FFT/NTT中档题总结

被DeepinC%怕了,把一些题放到这里来 T1Normal 其实这道题放到中档题也不太合适,个人感觉真的很难,机房里好像都是颓的题解因为期望的可加性,把每个点的贡献单独处理,即求期望深度考虑$y$对$x$的贡献:当且仅当$x->y$的路径上第一个点就选$y$,$y$才能成为$x$的祖先所以$y$对$x$的贡献就是:$P=\frac{1}{dis(x,y)+1}$,$E=1$ 所以最终答案就是$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\frac{…

FFT/NTT基础题总结

在学各种数各种反演之前把以前做的$FFT$/$NTT$的题整理一遍还请数论$dalao$口下留情 T1快速傅立叶之二题目中要求求出 $c_k=\sum\limits_{i=k}^{n-1}a_i*b_{i-k}$ 首先可以把$a$翻转, $c_k=\sum\limits_{i=k}^{n-1}a_{n-1-i}*b_{i-k}$ $c_k=\sum\limits_{i=0}^{n-k-1}a_{n-k-1-i}*b_{i}$ T2力 $f[i]=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{q…

$FFT/NTT/FWT$题单&简要题解

打算写一个多项式总结. 虽然自己菜得太真实了. 好像四级标题太小了,下次写博客的时候再考虑一下. 模板 $FFT$模板 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <cctype> #include <algorithm> #define rin(i,a,b)…

FFT \ NTT总结(多项式的构造方法)

前言.FFT NTT 算法网上有很多,这里不再赘述. 模板见我的代码库: FFT:戳我 NTT:戳我正经向:FFT题目解题思路 $FFT$这个玩意不可能直接裸考的..... 其实一般$FFT$的题目难点不在于$FFT$,而在于构造多项式与卷积. 两个经典例题: [ZJOI2014]力给定序列$\{ q[1],q[2],....q[n]\}$ 定义:\(Ej = \sum_{i<j} \frac{q[i]}{(i-j)^2} - \sum_{i>j} \frac{q[i]…

[学习笔记&教程] 信号, 集合, 多项式, 以及各种卷积性变换 (FFT,NTT,FWT,FMT)

目录信号, 集合, 多项式, 以及卷积性变换卷积卷积性变换傅里叶变换与信号引入: 信号分析变换的基础: 复数傅里叶变换离散傅里叶变换 FFT 与多项式 $n$ 次单位复根消去引理, 折半引理与求和引理重新定义多项式的表示快速傅里叶变换FFT 通过 FFT 在单位复数根处插值 FFT的速度优化与迭代实现炸精现场与 NTT 原根 NTT 任意模数 NTT 卷积状物体与分治 FFT FWT 与位运算卷积 FWT 与 $\text{or}$ 卷积 FWT 与 \(\te…

FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式多项式乘法好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数我们定义虚数单位 $i$ 为满足 $x^2=-1$ 的 $x$. 那么所有的复数都可以表示为 $z=a+bi$ 的形式,其中 $a,b$ 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘…

FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅲ

第三波,走起~~ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ 单位根反演今天打多校时 1002 被卡科技了--赛场上看出来是个单位根反演但不会,所以只好现学这东西了( 首先你得知道单位根是什么东西,对于 $n$ 次方程 $x^n-1=0(x\in\mathbb{C})$,在复数域上有 $n$ 个根,其对应到复平面上就是单位圆的 $n$ 等分点,我们将这些单位根从 $x$ 轴正半轴开始顺时针依次…

FFT/NTT/MTT学习笔记

FFT/NTT/MTT Tags:数学作业部落评论地址前言这是网上的优秀博客并不建议初学者看我的博客,因为我也不是很了解FFT的具体原理一.概述两个多项式相乘,不用$N^2$,通过$FFT$可以把复杂度优化到$O(NlogN)$,$NTT$能够取模,$MTT$可以对非$NTT$模数取模,相对来说$FFT$常数小些因为不要取模二.我们来背板子(FFT) 先放一个板子(洛谷P3803 [模板]多项式乘法(FFT)) #include<iostream>…

FFT&NTT总结

FFT&NTT总结一些概念 $DFT:$离散傅里叶变换$\rightarrow O(n^2)$计算多项式卷积 $FFT:$快速傅里叶变换$\rightarrow O(nlogn)$计算多项式卷积 $NTT:$快速数论变换$\rightarrow$对$FFT$的常数优化 $MTT:$$NTT$的一些拓展 FFT 多项式&卷积设$A(x)$表示一个$n-1$次多项式则$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$ 而卷积就是两个…

快速构造FFT/NTT

@(学习笔记)[FFT, NTT] 问题概述给出两个次数为$n$的多项式$A$和$B$, 要求在$O(n \log n)$内求出它们的卷积, 即对于结果$C$的每一项, 都有\[c_i = \sum_{j = 0}^{n}a_j \cdot b_{i - j}\] 问题求解大致思路朴素做法: 考虑按照上面的式子暴力运算, 时间复杂度: $O(n^2)$ 考虑把多项式化作点值表达, 记\[A(x) =\sum_{i = 0}^n a_i x^i\] 我们把$A$和…

