Vfk的集合幂级数论文的例题….随机集合并为全集的期望集合数….这篇题解里的东西基本来自vfk的论文. 首先根据期望的线性性,我们把需要走第1步的概率(一定为1)加上需要走第2步的概率(等于走了第一步之后没有得到全集的概率)加上需要走第3步的概率(等于走了两步之后没有得到全集的概率)….一直加到需要走正无穷步的概率就是期望的步数.那么走了x步之后没有得到全集的概率等于走了x步之后得到不是全集的集合的概率之和.那么我们用集合并卷积定义乘法,把给出的概率视作集合幂级数,求集合幂级数的等比数列之和,把…

「HAOI2015」按位或 解题思路 : 这类期望题一眼 \(\text{Min-Max}\) 容斥,只需要稍微推一下如何求 \(E(minS)\) 即可. \[ E(minS) = \frac{1}{\sum_{T \cap S\neq \emptyset} p_T} \\ = \frac{1}{1-\sum_{T \cap S = \emptyset}p_T} \\ = \frac{1}{1-\sum_{T \cap (U-S) = T}p_T} \\ = \frac{1}{1-\sum_{…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/BZOJ4036.html 题目传送门 - BZOJ4036 题意 刚开始你有一个数字 $0$ ,每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$ 的数字,与你手上的数字进行 $OR$ (按位或) 操作. 选择数字 $i$ 的概率是 $p_i$ .保证 $0\leq p_i\leq 1$ ,$\sum_{i=0}^{2^n-1}p_i=1$ . 问期望多少秒后,你手上的数字变成 $2^n-1$ . $n\leq…

考虑min-max容斥,改为求位集合内第一次有位变成1的期望时间.求出一次操作选择了S中的任意1的概率P[S],期望时间即为1/P[S]. 考虑怎么求P[S].P[S]=∑p[s] (s&S>0)=1-∑p[s] (s&S==0).做一个高维前缀和即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdlib>…

题目链接 BZOJ4036 题解 好套路的题啊,,, 我们要求的,实际上是一个集合\(n\)个\(1\)中最晚出现的\(1\)的期望时间 显然\(minmax\)容斥 \[E(max\{S\}) = \sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1}E(min\{T\})\] 那么问题就转化为了求每个集合中最早出现的\(1\)的期望时间 假如在\(k\)时刻出现,那么前\(k - 1\)时刻一定都是取的补集的子集,记\(T\)补集的所有子集概率和为\(P\) \…

传送门:https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036 Description 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字,与你手上的数字进行或(c++,c的|,pascal 的or)操作.选择数字i的概率是p[i].保证0<=p[i]<=1,Σp[i]=1问期望多少秒后,你手上的数字变成2^n-1. Input 第一行输入n表示n个元素,第二行输入2^n个数,第i个数表示选到i-1的概率 Output 仅输出一个…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036 题解 变成 \(2^n-1\) 的意思显然就是每一个数位都出现了. 那么通过 MinMax 容斥,可以把问题转化为对于一个集合 \(S\),求 \(S\) 中至少有一个元素出现的概率. 这个问题等价于求 \(S\) 中没有任何一个元素出现的概率,即出现的数都是 \(S\) 的补集的子集的概率. 这个问可以通过 SoSDP 实现,时间复杂度 \(O(n2^n)\). 关于 SoSDP 这…

用$ Min-Max$容斥之后要推的东西少了好多 无耻的用实数快读抢了BZOJ.Luogu.LOJ三个$ OJ$的Rank 1 即将update:被STO TXC OTZ超了QAQ 题意:集合$ [0,2^n)$中每次以一定给出概率产生一个数,求产生数按位或值为$ 2^n-1$的数字数量期望 $ Solution:$ 根据$ Min-Max$容斥,令$ Max(S)$表示所有位中最后一次出现的时间,$Min(S)$表示第一次出现的时间 显然有$ ans=Max(S)$ 根据$ Min-Max$容…

题解 听说这是一道论文题orz \(\sum_{k = 1}^{\infty} k(p^{k} - p^{k - 1})\) 答案是这个多项式的第\(2^N - 1\)项的系数 我们反演一下,卷积变点积 \(\hat{f_{S}} = \sum_{k = 1}^{\infty} k(\hat{p_{S}}^{k} - \hat{p_{S}}^{k - 1})\) 这是个等比数列啊,怎么推呢= = 设答案为\(S\) \(S = \infty \hat{p}^{\infty} - \sum_{k…

题意 刚开始你有一个数字 \(0\),每一秒钟你会随机选择一个 \([0,2^n-1]\) 的数字,与你手上的数字进行或操作.选择数字 \(i\) 的概率是 \(p[i]\) . 问期望多少秒后,你手上的数字变成 \(2^n-1\).\(n \leq 20\) . Solution $ \text{min-max}$ 容斥. 答案即求 \(E(\max(S))\) 即全集 \(S\) 最后一个元素出现时间的期望. 根据 $ \text{min-max}$ 容斥 : \[ E(\max(S))=\…