也许更好的阅读体验 \(Burnside引理\) 公式 \(\begin{aligned}L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}D_{G_i}\end{aligned}\) 一些定义 \(E_i\) 表示与\(i\)同类的方案 \(Z_i\) 表示使\(i\)不变的置换 \(G\) 表示所有的置换方法 \(D_i\) 表示第\(i\)种置换能使多少方案不变 \(n\) 表示方案总数 \(L\) 表示本质不同的方案数 引理的引理 \(|E_i|*|Z_i|=|G|\) \(…

零.约定: (置换等名词会在前置知识中有解释) \(1.\)在本文中,题目要求的染色方案等统称为"元素". \(2.\)两个元素严格相等我们记做"\(=\)",两个元素等价(按题目所给的置换可以互相得到)我们记做"\(\Leftrightarrow\)". \(3.\)元素\(a\)进行置换\(g\)我们记做\(a\otimes g\). \(4.\)置换之间的乘积记做\(\odot\),\(g_i=g_j\odot g_k\),当且仅当\(\f…

原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Burnside-Polya.html 问题模型 有一个长度为 $n$ 的序列,序列中的每一个元素有 $m$ 种取值. 如果两个序列循环同构,那么我们称这两个序列等价. 求两两不等价的序列个数. Burnside引理 假设有若干个置换 $P_1,P_2,\cdots$ ,设由这些置换生成的置换群为 $Q$ .如果序列 A 可以通过一个 $Q$ 中的置换变成序列 B,那么我们认为 A 和 B 等价. 对于一个置换 $P$ ,如果…

对Polya定理的个人认识     我们先来看一道经典题目:     He's Circles(SGU 294)         有一个长度为N的环,上面写着“X”和“E”,问本质不同的环有多少个(不能旋转重复就称之为本质不同) 输入样例:4 输出样例:6 那么要怎么办呢?暴力显然暴不出来…… 我们可以考虑使用置换群. 我们有两种算法: ①Burnside引理: 答案直接为1/|G|*(D(a1)+D(a2)+D(a3)+……+D(as)) 其中D(ak)为在进行置换群置换操作ak下不变的元素的…

http://www.cnblogs.com/wenruo/p/5304698.html 先看 Polya定理,Burnside引理回忆一下基础知识.总结的很棒. 一个置换就是集合到自身的一个双射,置换群就是元素为置换的群. 再看 Polya入门  涨涨姿势. Burnside定理,在每一种置换群也就是等价群中的数量和除以置换群的数量,即非等价的着色数等于在置换群中的置换作用下保持不变的着色平均数. Polya定理:设 是n个对象的一个置换群, 用m种颜色染图这n个对象,则不同的染色方案数为:…

Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决…

#Burnside引理与polay定理 引入概念 1.置换 简单来说就是最元素进行重排列 是所有元素的异议映射,即\([1,n]\)映射到\([1,n]\) \[ \begin{pmatrix} 1&2&i \ldots n \\ a_{1} & a_{2}&a_{i} \ldots a_{n} \end{pmatrix}\] 比如,把正方体绕中心旋转90度,可以看做四个顶点的一个置换 (1)置换可以构成换:对于元素连一条有向边,连到置换中映射的元素,会构成n个环,(循环)…

一.前置概念 接下来的这些定义摘自 置换群 - OI Wiki. 1. 群 若集合 \(s\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足一下性质: 封闭性:\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\). 结合律:\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\). 单位元:\(\exists e\in S,\forall…

感觉这两个东西好鬼畜= = ,考场上出了肯定不会qwq.不过还是学一下吧用来装逼也是极好的 群的定义 与下文知识无关.. 给出一个集合$G = \{a, b, c, \dots \}$和集合上的二元运算"$*$",并满足 (1).封闭性:$\forall a, b \in G, \exists c \in G, a * b = c$ (2).结合律:$\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$ (3).单位元:$\exists e…

参考:刘汝佳<算法竞赛入门经典训练指南> 感觉是非常远古的东西了,几乎从来没有看到过需要用这个的题,还是学一发以防翻车. 置换:排列的一一映射.置换乘法相当于函数复合.满足结合律,不满足交换律. 置换的循环分解:即将置换看成一张有向图,分解成若干循环.循环的数量称为循环节. 以置换集合来描述等价关系.如果存在一个置换将一个方案映射到另一个方案,则这两个方案等价.置换集合应当构成置换群. 不动点:方案s经过置换f不变,则s为f的不动点. Burnside引理:等价类数量=所有置换的不动点数量的平…