u1s1 距离省选只剩 5 days 了,现在学新算法真的合适吗(( 位运算卷积 众所周知,对于最普通的卷积 \(c_i=\sum\limits_{j+k=i}a_jb_k\),\(a_jb_k\) 的贡献累加到 \(c_{j+k}\) 上,因此这种卷积又被称为加法卷积. 但是对于某些卷积,\(a_jb_k\) 的贡献就不是累加到 \(j+k\) 上了,有一类卷积,\(a_jb_k\) 的贡献会累加到 \(j\otimes k\) 上,其中 \(\otimes\) 是某种位运算,即 \(\&,|…

也许更好的阅读体验 本文主要内容是对武汉市第二中学吕凯风同学的论文<集合幂级数的性质与应用及其快速算法>的理解 定义 集合幂级数 为了更方便的研究集合的卷积,引入集合幂级数的概念 集合幂级数也是形式幂级数的一种,只是集合的一种表现形式,无需考虑收敛或发散的含义 定义一个集合 \(S\) 的集合幂级数为 \(f\) ,那么我们就可以把集合 \(S\) 表示为如下形式 \(\begin{aligned}f=\sum _{T\subseteq S}f_{T}\cdot x^{T}\end{align…

后面的图片将会告诉: 如何推出FWT的公式tf 如何推出FWT的逆公式utf 用的是设系数,求系数的方法! ========================================================= 以一种高度思考 http://picks.logdown.com/posts/179290-fast-walsh-hadamard-transform 加和乘的定义 大小为1时的公式 https://blog.csdn.net/zhshrs/article/details/5…

快速莫比乌斯变换(FMT) 原文出处:虞大的博客.此仅作蒟蒻本人复习用~ 给定两个长度为n的序列 \(a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}\)和\(b_0, b_1, \cdots, b_{n-1}\),你需要求出一个序列\(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\),其中\(c_k\)满足:\(c_k = \sum\limits_{i \mid j = k} a_i b_j\).其中|表示按位或.\(n \leq 10^6\)表示序列长度. 显然发现\(i∣j=k\)…

知识点简单总结--FWT(快速沃尔什变换),FST(快速子集变换) 闲话 博客园的markdown也太傻逼了吧. 快速沃尔什变换 位运算卷积 形如 $ f[ i ] = \sum\limits_{ j \oplus k = i} g[ j ] * h[ k ] $ 的形式的式子. 正常计算是 $ n^{ 2 } $ . 与运算卷积 众所周知有 $ ( i \& j ) == k \longleftrightarrow ( i \& k == k ) \& \& ( j \&…

题意 题目描述 给定长度为\(2^n\)两个序列\(A,B\),设\(C_i=\sum_{j\oplus k}A_jB_k\)分别当\(\oplus\)是or,and,xor时求出C 输入输出格式 输入格式: 第一行一个数n. 第二行\(2^n\)个数\(A_0..A_{2^n-1}\)第三行\(2^n\)个数\(B_0..B_{2^n-1}\) ​ 输出格式: 三行每行\(2^n\)个数,分别代表\(\oplus\)是or,and,xor时\(C_0..C_{2^n-1}\)的值\(\bmod…

其实FWT我啥都不会,反正就是记一波结论,记住就好-- 具体证明的话,推荐博客:FWT快速沃尔什变换学习笔记 现有一些卷积,形如 \(C_k=\sum\limits_{i\lor j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\land j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum\limits_{i\oplus j=k}A_i*B_j\) 然后普通的FFT肯定应付不了这玩意,于是就有了FWT(快速沃尔什变换),然后我就直接写结论好了-- FWT--Or卷积 我们把多项…

最近在学FWT,抽点时间出来把这个算法总结一下. 快速沃尔什变换(Fast Walsh-Hadamard Transform),简称FWT.是快速完成集合卷积运算的一种算法. 主要功能是求:,其中为集合运算符. 就像FFT一样,FWT是对数组的一种变换,我们称数组X的变换为FWT(X). 所以FWT的核心思想是: 为了求得C=A★B,我们瞎搞搞出一个变换FWT(X), 使得FWT(C)=FWT(A)  FWT(B),然后根据FWT(C)求得C. (其中★表示卷积运算,表示将数组对应下标的数相乘的…

