数学：拓展Lucas定理

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数学：拓展Lucas定理

拓展Lucas定理解决大组合数取模并且模数为任意数的情况大概的思路是把模数用唯一分解定理拆开之后然后去做然后要解决的一个子问题是求模质数的k次方将分母部分转化成逆元再去做就好了这里贴一份别人的板子 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; + ; typedef long long LL; LL Pow(LL n, LL m, LL mod) { LL ans = ; ) { ) ans = (LL)ans * n % mod; n =…

【bzoj2142】【礼物】拓展Lucas定理+孙子定理

(上不了p站我要死了,侵权度娘背锅) Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E 心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人 ,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方案被认为是不同的,当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同).由于方案数可能会很大,你只需要输出模P后的结果. Input 输入的第一行包含一个正整数…

数学：lucas定理的总结

今天考试的题目中有大组合数取模,不会唉,丢了45分,我真是个弱鸡,现在还不会lucas. 所以今天看了一下,定理差不多是: (1)Lucas定理:p为素数,则有: 即:lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p) 然后留下我的理解: 用递归的方式去证明这个式子: 先考虑阶乘,在%p的意义下,x!=(p!^(x/p))*(x/p)!*(x%p)!这里把有p因子的数不模p,用于组合数的'抵消'. 在看到组合数 : C(x,y)=x!/((x-y)!*y!) =(…

数学：Lucas定理

利用Lucas定理解决大组合数取模 Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p,p为素数的值.(注意:p一定是素数) Lucas定理用来解决大组合数求模是很有用的 Lucas定理最大的数据处理能力是p在10^5左右表达式:C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 递归方程:(C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p.(递归出口为m==0,return 1) 然后来一道裸题 BZOJ2982 #include<cstdio> using nam…

【BZOJ-2142】礼物拓展Lucas定理

2142: 礼物 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MBSubmit: 1313 Solved: 541[Submit][Status][Discuss] Description 一年一度的圣诞节快要来到了.每年的圣诞节小E都会收到许多礼物,当然他也会送出许多礼物.不同的人物在小E心目中的重要性不同,在小E心中分量越重的人,收到的礼物会越多.小E从商店中购买了n件礼物,打算送给m个人,其中送给第i个人礼物数量为wi.请你帮忙计算出送礼物的方案数(两个方…

lucas定理及其拓展的推导

lucas定理及其拓展的推导我的前一篇博客-- lucas定理 https://mp.csdn.net/mdeditor/100550317#主要是给出了lucas的结论和模板,不涉及推导. 本篇文章主要侧重lucas定理及其拓展的公式推导.先从pwp^wpw的一般情况进行推导,最后令w=1w=1w=1进一步推导出了lucas定理的结论.可能会比较枯燥. 想直接阅读结论的请转向这篇博客--拓展lucas结论及模板 https://blog.csdn.net/yuyilahanbao/artic…

『Lucas定理以及拓展Lucas』

Lucas定理在『组合数学基础』中,我们已经提出了$Lucas$定理,并给出了$Lucas$定理的证明,本文仅将简单回顾,并给出代码. $Lucas$定理:当$p$为质数时,$C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}*C_{n/p}^{m/p}(mod\ p)$. 在计算模域组合数时,如果模数较小,那么就可以尝试使用$Lucas$定理来递归求解,其时间复杂度为$O(plog_p\min(n,m))$. $Code:$ inlin…

Lucas定理学习小记

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 = [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

[Swust OJ 247]--皇帝的新衣(组合数+Lucas定理)

题目链接:http://acm.swust.edu.cn/problem/0247/ Time limit(ms): 1000 Memory limit(kb): 65535 Description 在很久很久以前,有个臭美国王.一天,他得到了一件新衣,于是决定巡城看看老百姓的反应(囧).于是他命令可怜的宰相数一下他有多少种巡城方案. 城市是一个N*M的矩形,(N+1)*(M+1)条街把城市分成了N*M块.国王从左下角出发,每次只能向右或向上走,右上角是终点. 请你帮帮可怜的宰相. In…

Lucas定理学习(进阶中)

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 = [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

[自用]数论和组合计数类数学相关（定理&证明&板子）

0 写在前面本文受 NaVi_Awson 的启发,甚至一些地方直接引用,在此说明. 1 数论 1.0 gcd 1.0.0 gcd $gcd(a,b) = gcd(b,a\;mod\;b)$ 证明:设 $c\mid a$,$c\mid b$,则 $c\mid (b-a)$. 设 $c\nmid a$,则 $c$ 不是 $a,b-a$ 的公因子. 设 $c\mid a$,$c\nmid b$,则 $c$ 不是 $a,b-a$ 的公因子. int gcd(int a,int b){ if(!b) r…

扩展Lucas定理

(1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 = [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) .我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理.对于模p而言,我们有下面的式子成立: 上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余.其…

[总结]数论和组合计数类数学相关（定理&证明&板子）

0 写在前面 0.0 前言由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. 该文于 2018.3.31 完成最后一次修改(若有出错的地方,之后也会进行维护).其主要内容限于数论和组合计数类数学相关问题.因为版面原因,其余数学方面的总结会以全新的博文呈现. 感谢你的造访. 0.1 记号说明由于该文完成的间隔跨度太大,不同时期的内容的写法不严谨,甚至 $LaTeX$ 也有许多…

lucas定理学习

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p,p为素数的值. 表达式: C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 当我们遇到求一个N,M很大的组合数的时候,递推法就显得很耗时了,对于1e9那么大的数据求N!%P,无论是空间还是时间都不会允许. 于是引申出lucas定理,利用这个表达式可以将数量级降低好几个,从而减小时间和空间的开销. 一般来说可以用lucas定理解决的问题都是N,M很大,但质数P相对来说在1e5左右,不会太大,我们利用迭代渐渐缩小N,M的值, 将C(N…

