泰勒定理: 证明:…

前言:其实无穷序列和无穷级数和数列{an}以及我们接触微积分就给出的极限概念lim有着紧密的联系,它对于我们在具体的问题当中进行建模和数据分析有着非常重要的作用. 无穷序列: 最简单的一种说法,就是一个有无限项的数列{an}.由于其项数无限,我们就可以去分析随着数列下标n的增加,an的敛散性,这就和极限联系了起来.包括极限的运算法则夹层定理,在这里都有用武之地. 无穷级数: 一个很简单的说法,就是将无穷序列加和,然后分析其敛散性. 在不同的实际工程问题中我们将会面临不同的无穷级数,因此在这之前数…

背景 蛟川书院模拟试题 描述 TOM有一个无穷序列中如下:110100100010000100000.....请你帮助TOM找出在这个无穷序列中指定位置上的数字 输入格式 第一行一个正整数N,表示询问的次数:接下来的N行一个正整数Ai,Ai表示在序列中的位置. 输出格式 N行,每一行为0或1,表示序列第Ai位上的数字. 测试样例1 输入 4 3 14 7 6 输出 0 0 1 0 备注 对于100%的数据有N<=1500000,Ai<=10^9提示:差值为1的等差数列   Sn(前n项和)=n…

Q:定义p级数有如下形式,讨论p级数的敛散性.(p>o) 我们以p = 1作为分界点,因为实践表明这个分界点是最优区分度的.那么下面我们进行分情况讨论. 在这之前,我们有必要先引入一个检验敛散性的方法——积分检验法. 所谓积分检验法,就是将级数的通项看成一个函数表达式,而求解无穷级数也就是求解无穷项的和的时候,其实恰恰对应着函数求积分的过程,因此我们在判断无穷级数敛散性的时候,我们可以借助积分这个工具来进行间接的判断.给出下面的图便一目了然. 原则上这个方法的正确性是需要证明的,在<托马斯大学…

写在前面:写在前面的当然是对大天朝教材的吐槽啦. 曾记否,高中所学虚数和复平面的概念,如此虚无的概念到了大学一门叫<模拟电子技术>的课程中居然明目张胆的开始进行计算! 曾记否,高中的指对运算,他们老师由于不想说话就向我们扔了一个自然对数e! 其实很多人觉得数学抽象.晦涩而且无章可循,其实这都是假想,如果真的有这种感觉,很大程度上是教科书在编排顺序上有瑕疵.数学本身是语言,描述自然的语言,因此在每个概念.公式的背后,往往都需要(或者说必然)对应着现实模型,因此在学习新的概念的时候,考察它的现实意…

基于基本的极限分析方法(诸多的无穷小以及洛必达法则),我们能够得到推导出一些表面上看不是那么显然的式子,这些极限恒等式往往会在其他的推导过程中用到,其中一个例子就是概率论中的极限定理那部分知识.…

在分析等比级数的过程中,我们发现对于q<1的等比级数是收敛的,它表示级数每一项与它前一项的比值小于1,我们能否将这种方法推广起来用于一般级数的审敛呢? 从极限的定义出发:…

这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理. 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头,给出了一段关于微积分思想的概括,文中提到根据导数(微分)的定义,根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法,这里其实是及其不严谨的,积分本身有着自己的定义,而其计算方法正是微积分基本定理所呈现出来的东西. 积分的定义: 积分的现代定义的本质就是黎曼和,笔者之前关于多重积分定义的引入其实就已经提到过,这里是对一维的积分进行定义,相对二重.三重积分则会简单很多. 理论总是源于实际问题嘛,在解决曲线和坐标系围成的…

线积分: 基于二重积分和三重积分的引入,我们对于线积分的引入过程将会轻车熟路. 对于一根不均匀密度的铜丝,我们如何求其总质量?如下图. 类似二重积分和三重积分的引入,我们首先基于实际问题给出黎曼和的形式,然后规定出积分符号,然后抽象出模型,然后再讨论如何正确的计算. 这里我们将这段曲线分割成n个区间段,可以近似求解质量,而随着n趋向无穷,这种近似的取法最终将逼近准确答案,则有如下的黎曼和形式(这里建立三维坐标系,f(x,y,z)是记录铜导线(x,y,z)点的密度的函数): 写成积分形式为: 其表…

承接之前对一重积分和二重积分的介绍,这里我们自然的引出三重积分. 在二重积分的引入中,我们曾经埋下过一个小伏笔,二重积分的几何意义是求解一个体积,但是我们仅仅限定在了曲顶柱体的几何体,那么对于完全由曲面D包裹的空间D’,我们如何求其体积呢? 我们很自然的能够想到,从x.y.z三个维度作平行线,然后把D’分割成了n个小长方体,如下图. 伴随着n趋于无穷,我们可以完美的得到D’区域的体积. 个人认为,这个例子仅仅是为了自然的引出三重积分的概念和形式,在实际应用中,很难通过这个方法来计算各种各样不规则…

