感觉这题真的特别有意思,涉及了 OI 中很多非常有意思.非常美的手法,比如--平衡两部分的时间复杂度.\(n \ln n\) 的那个 Trick等等,真的一种暴力的美学. 题目大意: 多组询问,求 \(f_{n,m}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \varphi(i\cdot j)\),\(1 \le n,m \le 1e5\),\(T \le 1e4\). 解法: 这里用一个套路一点的式子:\(\varphi(i\cdot j)=\frac{\v…

P4240 毒瘤之神的考验 题目背景 \(\tt{Salamander}\)的家门口是一条长长的公路. 又是一年春天将至,\(\tt{Salamander}\)发现路边长出了一排毒瘤! \(\tt{Salamander}\)想带一些毒瘤回家,但是,这时毒瘤当中钻出来了一个毒瘤之神! 毒瘤之神:你想要带毒瘤走吗?想要带走毒瘤,就必须回答我的问题!如果答不出来的话,你还是乖乖回家吧! 题目描述 毒瘤之神会问\(T\)次,每次给定\(n\),\(m\),\(\tt{Salamander}\)需要回答出…

题目 P4240 毒瘤之神的考验 神仙题\(emmm\) 前置 首先有一个很神奇的性质: \(\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}\) 证明: \[\begin{aligned} \varphi(i)\varphi(j) &= i\prod\limits_{p|i}\frac{p-1}{p}j\prod\limits_{p|j}\frac{p-1}{p}\\ &= ij\prod\limits…

洛谷题面传送门 先扯些别的. 2021 年 7 月的某一天,我和 ycx 对话: tzc:你做过哪些名字里带"毒瘤"的题目,我做过一道名副其实的毒瘤题就叫毒瘤,是个虚树+dp ycx:还有毒瘤之神的考验 tzc:???那是个啥? ycx:一道数论水题 然后我便做到了这个题,然后却发现它一点也不水-- 跑题了跑题了 首先我们显然不可能硬着头皮算 \(\varphi(ij)\),肯定要想办法将 \(\varphi(ij)\) 中的 \(i,j\) 独立开来.通过这题的套路可知 \(\var…

题目链接 洛谷P4240 题解 式子不难推,分块打表真的没想到 首先考虑如何拆开\(\varphi(ij)\) 考虑公式 \[\varphi(ij) = ij\prod\limits_{p | ij}\frac{p - 1}{p}\] 而 \[ \begin{aligned} \varphi(i)\varphi(j) &= i\prod\limits_{p | i}\frac{p - 1}{p} j \prod\limits_{p | j}\frac{p - 1}{p} \\ \varphi(i…

题目背景 Salamander的家门口是一条长长的公路. 又是一年春天将至,Salamander发现路边长出了一排毒瘤! Salamander想带一些毒瘤回家,但是,这时毒瘤当中钻出来了一个毒瘤之神! 毒瘤之神:你想要带毒瘤走吗?想要带走毒瘤,就必须回答我的问题!如果答不出来的话,你还是乖乖回家吧! 题目描述 毒瘤之神会问T次,每次给定n,m,Salamander需要回答出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\ mod\ 998244353\). Salam…

前言 矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中,矩阵的运算是数值分析领域的重要问题. 基本介绍 (该部分为入门向,非入门选手可以跳过) 由 m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字.符号或数学式. 比如一个$m\times n$的矩阵可以表示为: $$ A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\…

众所周知,OI中其实就是算法竞赛,所以时间复杂度非常重要,一个是否优秀的算法或许就决定了人生,而在大多数情况下,我们想出的算法或许并不那么尽如人意,所以这时候就需要一中神奇的的东西,就是底层优化: 其实底层优化比较简单,比如我们经常使用的 register还有快读,这些都可以进行优化.还有fread,但是fread在一些情况(尤其是在重要的的比赛时)但是还是给出下面的优化 <<|; char buffer[L],*S,*T; #define getchar() ((S==T&&…

题目大意:略 题面传送门 果然是一道神duliu题= = 出题人的题解传送门 出题人的题解还是讲得很明白的 1.关于$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\varphi (i,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\frac{\varphi (i)\varphi (j)gcd(i,j)}{\varphi (gcd(i,j))}$的证明,lgl神犇提供了一种方法 假设现在$gcd(i,j)$中有一个…

传送门 Sol 分开考虑 \(\varphi(ij)\) 中 \(ij\) 的质因子 那么 \[\varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}\] 直接莫比乌斯反演 设 \(g(x,i)=\sum_{j=1}^{x}\varphi(ij)\) 那么 \[ans=\sum_{i=1}^{min(n,m)}g(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor,i)g(\lfloor\frac{m}{i}\rflo…