FWT快速沃尔什变换学习笔记 1.FWT用来干啥啊 回忆一下多项式的卷积\(C_k=\sum_{i+j=k}A_i*B_j\) 我们可以用\(FFT\)来做. 甚至在一些特殊情况下,我们\(C_k=\sum_{i*j=k}A_i*B_j\)也能做(SDOI2015 序列统计). 但是,如果我们把操作符换一下呢? 比如这样? \(C_k=\sum_{i|j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\&j=k}A_i*B_j\) \(C_k=\sum_{i\wedge j=k}A_i*B_…

CGZ大佬提醒我,我要是再不更博客可就连一月一更的频率也没有了... emmm,正好做了一道有点意思的题,就拿出来充数吧=.= 题意 一棵树,有 $ n (n\leq50000) $ 个节点,每个点都有一个颜色,共有 $ k(k\leq10) $ 种颜色,问有多少条路径可以遍历到所有 $ k $ 种颜色?(一条路径交换起点终点就算两条哦) 做法 事实证明,连我都能不看题解想出来的题果然都是水题qwq 我是从CJ的xzyxzy大佬上的博客上看到这道题的,所以就理所当然用FWT做了...然后才发现网…

一个数学不好的菜鸡的快速沃尔什变换(FWT)学习笔记 曾经某个下午我以为我会了FWT,结果现在一丁点也想不起来了--看来"学"完新东西不经常做题不写博客,就白学了 = = 我没啥智商 ,网上的FWT博客我大多看不懂,下面这篇博客是留给我我再次忘记FWT时看的,所以像我一样的没智商选手应该也能看懂!有智商选手更能看懂咯! (写得非常匆忙,如有任何错误请在评论区指正!TAT) 什么是FWT FWT是用来快速做位运算卷积的.位运算卷积是什么?给出两个数组\(A\)和\(B\)(长度相等且是2…

〇.前言 之前看到异或就担心是 FWT,然后才开始想别的. 这次学了 FWT 以后,以后判断应该就很快了吧? 参考资料 FWT 详解 知识点 by neither_nor 集训队论文 2015 集合幂级数的性质与应用及其快速算法 by 吕凯风 一.FWT 是什么 FWT 是快速沃尔什变换.它和快速傅里叶变换一样,原本都用于物理中的频谱分析. 但是由于它可分治的特点,在算法竞赛中常被用来计算位运算卷积. 二.FWT 能干什么 它可以在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内由数组 \(a,b…

上次的博客有点模糊的说...我把思路和算法实现说一说吧... 思路 关于快速沃尔什变换,为了方便起见,我们采用线性变换(非线性变换不会搞). 那么,就会有一个变化前各数值在变换后各处的系数,即前一篇博文中的$f(i,j)$,表示线性变换中第$i$项到第$j$项的系数. 即 $$DWT(A)_i = \sum_{j=0}^{n-1} A_j * f(i,j)$$ 那么,我们既然要求$\oplus$卷积在变换后等价于乘积,就有 $$DWT(A)_i * DWT(B)_i = DWT(C)_i$$ 其…

快速沃尔什变换\(FWT\) 是一种可以快速完成集合卷积的算法. 什么是集合卷积啊? 集合卷积就是在集合运算下的卷积.比如一般而言我们算的卷积都是\(C_i=\sum_{j+k=i}A_j*B_k\),而集合卷积计算的就是\(C_i=\sum_{j\otimes k=i}A_j*B_k\),其中\(\otimes\)是一种集合运算,可以是与.或.异或. 类似于快速傅里叶变换\(FFT\),\(FWT\)也需要寻求一种变换方式\(FWT(A)\),使\(FWT(C)=FWT(A)*FWT(B)\)…

概述 FWT的大体思路就是把要求的 C(x)=A(x)×B(x)  即 \( c[i]=\sum\limits_{j?k=i} (a[j]*b[k]) \) 变换成这样的:\( c^{'}[i]=a^{'}[i]*b^{'}[i] \). 只要知道 c'[ i ] 和 c[ i ] 的关系,就能把 A(x).B(x) 变成 A'(x).B'(x) ,从而算出 C'(x) ,再把 C'(x) 变成 C(x). 或卷积 定义\( c^{'}[i]=\sum\limits_{j | i=i} c[j]…