FFT/NTT模板既 HDU1402 A * B Problem Plus

@(学习笔记)[FFT, NTT] Problem Description Calculate A * B. Input Each line will contain two integers A and B. Process to end of file. Note: the length of each integer will not exceed 50000. Output For each case, output A * B in one line. Sample Input 1 2…

FFT&NTT数学解释

FFT和NTT真是噩梦呢既然被FFT和NTT坑够了,坑一下其他的人也未尝不可呢前置知识多项式基础知识矩阵基础知识(之后会一直用矩阵表达) FFT:复数基础知识 NTT:模运算基础知识单位根介绍设有一个数a,使得an=1,其中n为满足an=1的最小正整数满足条件的a有哪些呢? 复数域上的(cos(2π/n)+sin(2π/n)*i)(一般用ωn表示) 模运算中的原根g(mod n+1) 更宽泛地说,只要在一个集合中定义了加法和乘法,而且二者满足: 存在元素“0”,使得加上“0”的结果…

HDU-4609(FFT/NTT)

HDU-4609(FFT/NTT) 题意: 给出n个木棒,现从中不重复地选出3根来,求能拼出三角形的概率. 计算合法概率容易出现重复,所以建议计算不合法方案数枚举选出的最大边是哪条,然后考虑剩下两条边之和小于等于它两条边之和为$x$的方案数可以$FFT/NTT$得到,是一个简单的构造即$f(x)=\sum x^{length_i}$,求出$f(x)^2$,就能得到和的方案数,但是会重复,包括自己和自己算,一对算两次处理一下前缀和即可 #include<bits/stdc+…

FFT NTT 错误总结(持续更新)

FFT NTT错误总结 1 处理$r$数组时忘记赋值 r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1)); 2 负数重载运算符 point operator * (point a,point b){ return point(a.x * b.x - a.y * b.y,a.x * b.y + a.y * b.x); } 3 欧拉公式记不清楚 point Wn = point(cos(Pi / mid),type *…

FFT/NTT 多项式学习笔记

FFT(快速傅立叶变换)和NTT(快速数论变换)看上去很高端,真正搞懂了就很simple了辣. 首先给出多项式的一些定义(初中数学内容): 形如Σaixi的式子就是多项式! 多项式中每个单项式叫做多项式的项. 这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数. 有几个不同的元也是多项式,但在下面将不被考虑. 注意:(n+1)个点可以唯一确定一个n次多项式(两点定线啊之类的). 然后就是一些比较高明的东西了. 首先在掌握FFT之前我们要掌握一下知识: 1.复数的计算法则. 形如(a+bi)的数叫复数,…

fft,ntt

在被两题卡了常数之后,花了很久优化了自己的模板现在的一般来说任意模数求逆1s跑3e5,exp跑1e5是没啥问题的(自己电脑,可能比luogu慢一倍) 当模数是$998244353,1004535809,9985661441$的时候(这$3$个的原根都是$3$) 我们会使用$ntt$来求解 $ntt$的模板本身常数不大优化效果不明显 ; ; IL int fsp(int x,int y) { ll now=; while (y) { ) now=now*x%mo; x=1ll*x*x%mo;…

FFT/NTT总结+洛谷P3803 【模板】多项式乘法（FFT）（FFT/NTT）

前言众所周知,这两个东西都是用来算多项式乘法的. 对于这种常人思维难以理解的东西,就少些理解,多背板子吧! 因此只总结一下思路和代码,什么概念和推式子就靠巨佬们吧推荐自为风月马前卒巨佬的概念和定理都非常到位的总结推荐ppl巨佬的简明易懂的总结 FFT 多项式乘法的蹊径--点值表示法一般我们把两个长度为$n$的多项式乘起来,就类似于做竖式乘法,一位一位地乘再加到对应位上,是$O(n^2)$的如何优化?直接看是没有思路的,只好另辟蹊径了. 多项式除了我们常用的系数表示法\(y=a_…

【FFT&NTT 总结】

$FFT$总结 (因为还不会啊,,都没做过什么题,所以一边学一边打咯.. 1.主要是用来加速卷积形式的求和吧? $F*G(n)=F[i] × G[n-i]$ 平时是$O(n^2)$的,FFT可以$O(nlogn)$ 2.相当于求两个多项式的乘积(你要求的函数是其系数) $A(x)=A0+A1*x+A2*x^2+A3*x^3+...+An−1*x^{n−1}$ $B(x)=B0+B1*x+B2*x^2+B3*x^3+...+Bm−1*x^{m−1}$ 3.具体步骤? 系数表达->点值表达->相乘…

浅谈FFT&NTT

复数及单位根复数的定义大概就是:$i^2=-1$,其中$i$就是虚数单位. 那么,在复数意义下,对于方程: \[ x^n=1 \] 就必定有$n$个解,这$n$个解的分布一定是在复平面上,以圆点为圆心,半径为$1$的圆的$n$等分点. 由于欧拉公式: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\cdot \sin\theta \] 把$2\pi$带入: \[ e^{2i\pi}=1 \] 比较一下这个和上面的方程,设: \[ \omega_n=e^{2i…

FFT/NTT初探

做了全家桶然后写了几道入门题. FFT.ref NTT.ref Luogu4238 [模板]多项式求逆 Link 套牛顿迭代完事.有一个细节问题是:这次运算多项式有几项就只赋几项的值,其他位置(次数大于n次的项在$mod\ {x^n}$意义下当然为0)一定要设成0(即清空数组),否则会计算错误. Luogu5205 [模板]多项式开根 Link 开根也是牛顿迭代的问题.运算的时候时刻注意是在$mod\ {x^n}$意义下进行的,这决定了多项式取的位数. tips:两个长度为n(2的次幂)…

FFT,NTT 笔记

FFT 简介 FFT是干啥的?它是用来加速多项式乘法的.我们平时经常求多项式乘法,比如$(x+1)(x+3)=(x^2+4x+3)$.假设两个式子都是$n$项(不足的补0),那朴素的算法是$O(n^2)$的. 那么,我们能做到$O(nlogn)$做么? 前置知识多项式点值表示我们平常表达多项式,都是用系数表达的.当然,还有点值表达.用平面直角坐标系上的$n$个点,唯一确定一个(不超过)$n-1$次的多项式.它的一个特殊形式,就是两点确定一条直线. 点值转系数表达,你只…

FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ

因为垃圾电脑太卡了就重开了一个... 前传:多项式Ⅰ u1s1 我预感还会有Ⅲ 多项式基础操作: 例题: 26. CF438E The Child and Binary Tree 感觉这题作为第一题还蛮合适的( 首先我们设 $f_i$ 为权值之和为 $i$ 的符合要求的二叉树的个数. 显然可以枚举根节点的权值.左子树的权值之和进行转移. 也就是 $f_i=\sum\limits_{x\in S}\sum\limits_{y=0}^{i-S}f_yf_{i-x-y}$ 如果我们记 \(…

Note -「多项式」基础模板（FFT/NTT/多模 NTT）光速入门

进阶篇戳这里. 目录何为「多项式」基本概念系数表示法 & 点值表示法傅里叶(Fourier)变换概述前置知识 - 复数单位根快速傅里叶正变换(FFT) 快速傅里叶逆变换(IFFT) 迭代实现例题「洛谷 P3803」「模板」多项式乘法(FFT) 题意简述数据规模快速数论变换(NTT) 原根实现 NTT 模数奇怪的模数 - 任意模数 NTT 三模 NTT 拆系数 FFT(MTT) 七次转五次五次转四次例题「洛谷 P4245」「模板」任意模数 NTT 题意简述数…

FFT/NTT 学习笔记

0. 前置芝士基础群论复数 $\mathbb C = \mathbb R[x^2+1]$ 则有 $i^2+1=(-i)^2+1=0$,$i \in \mathbb C - \mathbb R$ $i^0=1;i^1=i;i^2=-1;i^3=-i;i^x=i^{x \bmod 4}(x \in \mathbb Z)$ 定理 0.1(欧拉公式) $e^{ik} = \cos k + i \sin k$ 证明: (因为这里辛辛苦苦打出来的 $\sf \LaTeX$ 炸了,…

FFT\NTT总结

学了好久,终于基本弄明白了推荐两个博客: 戳我戳我再推荐几本书: <ACM/ICPC算法基础训练教程> <组合数学>(清华大学出版社) <高中数学选修> 预备知识复数方面找数学老师去 \[i^{2}=-1,i为虚数的单位\] 坐标系上纵轴就是虚数轴,复数就是这上面的点三种表示法: \[一般:a + bi,a为实部,b为虚部\] \[指数:e^{i\theta}*坐标系上的模长\] \[三角:模长*(cos\theta + i sin \theta)\] 运算…

FFT/NTT 总结

本总结主要用于帮助个人理解,讲得不足之处,还请各位看官谅解 FFT 补充知识 $n$次单位复根($w_n$): 使得$z^n=1$的一类复数,这些复数一共有$n$个,它们都分布在复平面的单位圆上,并且连线构成一个正$n$边形点值表示: 多项式$f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}{a_ix^i}$的点值表示为$n$个点$(x_i,y_i)$,其中$y_i=f(x_i)$ 递归算法主要思路由折半引理$w_{2n}^{2k}=w_n^k$,将其代入可…

[FFT/NTT/MTT]总结

最近重新学了下卷积,简单总结一下,不涉及细节内容: 1.FFT 朴素求法:$Coefficient-O(n^2)-CoefficientResult$ FFT:$Coefficient-O(nlogn)-Dot-O(n)-DotResult-O(nlogn)-CoefficientResult$ 其中系数到点值的转化称为$DFT(离散傅里叶变换)$,而点值到系数的转为称为$IDFT(傅里叶逆变换)$ 原本朴素的直接带入$n$个值的$DFT$和直接使用拉格朗日插值公式的$IDFT$的复杂度仍为$O…