这一章节我们开始对多重积分的研究. 在此之前,我们首先来回忆起积分的过程,在平面中,面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候,我们可以采取建立直角坐标系,然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x),对f(x)求解一次定积分即可.其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段),引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”,然后利用矩形的面积公式进行求解.随后是积分过程,将这n个小矩形相加求极限,可得曲边梯形的面积. 如下几图使得这个过程更加的直观. Sp又叫做,f(x…

定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积,之所以说看似不规则,是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的,我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积. 方法1:切片法. 这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似,因此这里不再重复推导,直接给出如何应用以及实例. 基于这条定理,我们能够直接介绍一下卡瓦列里原理.卡瓦列里原理表明,高度相同并且在每个高度上的横截面积相同的几何体的体积相同,直观的理解,就像下面这两堆“叠硬币”图. 下面我们看一些实例.…

点积.向量夹角: 无论对于空间向量还是平面向量,我们所熟知的是:给出任意两个向量,我们都能够根据公式计算它们的夹角,但是这个夹角必须是将两个向量的起点重合后所夹成的小于等于π的角,可是,这是为什么呢? 它其实来源于如下的定理(这里的定理和证明过程以三维向量为例,对于二维向量,可做完全一致的推导): 证明: 考虑在如下的一个三角形中. 通过这个定理的证明过程就能够理解:为什么我们求向量夹角用点积:两个向量之间的点积为什么等于两个向量模长再乘以夹角的余弦值:为什么我们求出来的角是起点重合的两个向量夹…

极坐标系下的面积: 在直角坐标系下一样,这里在极坐标系下,我们面临一个同样的问题:如何求解一个曲线围成的面积?虽然两种情况本质上是一样的,但是还是存在一些细小的区别. 在直角坐标系下中,我们是讨论一条曲线和x轴围成的封闭的曲边梯形的面积.而极坐标系下,我们讨论一条曲线的两个端点与极坐标原点的线段加上该曲线连成的图形的面积. 如下图所示. 笛卡尔系下我们求曲边梯形的面积是用小矩形的面积逼近 而在极坐标系下我们用小扇形的面积进行逼近 极坐标系下曲线的长度: 这里结合之前我们在平面笛卡尔系得到结论:…

偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广. 关于定义域的开域.闭域的推广: 其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周,只不过这里用了更加规范的数学语言. 二次函数的图形.层曲线(等值曲线): 一元函数的定义域在x轴上,函数图像在xoy面上:二元函数的定义域在xoy面上,函数图像在空间当中,而三元函数的定义域对应着空间的集合体.这里面对二元.三元函数我们有一个最基本的问题,就是勾勒出它们的大致图像,虽然目前有数学软件可以较为快速准确的描绘出函数的图像,但是掌握一定的确定函数图像…

所谓微分法其实就是我们所熟悉的导数,它是一种无限分割的方法,同积分法一样,它们是处理曲线和曲面的有利工具,也是一门很伟大的自然语言.微分方程就是一种名副其实的描述自然的语言. 同样这里如果取单侧导数,那么能够证明该点单侧具有连续型.通过原命题与逆否命题的等价性我们也能够看到,函数在某处不连续,在该处必然不可导.…

平面曲线的长度: 积分的重要作用体现在处理曲线和曲面. 在这里我们讨论平面中一条用参数形式表达的曲线:x=f(t),y=g(t),a≤t≤b. 如图. y=f(x)形式的弧长计算: 之前我们讨论过平面笛卡尔系下参数形式的弧长公式,现在对于一般的y=f(x)的形式,我们可以将其等价转化成参数形式: 令x=t,y=f(t),a≤t≤b. 然后再将参数形式带入之前讨论参数形式得到的结论,我们就能够得到如下的定义:…

之前关于二重积分的笔记,介绍了二重积分概念的引入,但是对于它的计算方法(化为累次积分),介绍的较为模糊,它在<概率论基础教程>中一系列的推导中发挥着很重要的作用. 回想先前关于二重积分的几何含义,求解一个曲顶圆柱的体积,我们用如下的符号进行定义: 现在我们通过另外一条路径,再次得到几何体的体积,便可以建立等式,那么对于一般的二重积分,我们就找到了计算方法. 看这样一个图: 落在x-O-y上的面积就是被积区域D,几何体的顶部z=f(x,y)就是被积函数,为了求解这个几何体的体积,我们采取先求侧面…

定积分中值定理: 积分自身的定义是简单的,但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法,在引入积分的概念的时候,往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起,实际上,在积分简单的定义之下,微积分基本定理告诉了我们积分的计算方法. 微积分基本定理: 能够看到,正是基于这样一个基本定理,我们才能够找到积分的计算方法,从这个角度就可以充分的理解为什么求积分的过程实际上是一个求“反导数”(求导的逆运算)的过程了.…