开头Orz hy,Orz yrx 部分转载自hy的博客 快速沃尔什变换,可以快速计算两个多项式的位运算卷积(即and,or和xor) 问题模型如下: 给出两个多项式$A(x)$,$B(x)$,求$C(x)$满足$C[i]=\sum\limits_{j⊗k=i}A[j]*B[k]$. 约定记号 $⊗$表示某种位运算(and,or和xor中的一种),若$a$,$b$是两个整数,则$a⊗b$表示对这两个数按位进行位运算:若$A$,$B$是两个多项式,则$A⊗B$表示对这两个多项式做如上卷积:两个多项式…

FWT能解决什么 有的时候我们会遇到要求一类卷积,如下: Ci=∑j⊕k=iAj∗Bk\large C_i=\sum_{j⊕k=i}A_j*B_kCi​=j⊕k=i∑​Aj​∗Bk​此处乘号为普通乘法,⊕⊕⊕表示一种位运算,如 与 and(&).and(\&).and(&).或 or(∣).or(|).or(∣).异或 xor(xor(xor(^))) LaTeX\Large\LaTeXLATE​X打不了 ^ 啊-qwq FWT思想 首先因为是位运算,所以需要按位分解.又因为是卷积…

这是我的第一篇学习笔记,如有差错,请海涵... 目录 引子 卷积形式 算法流程 OR卷积 AND卷积 XOR卷积 模板 引子 首先,考虑这是兔子 数一数,会发现你有一只兔子,现在,我再给你一只兔子 再数一数,会发现什么?没错,你有两只兔子,也就是说,1+1=2! 这就是算数的基本原理了,聪明的你懂了吗? 好,我们可以学FWT了.. 卷积形式 我们回忆一下多项式乘法的式子: 这个可以用FFT或NTT优化到O(nlogn)求出每一个Ci,但不是本章的重点,只是引出卷积的概念: 而FWT主要是解决以下…

模板题: 给定$n = 2^k$和两个序列$A_{0..n-1}$, $B_{0..n-1}$,求 $$C_i = \sum_{j \oplus k = i} A_j B_k$$ 其中$\oplus$是某一满足交换律的位运算,要求复杂度$O(nlogn)$. 快速沃尔什变换: 这是什么东西?有用吗?请参阅SDOI2017r2d1-cut. 看到这个大家是不是立刻想到了快速傅里叶变换? $$C_i = \sum_{j + k = i} A_j B_k$$ 我们来想想离散傅里叶变换的本质. $$\b…

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天 当时写了手写版的笔记 过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记 参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根 虚数 复数 \(i\),表示逆时针旋转90度 \(a+bi\),对应复平面上的向量 复数加法 同向量 复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常用套路[入门] 前置技能 对复数以及复平面有一定的了解 对数论要求了解:逆元,原根,中国剩余定理 对分治有充足的认识 对多项式有一定的认识,并会写 $O(n^2)$ 的高精度乘法 本文概要 多项式定义及基本卷积形式 $Karatsuba$ 乘法 多项式的系数表示与点值表示,以及拉格朗日插值法…

解决涉及子集配凑的卷积问题 一.介绍 1.基本用法 FWT快速沃尔什变换学习笔记 就是解决一类问题: $f[k]=\sum_{i\oplus j=k}a[i]*b[j]$ 基本思想和FFT类似. 首先转化成为另一个多项式$FWT(A),FWT(B)$ 使得:$FWT(A\oplus B)=FWT(A)×FWT(B)$ 这里,$×$是按位乘.这个是$O(n)$的. 然后,再$IFWT$回去即可. 类似于,直接过马路不好走.先从左边走上一座天桥,再从天桥走过去,再到马路右侧走下天桥. 就变成了$O(…

