题目传送门:51nod 我们可以先观察一下这个$f(x)=\sum_{d|x}\mu(d) \cdot d$. 首先它是个积性函数,并且$f(p^k)=1-p \ (k>0)$,这说明函数$f(x)$的值只与$x$的质因数集合有关,与每个质因数的次数无关,然后我们就容易发现$f(gcd(i,j)) \cdot f(lcm(i,j))=f(i) \cdot f(j)$. 于是原式化为 $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(gcd(i,…

链接: https://loj.ac/problem/6229 题意: \[F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)}\] 让你求 \(F(n) \bmod1000000007\). 题解: 设\(\begin{align} f(n)=\sum_{i=1}^n\frac{lcm(i,n)}{gcd(i,n)}&=\sum_{i=1}^n\frac{n*i}{(i,n)^2}\\ &=\su…

除了最后一题都比较简单就写一起了 P4450-双亲数 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4450 题目大意 给出\(A,B,d\)求有多少对\((a,b)\)满足\(gcd(a,b)=d\)且\(a\in[1,A],b\in[1,B]\) 解题思路 很显然的容斥,枚举\(d\)的倍数\(i\),然后容斥系数就是\(\mu(\frac{i}{d})\). 时间复杂度\(O(n)\) code #include<cstdio> #include<c…

做题重心转移到 LOJ 了. 至于为什么,如果你知道“……”的密码,就去看吧. LOJ 上用户自创题大多数都不可做,今天看到个可做题(而且还是个水题),就来做了一发. 明显枚举立方根.(以下令 $m=\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$) $$\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=i^3}^{\min(n,(i+1)^3-1)}\gcd(i,j)$$ 由于 $i=m$ 比较特殊,我们把它拎出来:(其实就是把 $\min$ 拆开) $$\sum\lim…

没啥好说的,杜教筛板子题. \[\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N}\sum_{p=1}^{\lfloor \frac{N}{j} \rfloor}\sum_{q=1}^{\lfloor \frac{N}{j} \rfloor} [\gcd(i,j)==1][\gcd(p,q)==1]\] 容易发现,我们枚举 \(j\) 其实是相当于枚举 \(\gcd\) 才不是枚举题目 然后式子可以变成 \[\sum_{i=1}^{N}\sum_{p=1}^{N}\sum_{q=1}^{…

1222 最小公倍数计数 题意:求有多少数对\((a,b):a<b\)满足\(lcm(a,b) \in [1, n]\) \(n \le 10^{11}\) 卡内存! 枚举\(gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}\),然后\(\mu\)代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了 一开始我是 \[ f(n) = \s…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

题意:求\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}lcm(i, j)\). 题解:虽然网上很多题解说用mu卡不过去,,,不过试了一下貌似时间还挺充足的,..也许有时间用phi试试? 因为是用的莫比乌斯函数求的,所以推导比大部分题解多...而且我写式子一般都比较详细,所以可能看上去很多式子,实际上是因为每一步都写了,几乎没有跳过的.所以应该都可以看懂的. 末尾的\(e\)函数是指的\(e[1] = 1\),\(e[x] = 0(x != 1)\)这样一个函数 \[\sum…

[题意]给定n,求Σi=1~nΣj=1~n lcm(i,j),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解]就因为写了这个非常规写法,我折腾了3天…… $$ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)$$ 令 $$g(n)=n*\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{(n,i)}$$ 那么 $$ans(n)=2*g(n)-\sum_{i=1}^{n}i$$ 枚举gcd,化简g(n). $$g(n)=n*\sum_{d|n}1/d\sum_{i=1}^{n}…

Dirichlet 卷积是两个定义域在正整数上的函数的如下运算,符号为 $*$ $(f * g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ 如果不强调 $n$ 可简写为 $f * g$ 常用: $\mu * 1 = \epsilon$ $\phi * 1 = id$ $\epsilon(n) = [n=1]$ $id(n)=n$ Mobius 反演是基于 Dirichlet 卷积的一种....化简式子的方法? 比较有用的结论就是 $\mu * 1 = [n=1]$ 由…