【bzoj1951】【古代猪文】Lucas定理+欧拉定理+孙子定理

(上不了p站我要死了,当然是游戏原画啊) Description (题面倒是很有趣,就是太长了) 题意: 一个朝代流传的猪文文字恰好为N的k分之一,其中k是N的一个正约数(可以是1和N).不过具体是哪k分之一,以及k是多少,由于历史过于久远,已经无从考证了.考虑到所有可能的k.显然当k等于某个定值时,该朝的猪文文字个数为N / k.然而从N个文字中保留下N / k个的情况也是相当多的.如果所有可能的k的所有情况数加起来为P的话,那么他研究古代文字的代价将会是G的P次方. 现在他想知道研究古代文字…

CPC23-4-K. 喵喵的神数（数论 Lucas定理）

喵喵的神∙数 Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB Description 喵喵对组合数比較感兴趣,而且对计算组合数很在行. 同一时候为了追求有后宫的素养的生活,喵喵每天都要研究质数. 我们先来复习一下什么叫做组合数.对于正整数P.T 然后我们再来复习一下什么叫质数.质数就是素数,假设说正整数N的约数仅仅有1和它本身,N就是质数:另外. 1…

Ceizenpok’s formula Gym - 100633J 扩展Lucas定理 + 中国剩余定理

http://codeforces.com/gym/100633/problem/J 其实这个解法不难学的,不需要太多的数学.但是证明的话,我可能给不了严格的证明.可以看看这篇文章 http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html 膜拜 #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include…

Lucas定理详解

这篇博客是从另一位园友那里存的,但是当时忘了写原文的地址,如果有找到原文地址的请评论联系! Lucas定理解决的问题是组合数取模.数学上来说,就是求 $\binom n m\mod p$.(p为素数) 这里$n,m$可能很大,比如达到$10^{15}$,而$p$在$10^9$以内.显然运用常规的阶乘方法无法直接求解,所以引入Lucas定理. Lucas定理把$n$和$m$写成$p$进制数的样子(如果长度不一样把短的补成长的那个的长度): \(n=(a0a1-ak…

Lucas定理的运用及组合数奇偶性的判断

组合数奇偶性的判断对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数. 最直观的方法就是计算一下,然后看它的奇偶性:但是这个时间以及数据范围上都不允许: 另外一种方法就是,对于给定C(n,m),检查n中2因子的个数与m和(n-m)中2因子个数和的关系,假设n!中2因子个数为a,m!中2因子个数为b,(n-m)!中2因子个数为c,则显然有a>=(b+c):并且当a==b+c时,一定为奇,否则为偶.题意转化为求a和b+c.求一个阶乘中含有的素因子i的个数的方法可以参见Knu…

Lucas定理初探

1.1 问题引入已知$p$是一质数,求$\dbinom{n}{m}\pmod{p}$. 关于组合数,它和排列数都是组合数学中的重要概念.这里会张贴有关这两个数的部分内容. 由于Lucas定理比较简单粗暴,这里直接给出表达式: \[\boxed{\dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{n\mod p}{m\mod p}\dbinom{\frac{n}{p}}{\frac{m}{p}}\pmod{p}}\]. 或者: \[\boxed{\dbinom{n}{m}\equiv…

拓展lucas结论及模板

lucas及其拓展模板题洛谷 P4720 本文侧向结论和代码实现, 推导请转至lucas定理及其拓展的推导 https://blog.csdn.net/yuyilahanbao/article/details/100568285 lucas定理请阅读lucas定理 https://blog.csdn.net/yuyilahanbao/article/details/100550317 拓展lucas的结论 (nm)≡pk1−k2−k3×b1×b2−1×b3−1×cu1−u2−u3×k1!k…

组合数取模及Lucas定理

引入: 组合数C(m,n)表示在m个不同的元素中取出n个元素(不要求有序),产生的方案数.定义式:C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!)(并不会使用LaTex QAQ). 根据题目中对组合数的需要,有不同的计算方法. (1)在模k的意义下求出C(i,j)(1≤j≤i≤n)共n2 (数量级)个组合数: 运用一个数学上的组合恒等式(OI中称之为杨辉三角):C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n). 证明: 1.直接将组合数化为定义式暴力通分再合并.过程略. 2.运用组合数的含义:设m…

【算法学习笔记】组合数与 Lucas 定理

卢卡斯定理是一个与组合数有关的数论定理,在算法竞赛中用于求组合数对某质数的模. 第一部分是博主的个人理解,第二部分为 Pecco 学长的介绍第一部分一般情况下,我们计算大组合数取模问题是用递推公式进行计算的: \[C_n^m=(C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}) mod\ p \] 其中p相对较小的素数.但是当n和m过大时,计算的耗费就急剧增加$O(mn)$,在实践中不适用.当这时候就需要Lucas定理进行快速运算: \[C_n^m=\prod_{i=0}^{k}C_{n_…

【HDU 3037】Saving Beans Lucas定理模板

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037 Lucas定理模板. 现在才写,noip滚粗前兆QAQ #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int jc[100003]; int p; int ipow(int x, int b) { ll t = 1, w = x;…

CF451E Devu and Flowers （隔板法容斥原理 Lucas定理求逆元）

Codeforces Round #258 (Div. 2) Devu and Flowers E. Devu and Flowers time limit per test 4 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Devu wants to decorate his garden with flowers. He has purchased n boxes…