Min25筛求1-n内的素数和

1 //#include <bits/stdc++.h> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<iostream> 6 #include<string> 7 #include<vector> 8 #include<stack> 9 #include<bitset> 10 #include<…

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long ll; ]; ]; int main() { int n; while(cin>>n){ ; ;i<=n;i++){…

[总结] min-25筛

再不写总结我又会忘掉啊啊啊啊啊啊啊啊啊这个\(min-25\)筛主要用来求一个积性函数的前缀和,就像这样\[\sum_{i=1}^n f(i)\] 不过这个积性函数要满足两个条件:质数\(p\)的函数值\(f(p)\)有个多项式表达,\(f(p^c)\)能够快速计算 \(min-25\)筛求前缀和的过程可以看成把所有数贡献分成质数贡献和合数贡献计算(可能有\(1\)的贡献).先考虑质数的贡献 ... 好像除了暴力没有更好的办法啊不过可以发现一个数\(>\sqrt{n}\)的质因子最多只有一个…

loj#6235. 区间素数个数(min25筛)

题意题目链接 Sol min25筛的板子题,直接筛出\(g(N, \infty)\)即可筛的时候有很多trick,比如只存\(\frac{N}{x}\)的值,第二维可以滚动数组滚动掉 #include<bits/stdc++.h> #define LL long long //#define int long long using namespace std; const int MAXN = 2e6 + 10; int Lim, vis[MAXN], prime[MAXN], tot;…

hdu6607 min25筛+杜教筛+伯努利数求k次方前缀和

推导过程类似https://www.cnblogs.com/acjiumeng/p/9742073.html 前面部分min25筛,后面部分杜教筛,预处理min25筛需要伯努利数 //#pragma GCC optimize(2) //#pragma GCC optimize(3) //#pragma GCC optimize(4) //#pragma GCC optimize("unroll-loops") //#pragma comment(linker, "/stack…

BZOJ-5244 最大真因数（min25筛）

题意:一个数的真因数指不包括其本身的所有因数,给定L,R,求这个区间的所有数的最大真因数之和. 思路:min25筛可以求出所有最小因子为p的数的个数,有可以求出最小因子为p的所有数之和. 那么此题就是对于所有素数因子,求它对应的和. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll unsigned long long ; ll Sqr,vis[maxn],pri[maxn],sp[maxn],tot,m,id1[maxn],id2…

「学习笔记」Min25筛

「学习笔记」Min25筛前言周指导今天模拟赛五分钟秒第一题,十分钟说第二题是 \(\text{Min25}\) 筛板子题,要不是第三题出题人数据范围给错了,周指导十五分钟就 \(\text{AK}\) 了,为了向 \(\text{AK}\)王学习,真诚的膜拜他,接受红太阳的指导,下午就学习了一下 \(\text{Min25}\) 筛. 简介如果 \(f(n)\) 是一个积性函数,且 \(f(n)\) 是一个关于 \(n\) 的简单多项式,并可以快速算出 \(f(p^k),\ p\…

min25筛学习总结

前言杜教筛学了,顺便把min25筛也学了吧= =刚好多校也有一道题需要补. 下面推荐几篇博客,我之后写一点自己的理解就是了. 传送门1 传送门2 传送门3 这几篇写得都还是挺好的,接下来我就写下自己对min25筛的理解吧 . 正文简介: min25筛同杜教筛类似,是用来解决一类积性函数的前缀和,即\(\sum_{i=1}^nF(i)\),并且这里的\(n\)可以达到\(10^{10}\)的规模. 但所求积性函数要求满足以下条件: \(F(p)\)可以表示为简单多项式的形式,比如\(p_1^{…

CodeForces - 83D:Numbers (数学&递归 - min25筛 )

pro:给定三个整数L,R,P求[L,R]区间的整数有多少个是以P为最小因子的.L,R,P<2e9; sol: 一: 比较快的做法是,用函数的思想递归. 用solve(N,P)表示求1到N有多少数字多少个的最小因子是P: 1,首先P是合数,或者N<P:solve=0: 2,否则,如果P*P>=N:solve=1: 3,solve=N/P-solve(N/P,i); 2<=i<P 由于P主要分布在sqrt(N),而且N每次log级别减小,所以收缩得很快.具体的复杂度我证…

Min25筛

Min25筛我是沙雕... 从yyb博客蒯的要求:\(\sum_{i=1}^nF(x)\) \(F(x)\)是积性函数. \(Min25\)筛能用的前提:质数处的\(f(p)\)值是关于\(p\)的多项式,质数次方处的\(f(p^e)\)值可以快速计算. 预处理设完全积性函数\(F'(x)\),在质数处取值\(F(p)=F'(p)\). 预处理一个\(g\)函数.\(g(n,j)=\sum_{i=1}^nF'(i)[i\in\mathbb{P}\text{ or }\min_{p|i}p…

