CF662C Binary Table 一道 FWT 的板子-比较难想就是了 有一个 \(n\) 行 \(m\) 列的表格,每个元素都是 \(0/1\),每次操作可以选择一行或一列,把 \(0/1\) 翻转,即把 \(0\) 换为 \(1\) ,把 \(1\) 换为 \(0\) .请问经过若干次操作后,表格中最少有多少个 \(1\). \(1 \leq n \leq 20\) \(1 \leq m \leq 10^5\) 先说说 FWT 干嘛的吧 \(F_k = \sum_{i \oplus j…

CF662C Binary Table 题意: 给出一个\(n\times m\)的\(01\)矩阵,每次可以反转一行或者一列,问经过若干次反转之后,最少有多少个\(1\) \(n\le 20, m\le 10^5\) 题解: 可以把每一列看作一个二进制数,这样得到\(m\)个二进制数,记为\(A\),翻转第\(i\)列就相当于把每个二进制数异或上\(1<<i\),由于\(n\)很小,所以枚举所有的翻转组合,一共\(2^n\)种,令\(d(x)\)表示最高位为\(n\)的二进制数中\(0\)和…

一个数学不好的菜鸡的快速沃尔什变换(FWT)学习笔记 曾经某个下午我以为我会了FWT,结果现在一丁点也想不起来了--看来"学"完新东西不经常做题不写博客,就白学了 = = 我没啥智商 ,网上的FWT博客我大多看不懂,下面这篇博客是留给我我再次忘记FWT时看的,所以像我一样的没智商选手应该也能看懂!有智商选手更能看懂咯! (写得非常匆忙,如有任何错误请在评论区指正!TAT) 什么是FWT FWT是用来快速做位运算卷积的.位运算卷积是什么?给出两个数组\(A\)和\(B\)(长度相等且是2…

快速沃尔什变换\(FWT\) 是一种可以快速完成集合卷积的算法. 什么是集合卷积啊? 集合卷积就是在集合运算下的卷积.比如一般而言我们算的卷积都是\(C_i=\sum_{j+k=i}A_j*B_k\),而集合卷积计算的就是\(C_i=\sum_{j\otimes k=i}A_j*B_k\),其中\(\otimes\)是一种集合运算,可以是与.或.异或. 类似于快速傅里叶变换\(FFT\),\(FWT\)也需要寻求一种变换方式\(FWT(A)\),使\(FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)\)…

也许更好的阅读体验 本文主要内容是对武汉市第二中学吕凯风同学的论文<集合幂级数的性质与应用及其快速算法>的理解 定义 集合幂级数 为了更方便的研究集合的卷积,引入集合幂级数的概念 集合幂级数也是形式幂级数的一种,只是集合的一种表现形式,无需考虑收敛或发散的含义 定义一个集合 \(S\) 的集合幂级数为 \(f\) ,那么我们就可以把集合 \(S\) 表示为如下形式 \(\begin{aligned}f=\sum _{T\subseteq S}f_{T}\cdot x^{T}\end{align…

[学习笔鸡]快速沃尔什变换FWT OR的FWT 快速解决: \[ C[i]=\sum_{j|k=i} A[j]B[k] \] FWT使得我们 \[ FWT(C)=FWT(A)*FWT(B) \] 其中\(*\)是点积,就是对应位置乘起来. 而对于\(orFWT\), \[ C'[i]=FWT(C)[i]=\sum_{j\subseteq i}C[j] \] 那么证明一下: \[ \begin{array} &C'[i]&=\sum_{j\subseteq i} C[j] \\ &=…

最近在学FWT,抽点时间出来把这个算法总结一下. 快速沃尔什变换(Fast Walsh-Hadamard Transform),简称FWT.是快速完成集合卷积运算的一种算法. 主要功能是求:,其中为集合运算符. 就像FFT一样,FWT是对数组的一种变换,我们称数组X的变换为FWT(X). 所以FWT的核心思想是: 为了求得C=A★B,我们瞎搞搞出一个变换FWT(X), 使得FWT(C)=FWT(A)  FWT(B),然后根据FWT(C)求得C. (其中★表示卷积运算,表示将数组对应下标的数相乘的…

〇.前言 之前看到异或就担心是 FWT,然后才开始想别的. 这次学了 FWT 以后,以后判断应该就很快了吧? 参考资料 FWT 详解 知识点 by neither_nor 集训队论文 2015 集合幂级数的性质与应用及其快速算法 by 吕凯风 一.FWT 是什么 FWT 是快速沃尔什变换.它和快速傅里叶变换一样,原本都用于物理中的频谱分析. 但是由于它可分治的特点,在算法竞赛中常被用来计算位运算卷积. 二.FWT 能干什么 它可以在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内由数组 \(a,b…

感觉快速沃尔什变换和快速傅里叶变换有很大的区别啊orz 不是很明白为什么位运算也可以叫做卷积(或许不应该叫卷积吧) 我是看 http://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/52819835 里的快速沃尔什变换 这里说一下自己的理解吧,快速傅里叶变换是计算卷积的,就是∑f(x)*g(n-x)这种 快速沃尔什变换也是计算∑f(x)*g(y) ,但这里是计算所有的满足x^y = n(卷积是计算x+y=n)的和 当然,异或也可以换成&,|这些运算符…

题面 题解 我们会发现,如果单独的一列或一行,它的答案是O1确定的,如果确定了每一行是否变换,那么最后的答案也就简单了许多, 如果确定了行的变换状压下来是x(即x的i位表示第i行是否变换,理解就行),那么每列的状态就要异或x,这没问题吧 接着,其实它的行列是可以交换顺序的,对答案没有影响,状态一定的列的最终贡献都一样, 所以就把状态为 i 的列的数量记为 c[i],方便计算, 然后,提前预处理出列的状态为 i 时单独考虑的答案 f[i](即反转或不反转的最小1数量),方便计算 若枚举行的变换x,…