ 其中 t = $k \times m$ 这也就是我们为什…

GMM算法k-means算法的比较

1.EM算法 GMM算法是EM算法族的一个具体例子. EM算法解决的问题是:要对数据进行聚类,假定数据服从杂合的几个概率分布,分布的具体参数未知,涉及到的随机变量有两组,其中一组可观测另一组不可观测.现在要用最大似然估计得到各分布参数. 如果涉及的两组随机变量都是可观测的,问题就立即可以解决了,对似然函数求取最大值就能得到分布参数的解. EM算法先为所需求取的分布参数赋初值,使得能算出隐藏变量的期望:进而用隐藏变量的期望和可观测变量的数据对分布参数的似然函数求最大值,得到一组解从而更新分布参数.…