叉积概念的引入: 在平面中我们为了度量一条直线的倾斜状态,为引入倾斜角这个概念.而通过在直角坐标系中建立tan α = k,我们实现了将几何关系和代数关系的衔接,这其实也是用计算机解决几何问题的一个核心,计算机做的是数值运算,因此你需要做的就是把几何关系用代数关系表达出来.而在空间中,为了表示一个平面相对空间直角坐标系的倾斜程度,我们利用一个垂直该平面的法向量来度量(因为这转化成了描述直线倾斜程度的问题). 叉积的定义: 注意这里的θ是根据右手法则和叉乘的顺序确定的,是具有一定的方向性,这种定义…

在求解极限的时候,我们常会遇到0/0型的不定式而无法进一步的求解极限,而洛必达法则就是用于处理这样的特定情况. 洛必达法则: 其证明过程要基于柯西中值定理(在该专栏的微分中值定理中给出). 证明:…

函数凹凸性检验: 很容易看到,观察类似抛物线这类曲线,能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程,而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出如下的定义: (1)如果函数图像在区间I上向上凹,则f’(x)在区间I上递增. (2)如果函数图像在区间I上向下凹,则f’(x)在区间I上递减. 局部极值二阶导数检验法: 证明:回想起我们最原始判断极值的方法,我们要考察极值点两侧导数的正负,对于(1),在c两侧取x=x0,x1应有f’(x0)<0,f’(x0)=0,f’(x1)>0,…

罗尔定理:如果函数f(x)在[a,b]上连续并且在(a,b)处处可微,并且有f(a) = f(b),则我们必然何以找到一个c∈(a,b),使得f’(c) = 0. 证明:我们从函数f(x)的最大值和最小值出发,它们只能在如下的几种情况取得. (1)    端点a.b处.. (2)    f’(x) = 0处,x∈(a,b). (3)    导数不存在处. 考虑到罗尔定理对函数的限制,我们可以直接排除(3),一旦最大值或者最小值的情况是(2),那么就找到了定理中所描述的c.那么现在还存在一种情况,…

求解条件极值的方法:拉格朗日乘数法 基于对多元函数极值方法的了解,再具体的问题中我们发现这样一个问题,在求解f(x,y,z)的极值的时候,我们需要极值点落在g(x,y,z)上这种对极值点有约束条件,通过直接代换消元的方法似乎会出现一些问题. 比如这个例题. 它面临的问题是,代换消元然后通过求偏导得来的驻点,我们无法控制其满足约束条件g(x,y,z),因此我们需要寻找新的方法来解决这种条件极值问题. 首先这里给出方向导数和梯度中给出的等式关系,这个具体的由来我们会在该小结中详细介绍. 对于可微函数…

Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数. 第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. 1≤N,L,R≤10^9,1≤T≤100,输入数据保证L≤R. Output 输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对10^6+3取模的结果. Sample Input 2 1 4 5 2 4 5 Sample…

传送门 感觉单调不降序列什么的不好做啊. 于是我们序列中下标为i的元素的值加上i,这样就构成了一个单调递增的序列. 问题就变成了: 求出构造长度分别为1 ~ n且每个元素的值在l+1 ~ r+n之间的单调递增的序列的总方案数. 那么对于一个长度为i的序列,构造出的方案数显然就是(r−l+ii)=(r−l+ir−l)\binom {r-l+i} {i}=\binom {r-l+i} {r-l}(ir−l+i​)=(r−lr−l+i​) 所以答案就是: ∑i=1n(r−l+ir−l)\sum _{i…

4403: 序列统计 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 653  Solved: 320 Description 给定三个正整数N.L和R,统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量.输出答案对10^6+3取模的结果. Input 输入第一行包含一个整数T,表示数据组数.第2到第T+1行每行包含三个整数N.L和R,N.L和R的意义如题所述. Output 输出包含T行,每行有一个数字,表示你所求出的答案对106+3…

题意:给定三个正整数N.L和R, 统计长度在1到N之间,元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量. 输出答案对10^6+3取模的结果. 对于100%的数据,1≤N,L,R≤10^9,1≤T≤100,输入数据保证L≤R. 题意:WYZ作业 L和R本身没有意义,等价于[1,R-L+1],共有R-L+1种取值方法 显然是一个阶梯状的东西 但我们直接算需要枚举长度,通分又很麻烦 考虑使用R-L填充长度不足N的区间,这样问题就转化为: 求长度为N,元素大小都在1到R-L之间的单调不降序列的数量 需要注意…

import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; public class Main { static BigInteger p,l,r,div; static int n; public static int cmp(BigInteger mid){ BigInteger sum=mid.pow(n); return sum.compareTo(p); } public static BigInteger calc(){ l=BigI…

摘自:http://blog.csdn.net/yang_yulei/article/details/46337405 哈希树的理论基础 [质数分辨定理] 简单地说就是:n个不同的质数可以"分辨"的连续整数的个数和他们的乘积相等."分辨"就是指这些连续的整数不可能有完全相同的余数序列. (这个定理的证明详见:http://wenku.baidu.com/view/16b2c7abd1f34693daef3e58.html) 例如: 从2起的连续质数,连续10个质数就…