感觉快速沃尔什变换和快速傅里叶变换有很大的区别啊orz 不是很明白为什么位运算也可以叫做卷积(或许不应该叫卷积吧) 我是看 http://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/52819835 里的快速沃尔什变换 这里说一下自己的理解吧,快速傅里叶变换是计算卷积的,就是∑f(x)*g(n-x)这种 快速沃尔什变换也是计算∑f(x)*g(y) ,但这里是计算所有的满足x^y = n(卷积是计算x+y=n)的和 当然,异或也可以换成&,|这些运算符…

0XFF---FFT是啥? FFT是一种DFT的高效算法,称为快速傅立叶变换(fast Fourier transform),它根据离散傅氏变换的奇.偶.虚.实等 特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的. ---百度百科 对于两个多项式 \(F(x)\) 和 \(G(x)\) ,要求你将他们乘起来. 那还不简单?直接暴力相乘啊: 设 \(F(x)\) 的系数数列为 \(C\). \(F(x) \times G(x) = C_nx^nG(x) + C_{n-1}x^{n-1}G(x) + C_…

FWT应用 我不知道\(FWT\)的严格定义 百度百科和维基都不知道给一坨什么****东西** FWT(Fast Walsh Fransform),中文名快速沃尔什变换 然后我也不知道\(FWT\)到底是什么 你们怎么念FWT的反正我念扶卧塔 \(FFT\)当然可以做多项式卷积 形如\(C(k)=\sum_{i+j=k}f[i]g[j]\),很简单,大家都会 由于有这个性质所以也可做分治\(FFT\) 但是如果把\(i+j\)换一下操作符 变成\(C(k)=\sum_{i???j=k}f[i]g…

[学习笔鸡]快速沃尔什变换FWT OR的FWT 快速解决: \[ C[i]=\sum_{j|k=i} A[j]B[k] \] FWT使得我们 \[ FWT(C)=FWT(A)*FWT(B) \] 其中\(*\)是点积,就是对应位置乘起来. 而对于\(orFWT\), \[ C'[i]=FWT(C)[i]=\sum_{j\subseteq i}C[j] \] 那么证明一下: \[ \begin{array} &C'[i]&=\sum_{j\subseteq i} C[j] \\ &=…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036 http://blog.csdn.net/lych_cys/article/details/50898726 http://blog.csdn.net/qq_21995319/article/details/49800999 for(int i=1;i<=1;i++) for(int j=1;j<=1;j++) f[i○j]=a[i]*b[j]; 当○为按位或时,这种运算就称为集合并卷积.…

一.取模运算 取模(取余)运算法则: 1. (a+b)%p=(a%p+b%p)%p; 2.(a-b)%p=(a%p-b%p)%p; 3.(a*b)%p=(a%p * b%p)%p; 4.(a^b)%p=(   (a%p)^b  )%p; 5. (  (a+b)%p+c  )%p=( a+(b+c)%p  )%p; 6.( a*(b*c)%p )%p =( c*(a*b)%p )%p; 7.( (a+b)%p*c )%p= ( (a*c)%p + (b*c)%p )%p; 几条重要性质: 1.a≡…

描述 zzx和city在玩一款小游戏的时候,游戏中有一个宝石合成的功能,需要m个宝石才可以合成下一级的宝石(例如需要m个1级宝石才能合成2级宝石). 这时候zzx问city说“我要合成A级宝石需要多少个B级的宝石(A>B).” city说:“这数字会好大的.” zzx:“没事的,你选择一个数取余数就行了,你只要告诉我余数就好了” city:“那就对梅森素数取余好了” 但最后,由于数字过于大,city又不想手算了,于是想请你帮忙. 输入 多组数据,输入到文件结束为止 每组输入4个正数m,A,B,K…

题目链接: https://cn.vjudge.net/problem/POJ-1845 题目大意: 求AB的因子和 解题思路: 先将A质因数分解,然后B次方的质因数指数就是乘上B即可 这里要mod9901,但是有除法,而且不一定有逆元,所以用公式: a/b mod m 等价于 a mod (m * b) / b 所以直接求出这个即可 但是mod m*b 这个数字可能很大,就算模上之后再相乘也会溢出,所以应该用有快速加法的快速幂 #include<iostream> #include<c…