大白书P125 #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; #define MMX 4000010 #define LL long long int phi[MMX],f[MMX]; LL S[MMX]; void calc_phi(int n) //求1--n的欧拉函数,phi[i]=φ(i) { ;i<=n;i++) phi[i]=; phi[]=; ;i<=n;i++) if (!phi[…

http://poj.org/problem?id=2478 求欧拉函数的模板. 初涉欧拉函数,先学一学它主要的性质. 1.欧拉函数是求小于n且和n互质(包含1)的正整数的个数. 记为φ(n). 2.欧拉定理:若a与n互质.那么有a^φ(n) ≡ 1(mod n),经经常使用于求幂的模. 3.若p是一个质数,那么φ(p) = p-1.注意φ(1) = 1. 4.欧拉函数是积性函数: 若m与n互质,那么φ(nm) = φ(n) * φ(m). 若n = p^k且p为质数,那么φ(n) = p^k…

线性筛的思想:每个被筛的数是通过它最小的质因子所筛去的. 这种思想保证了每个数只会被筛一次,从而达到线性.并且,这个思想实现起来非常巧妙(见代码注释)! 因为线性筛的操作中用到了倍数的关系去实现,因此欧拉函数可以顺便也计算出来,根据完全积性函数的性质还有数学推算,直接一条语句就算出来了. #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<a…

/* 给定n,对于所有的对(i,j),i<j,求出sum{gcd(i,j)} 有递推式sum[n]=sum[n-1]+f[n] 其中f[n]=gcd(1,n)+gcd(2,n)+gcd(3,n)...... 那么如何求出f[n], 设满足gcd(i,n)=x的组合有g(x,n)个,那么f[n]=sum{x*g(x,n)} 对于gcd(i,n)=x,即有gcd(i/x,n/x)=1,因为将n/x看做是固定的数,那么g(x,n)=phi[n/x] 求答案时直接先求出所有答案,因为枚举n的每个因子比较…

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=121873#problem/F 题目大意:给你一个数n,让你输出(i=1->n-1)(j=i+1->n)gcd(i,j) 思路分析:直接暴力做铁定超时,而且数据也不止一组,因此我们要考虑打表来做这一道题, 既然要打表,就要 寻找递推关系,手写一下,比较容易就可以找到递推关系,S[n]=S[n-1]+f[n] f[n]=gcd(1,n)+gcd(2,n)+.......+gcd…

http://poj.org/problem?id=2478 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824 欧拉函数模板裸题,有两种方法求出所有的欧拉函数,一是筛法,而是白书上的筛法. 首先看欧拉函数的性质: 欧拉函数是求小于n且和n互质(包括1)的正整数的个数.记为φ(n). 欧拉定理:若a与n互质,那么有a^φ(n) ≡ 1(mod n),经常用于求乘法逆元. 若p是一个质数,那么φ(p) = p-1,注意φ(1) = 1. 欧拉函数是积性函数…

通式: $\phi(x)=x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3}) \cdots (1-\frac{1}{p_n})$ 若n是质数p的k次幂:$\phi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质. 设n为正整数,以$\phi(n)$表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数. 欧拉函数是积性函数——若m,n互质, $\p…

题目:给出n,求gcd(1,2)+gcd(1,3)+gcd(2,3)+gcd(1,4)+gcd(2,4)+gcd(3,4)+...+gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n) 此题和UVA 11426 一样,不过n的范围只有20000,但是最多有20000组数据. 当初我直接照搬UVA11426,结果超时,因为没有预处理所有的结果(那题n最多4000005,但最多只有100组数据),该题数据太多了额... 思路:令sum(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+g…

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=70017#problem/O 题意是给你n,求所有gcd(i , j)的和,其中1<=i <j <n. 要是求gcd(n , x) = y的个数的话,那么就是求gcd(n/y , x/y) = 1的个数,也就是求n/y的欧拉函数.这里先预处理出欧拉函数,然后通过类似筛法的技巧筛选出答案累加起来. #include <iostream> #include &l…

UVA11426 GCD - Extreme (II) 题目描述 PDF 输入输出格式 输入格式: 输出格式: 输入输出样例 输入样例#1: 10 100 200000 0 输出样例#1: 67 13015 143295493160 Solution 这道题我用莫比乌斯反演和欧拉函数都写了一遍,发现欧拉函数比莫比乌斯反演优秀? 求所有\(gcd=k\)的数对的个数,记作\(f[k],ans=\sum_{i=1}^{n}(f[i]-1)\),为什么还要-1,我们注意到\(j=i+1\),自己与自己…