Min25 筛与 Powerful Numbers

Min25 筛与 Powerful Numbers Min25 筛大喊一声 Min25 NB!!! 这是一个非常神奇的东西,用于求更加普遍的积性函数的前缀和. 比如我们要求 \(\sum_{i=1}^{n}f(i)\),其中 \(f(1)=1\).我们考虑将质数与合数分开考虑.(由于 \(1\) 这俩都不是,我们先不考虑)所以答案就等于质数的答案加上合数的答案再加上 \(f(1)\). 但是这样还是不够优美.因为合数的范围太广泛了,我们考虑对于每个质数再分组. 在这里,我们设 \(\sigma…

LOJ# 572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和（min25筛，杜教筛，莫比乌斯反演）

题意求 \[ \sum_{i = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f(\gcd(i, j))^k \pmod {2^{32}} \] 其中 \(f(x)\) 为 \(x\) 的次大质因子,重复的质因子计算多次. 特别的,定义 \(f(1) = 0, f(p) = 0\) ,此处 \(p\) 为质数. 题解首先先莫比乌斯反演前几步. \[ ans = \sum_{d = 1}^{n} f(d)^k \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloo…

关于素数：求不超过n的素数，素数的判定(Miller Rabin 测试)

关于素数的基本介绍请参考百度百科here和维基百科here的介绍首先介绍几条关于素数的基本定理: 定理1:如果n不是素数,则n至少有一个( 1, sqrt(n) ]范围内的的因子定理2:如果n不是素数,则n至少有一个(1, sqrt(n) ]范围内的素数因子定理3:定义f(n)为不大于n的素数的个数,则 f(n) 近似等于 n/ln(n) (ln为自然对数) ,具体请参考here 求不超过n的素数本文地址算法1:埃拉托斯特尼筛法,该算法的…

省赛i题/求1~n内所有数对（x,y）,满足最大公约数是质数的对数

求1~n内所有数对(x,y),gcd(x,y)=质数,的对数. 思路:用f[n]求出,含n的对数,最后用sum[n]求和. 对于gcd(x,y)=a(设x<=y,a是质数),则必有gcd(x/a,y/a)=1;所以我只要枚举i(设i=y/a),再枚举所有质数他们乘积的f[i*a]值包括i的欧拉函数值.时间复杂度(n*质数个数) #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int maxx=1…

省赛i题/求1~n内全部数对（x,y）,满足最大公约数是质数的对数

求1~n内全部数对(x,y),gcd(x,y)=质数,的对数. 思路:用f[n]求出,含n的对数.最后用sum[n]求和. 对于gcd(x,y)=a(设x<=y,a是质数),则必有gcd(x/a,y/a)=1;所以我仅仅要枚举i(设i=y/a),再枚举全部质数他们乘积的f[i*a]值包含i的欧拉函数值. 时间复杂度(n*质数个数) #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int maxx…

莫比乌斯反演/线性筛/积性函数/杜教筛/min25筛学习笔记

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

min-25筛总结

怕忘了赶快更一下.就是求积性函数前缀和的. 没有 \(\LaTeX\) 原理现在你有一个积性函数 f(1)=1 FP(p) FPK(p,k) 首先要求的是前缀和,那就是f(质数)+f(合数)+f(1),然后f(1)=1直接最后加上,算前面的时候直接忽略掉. 首先算质数(min25筛第一阶段) 为了能做必须先把f(x)搞成一堆完全积性函数的和一起筛,下面以其中一个f(x)为例设G(n,j)为2-n中i(i是质数或者i的最小质因子>pj)的f(i)之和,f是积性函数中的FP函数按j从小到大分层…

min25筛学习笔记

min25筛简介:用来求积性函数F(x)前缀和的,复杂度O(n0.75/logn),大概能求n<=1010. 记一个数x的最小质因子为R(x),所以当x不为质数时,R(x)<=√x这是废话. 首先求所有质数的F(x)和,下设g(i,j)=ΣF(x),其中2<=x<=i,且x为质数或R(x)>pri[j],其中pri[j]为第j个质数.其实,j的取值至多√n个显而易见,下面可以发现最终状态是g(i,tot),其中tot为√n以内的质数个数.初始化g(i,0),即将所有数视为质数…

Min25 筛学习笔记

仅仅是 \(min25\) 筛最基本的方法,没有任何推式子的例题.(想了想还是加两道吧qwq) 这里解决的是 \(Luogu\) 那道模板题. min25 基本方法: 最基础的是两个式子: \[G(n,m): 所有合数 \space x \le n \space 的最小质因子 > pri_m 的 \space p^k 和或者是质数 \space x \le n \space 的\space p^k 的和.\\ G(n,m) = G(n,m - 1) - pri_m^k \times (G(\fr…

python3 filter用法（举例求0~n之间的素数）

在用python3求0~n之间的素数时,关于filter用法的有点模糊,于是上网查了一下filter用法. 求0~n之间素数的脚本prime.py: def f(x): plist = [0,0] + list(range(2,x+1)) for i in range(2,x): if plist[i]: plist[i+i::i] = [0]*len(plist[i+i::i]) return filter(None,plist) print(list(f(1000))) 关于filter不是…