正题 题目大意 一张随机的\(n\)个点的竞赛图,给出它的\(m\)条相互无交简单路径,求这张竞赛图的期望强联通分量个数. \(1\leq n,m\leq 10^5\) 解题思路 先考虑\(m=0\)的做法,此时我们考虑一个强联通块的贡献,注意到竞赛图中强联通块的会构成一条链的形式,枚举一个大小\(S\),那么此时联通块内到联通块外的边方向确定,那么这个联通块产生贡献的的概率就是\(\frac{1}{2}^{S(n-S)}\),选出这个联通块的方案就是\(\binom{n}{i}\). 那么答案…

题目描述 在一个 \(n\) 个点的有向图中,编号从 \(1\) 到 \(n\),任意两个点之间都有且仅有一条有向边.现在已知一些单向的简单路径(路径上任意两点各不相同),例如 \(2\to 4\to 1\).且已知的这些简单路径之间没有公共的顶点,其 余的边的方向等概率随机. 你需要求出强连通分量(如果同时存在 \(a\) 到 \(b\), \(b\) 到 \(a\) 的有向路径,则 \(a\), \(b\) 属于同一个强联通分量) 的期望个数.如果最后答案是 \(\frac{A}{B}\),…

并没有传送门qwq 思路 首先要知道一个结论(或者说是一个套路):一个竞赛图缩点之后必定是一条链. 那么强联通分量的个数,就是这条链的边数+1. 考虑一条边什么时候会出现:当且仅当点集可以被分成\(S,T\)两个集合且他们之间的边全都是\(S\rightarrow T\)的. 那么\(m=0\)时可以枚举点集大小,那么答案就是 \[ 1+\sum_{i=1}^{n-1} {n\choose i} (\frac 1 2)^{i(n-i)} \] \(m>0\)时仍然考虑枚举点集大小,此时每条链上的…

T1:农场 题意:有一个长为 $n$ 的序列 $a$,要求将其分成尽可能多的部分,使得每一部分的 $a_i$ 的和相等.求最多能分成的部分数. $30\%:1\le n\le 1000$ $80\%:1\le n\le 10^5$ $100\%:1\le a_i\le 10,1\le \sum a_i\le 10^6$ 这题不难,说一下我在考场的思路: 首先答案应该是 $\sum a_i$ 的约数.那么可以转化一下,变成找到满足要求的最小的和(也是其约数) 进一步想到前缀和.我们发现 $x$ 满…

题目链接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 Solution 这个问题可以考虑dp,利用补集思想 N个点的简单图总数量为$2^{\binom{N}{2}}$,要求的是简单联通图,所以可以用总量减不连通的. 不连通的可以通过枚举与某个固定点的联通的点的数量得到$tot=\sum _{i=1} ^{N} \binom{N-1}{i-1}*dp[i]*2^{\binom{N-i}{2}}$ 其中$dp[i]$表示的就是$i$个点的…

题意  给定n个点,任意两点之间可以不连边也可以连边.如果连边的话可以染上m种颜色. 求最后形成的图,是一个带环连通图的方案数. 首先答案是n个点的图减去n个点能形成的树. n个点能形成的树的方案数比较好求,根据prufer序列可以知道n个点形成的无根树的个数为$n^{n-2}$ 那么现在问题变成求n个点形成的连通图的个数. 图有连通和不连通的,那么就是图的总数减去不连通的图的总数. 图的总数很简单,$m^{\frac{n(n-1)}{2}}$,那么现在要求不连通的图的总数. 设$f(n)$为$…

题目链接 BZOJ3456 题解 据说这题是多项式求逆 我太弱不会QAQ,只能\(O(nlog^2n)\)分治\(NTT\) 设\(f[i]\)表示\(i\)个节点的简单无向连通图的数量 考虑转移,直接求不好求,我们知道\(n\)个点无向图的数量是\(2^{{n \choose 2}}\)的,考虑用总数减去不连通的 既然图不连通,那么和\(1\)号点联通的点数一定小于\(n\),我们枚举和\(1\)号点所在联通块大小,就可以得到式子: \[f[n] = 2^{{n \choose 2}} - \…

题目传送门 题目大意:有$n$个小岛,每个小岛上有$a_{i}$个城市,同一个小岛上的城市互相连接形成一个完全图,第$i$个小岛的第$a_{i}$个城市和第$i+1$个小岛的第$1$个城市连接,特别地,第$n$个小岛的第$a_{n}$个城市和第$1$个小岛的第$1$个城市连接.现在要断掉图中的一些边,保证任意两个城市只有一条路径或者不连通,求合法的断边方案总数,$n,a_{i}<=1e5$ 完全不会(喷血 我们对每个小岛单独讨论 如果任意两个城市只有一条路径或者不连通,那么这张图只能是一个森林…

题面 戳这里,题意简单易懂. 题解 首先我们发现,操作是可以不考虑顺序的,因为每次操作会加一个 \(1\) ,每次进位会减少一个 \(1\) ,我们就可以考虑最后 \(1\) 的个数(也就是最后的和),以及成功操作次数,就行了. 然后根据期望的线性性,我们可以从低到高按位考虑贡献. 考虑一个递推:\(f(i, j)\) 表示从后往前第 \(i\) 位总共被改变 \(j\) 次的概率,那么有两种转移: 进位:\(\displaystyle f(i - 1, j) \to f(i, \lfloor…

考虑容斥,枚举一个子集S在1号猎人之后死.显然这个概率是w1/(Σwi+w1) (i∈S).于是我们统计出各种子集和的系数即可,造出一堆形如(-xwi+1)的生成函数,分治NTT卷起来就可以了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespa…