费马小定理&欧拉定理

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费马小定理&欧拉定理

在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod p).这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除,我们有xp-1≡1(mod p).利用这条性质,在p是素数的情况下,就很容易求出一个数的逆元.那上面的式子变形之后得到a-1≡ap-2(mod p),因此可以通过快速幂求出逆元. 我们先来证明一下费马小定理: 费马小定理证明: 一.准备知识引理1:剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m) 证明:ac≡b…

学习：费马小定理 & 欧拉定理

费马小定理描述若$p$为素数,$a\in Z$,则有$a^p\equiv a\pmod p$.如果$p\nmid a$,则有$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$. 证明费马小定理的证法有很多,此处介绍3种证法一摘自:<初等数论> 冯志刚著,有改动此处用归纳法证明. 当$a=1$时,原命题显然成立. 设$a=n$时命题成立,即$n^p\equiv n\pmod p$,故$n^p-n\equiv 0\pmod p$. 考虑二项式系数\(…

【初等数论】费马小定理&欧拉定理&扩展欧拉定理（暂不含证明）

(不会证明--以后再说) 费马小定理对于任意$a,p \in N_+$,有 $a^{p-1} \equiv 1\pmod {p}$ 推论: $a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p}$ 即$a^{p-2}$为$a$模$p$意义下的乘法逆元. 欧拉定理对于$a,p \in N^*$且$a \perp p$,有$a^{\varphi (p)} \equiv 1 \pmod {p}$,其中$\perp$表示互质. 其中\(\varphi…

【BZOJ】3398: [Usaco2009 Feb]Bullcow 牡牛和牝牛（排列组合+乘法逆元+欧拉定理/费马小定理）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3398 以下牡牛为a,牝牛为b. 学完排列计数后试着来写这题,“至少”一词可以给我们提示,我们可以枚举a为x头(x>1),然后算出对应的排列累计起来. 对于x头a,首先我们先缩掉必要的k头牛(x-1)*k,然后这时可以特判可以先结束(因为单调的),然后在缩好后的x个点和n-x-(x-1)*k个点进行多重排列就行了. 只是遇到一个问题,多重排列有个除法,又要取模的QAQ,即(a/b)%m,怎么做呢..…

【poj 1284】Primitive Roots（数论--欧拉函数求原根个数）｛费马小定理、欧拉定理｝

题意:求奇质数 P 的原根个数.若 x 是 P 的原根,那么 x^k (k=1~p-1) 模 P 为1~p-1,且互不相同. (3≤ P<65536) 解法:有费马小定理:若 p 是质数,x^(p-1)=1 (mod p).这和求原根有一定联系. 再顺便提一下欧拉定理:若 a,n 互质,那么 a^Φ(n)=1(mod n). 还有一个推论:若x = y(mod φ(n) 且 a与n 互质,则有 a^x=a^y(mod n). 百度百科是这么说的:"原根,归根到底就是 x^(p-1)=…

hdu 4704 Sum【组合数学/费马小定理/大数取模】By cellur925

首先,我们珂以抽象出S函数的模型:把n拆成k个正整数,有多少种方案? 答案是C(n-1,k-1). 然后发现我们要求的是一段连续的函数值,仔细思考,并根据组合数的性质,我们珂以发现实际上答案就是在让求2^(n-1). 然鹅我们并不能高兴地过早.因为n的数量级竟然到了丧心病狂的1e100000.连高精度都救不了它. 费马小定理费马小定理有两种形式: $a^{p-1}$≡1($mod$ $p$) 与 $a^p$≡$a$($mod$ $p$). 第二种形式更为通用,是因为第一种形式不能涵盖“$…

费马小定理 x

费马小定理(Fermat Theory) 是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p).即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1. a^(p-1)%p=1 (其中%为取模操作,且a<p,p为质数) 费马小定理是初等数论四大定理(威尔逊定理,欧拉定理(数论中的欧拉定理),中国剩余定理(又称孙子定理)之一,在初等数论中有着非常广泛和重要的应用.实际上,它是欧拉定理的…