\(\\\) Miller-Rabin 素性测试 考虑如何检验一个数字是否为素数. 经典的试除法复杂度 \(O(\sqrt N)\) 适用于询问 \(N\le 10^{16}\) 的时候. 如果我们要把询问范围加到 \(10^{18}\) ,再多组询问呢? Miller 和 Rabin 建立了Miller-Rabin 质数测试算法. \(\\\) Fermat 测试 首先我们知道费马小定理: \[ a^{p-1}\equiv 1\pmod p \] 当且仅当 \(p\) 为素数时成立. 逆命题是…

题意:给出一个N,若N为素数,输出Prime.若为合数,输出最小的素因子.思路:Pollard rho大整数分解,模板题 #include <iostream> #include <stdio.h> #include <algorithm> #include <string.h> #include <cstdlib> #include <cmath> using namespace std; long long n; long lon…

链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php? pid=3864 题意:给出一个数N(1<=N<10^18).假设N仅仅有四个约数.就输出除1外的三个约数. 思路:大数的质因数分解仅仅能用随机算法Miller Rabin和Pollard_rho.在測试多的情况下正确率是由保证的. 代码: #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include &l…

整数分解,又称质因子分解.在数学中,整数分解问题是指:给出一个正整数,将其写成几个素数的乘积的形式. (每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数就都叫做这个合数的质因数.) .试除法(适用于范围比较小) 无论素数判定还是因子分解,试除法(Trial Division)都是首先要进行的步骤.令m=n,从2~根n一一枚举,如果当前数能够整除m,那么当前数就是n的素数因子,并用整数m 将当前数除尽为止. 若循环结束后m是大于1的整数,那么此时m也是n的素数因子. 事例如HDU1164:15mm…

一些前置知识可以看一下我的联赛前数学知识 如何判断一个数是否为质数 方法一:试除法 扫描\(2\sim \sqrt{n}\)之间的所有整数,依次检查它们能否整除\(n\),若都不能整除,则\(n\)是质数,否则\(n\)是合数. 代码 bool is_prime(int n){ if(n<2) return 0; int m=sqrt(n); for(int i=2;i<=m;i++){ if(n%i==0) return 0; } return 1; } 方法二.线性筛 用 \(O(n)\)…

目录 问题 流程 代码 生日悖论 end 问题 给定n,要求对n质因数分解 普通的试除法已经不能应用于大整数了,我们需要更快的算法 流程 大概就是找出\(n=c*d\) 如果\(c\)是素数,结束,不是继续递归处理. 具体一点的话 1.先对n进行\(miller\_rabin\)测试,是素数就直接结束了 如果不会的话,看我前篇博客的介绍吧 为何还要多写个\(miller\_rabin\),他没有非平凡因子,他要保证复杂度? 2.随机基底a和c,生成序列\(x_{0}=a,x_{i}=x_{i-1…

x = lcm/gcd,假设答案为a,b,那么a*b = x且gcd(a,b) = 1,因为均值不等式所以当a越接近sqrt(x),a+b越小. x的范围是int64的,所以要用Pollard_rho算法去分解因子.因为a,b互质,所以我们把相同因子一起处理. 最多16个不同的因子:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47, 乘积为 614889782588491410, 乘上下一个质数53会爆int64范围. 所以剩下暴力枚举一下就好. #include…

BUPT2017 wintertraining(15) #8E 题意 长度为n(\(n<2^{63}\))的绳子,每隔长度L(1<L<n)做一次标记,标记值就是L,L是n的约数. 每轮标记都选一个L,且L之间两两互质. 求L的最多种数K.以及标记之和S的最大值. 题解 对n进行分解质因数,K就是不同质因子的个数,S就是p^{a_i}之和.不过题目要求L<n,所以当S算出来是n时,再除以一下最小的质因子. 分解比较小的n(<1e9),可以直接枚举,复杂度是\(O(\sqrt n…

Prime Test Time Limit: 6000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29193 Accepted: 7392 Case Time Limit: 4000MS Description Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number. Input The first line contains the num…

Eddy's research I Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 6664    Accepted Submission(s): 3997 Problem Description Eddy's interest is very extensive, recently he is interested in prime…