题目链接 洛谷P4233 题解 我们只需求出总的哈密顿回路个数和总的强联通竞赛图个数 对于每条哈密顿回路,我们统计其贡献 一条哈密顿回路就是一个圆排列,有\(\frac{n!}{n}\)种,剩余边随便连 所以总的贡献为 \[(n - 1)!2^{{n \choose 2} - n}\] 我们只需求出总的强联通竞赛图的个数 设\(g[n]\)表示\(n\)个点竞赛图个数,\(f[n]\)表示强联通竞赛图个数 那么有 \[g[n] = \sum\limits_{i = 1}^{n}{n \choos…

题目描述 求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1). 输入 仅一行一个整数n(<=130000) 输出 仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809. 样例输入 3 样例输出 4 题解 容斥原理+NTT+多项式求逆 设 $f_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向连通图的数目,$g_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向图的数目. 根据定义得 $g_i=2^{\frac{n(n-1}2}$ . 对于 $f_i$ ,考虑容斥…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4233 题目大意 随机选择一条有哈密顿回路的\(n\)个点的竞赛图,求选出图的哈密顿回路的期望个数. 对于每个\(n\in[1,N]\)求答案. \(1\leq N\leq 10^5\) 解题思路 竟然自己推出来了泪目( Ĭ ^ Ĭ ) 如果是统计所以的哈密顿回路个数是一个很简单的题目,我们可以求出\(n\)的一个圆排列表示一条回路,然后剩下的边随便排即可.也就是\((n-1)!\times 2^{\frac{…

定义多项式$h(x)$的每一项系数$h_i$,为i在c[1]~c[n]中的出现次数. 定义多项式$f(x)$的每一项系数$f_i$,为权值为i的方案数. 通过简单的分析我们可以发现:$f(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4h(x)}+1}$ 于是我们需要多项式开方和多项式求逆. 多项式求逆: 求$B(x)$,使得$A(x)*B(x)=1\;(mod\;x^m)$ 考虑倍增. 假设我们已知$A(x)*B(x)=1\;(mod\;x^m)$,要求$C(x)$,使得$A(x)*C(x)=1\;…

第一眼生成函数.四个等比数列形式的多项式相乘,可以化成四个分式.其中分母部分是固定的,可以多项式求逆预处理出来.而分子部分由于项数很少,询问时2^4算一下贡献就好了.这个思路比较直观.只是常数巨大,以及需要敲一发类似任意模数ntt的东西来避免爆精度.成功以这种做法拿下luogu倒数rank1,至于bzoj不指望能过了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib>…

3456: 城市规划 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 658  Solved: 364 Description 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了. 刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一…

不想多说了,看网上的题解吧,我大概说下思路. 首先考察Stirling的意义,然后求出递推式,变成卷积的形式. 然后发现贡献是一定的,我们可以分治+NTT. 也可以直接求逆(我不会啊啊啊啊啊) #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <alg…

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 题意: 求出\(n\)个点的简单(无重边无自环)无向连通图的个数.(\(n<=130000\)). 并且输出方案数mod \(1004535809(479 * 2 ^ {21} + 1)\). 题解: 这题是POJ 1737的加强版. 从之前写过的题解中: POJ 1737 Connected Graph 我们知道存在这样的递推式: \[f[n]=2^{C(n,2)}-\sum…

写在前面的话 昨天听吕老板讲课,数数题感觉十分的神仙. 于是,ErkkiErkko这个小蒟蒻也要去学数数题了. 分析 Miskcoo orz 带标号无向连通图计数. \(f(x)\)表示\(x\)个点的带标号无向连通图的个数.弱化限制条件,令\(g(x)\)表示\(x\)个点的带标号无向图的个数(不要求连通). 考虑每条边是否出现,显然有: \[g(x)=2^{\binom{x}{2}}\] 考虑编号为\(1\)的结点所在连通块的大小,有: \[g(x)=\sum_{i=1}^{x}\binom…

生成函数又有奇妙的性质. $F(x)=C(x)*F(x)*F(x)+1$ 然后大力解方程,得到一个带根号的式子. 多项式开根有解只与常数项有关. 发现两个解只有一个是成立的. 然后多项式开根.求逆. 不太会算复杂度为什么是$n\log {n}$的. 开根号里套了一个求逆,不应该是两个$\log$? #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <c…

Code: #include<bits/stdc++.h> #define maxn 300000 #define ll long long #define MOD 998244353 #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) ,freopen(s".out","w",stdout) using namespace std; namespace poly{ #define…

参考:http://blog.miskcoo.com/2015/05/bzoj-3456 首先推出递推式(上面的blog讲的挺清楚的),大概过程是正难则反,设g为n个点的简单(无重边无自环)无向图数目,显然边数是\( C_{n}^{2} \),所以\( g(n)=2^{C_{n}^{2}} \),那么f[n]=g[n]-n个点的简单(无重边无自环)无向不连通图数目,后面那部分可以枚举1所在联通块的1点数,当这个块有i个点时,方案数为从n-1个点中选出i-1个(减去点1)* f[i](这i个点组成…

https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利! 写NTT把i<<=1写成了i<<=2,又调了一年.发现我的日常就是数组开小调调调,变量名写错调调调,反向判if调调调,退役吧. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include&…

https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利! #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long #define P 9982443…

https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/8207295.html 安利! #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long #define P 9982443…

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #define ll long long #define N 300005 using namespace std; ; ; ll pw(ll x,int y) { ll lst=; while(y) { )lst=(lst*x)%p; y>>=; x=(x…

NTT多项式求逆模板,详见代码 #include <map> #include <set> #include <stack> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <algorithm> #…

FFT #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #define maxn 1000005 using namespace std; inline int read() { ,f=;char ch=getchar(); ; +ch-'; return x*f; }…

传送门 注意到总共有\(\frac{n!}{n}\)条本质不同的哈密顿回路,每一条哈密顿回路恰好会出现在\(2^{\binom{n}{2} - n}\)个图中,所以我们实际上要算的是强连通有向竞赛图的数量. 设\(f_i\)表示点数为\(i\)的强连通竞赛图数,转移考虑用总数\(2^\binom{i}{2}\)减去不强连通的图数量.如果竞赛图不强连通,我们可以枚举拓扑序最靠后的一个强连通子图,如果它的大小为\(j\),那么剩下\(i-j\)个点之间的边可以任意连,但是这\(i-j\)个和这\(j…

题目大意 考虑一个含有\(n\)个互异正整数的序列\(c_1,c_2,\ldots ,c_n\).如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合\(\{c_1,c_2,\ldots ,c_n\}\)中,我们的小朋友就会将其称作神犇的.并且他认为,一棵带点权的树的权值,是其所有顶点权值的总和. 给出一个整数\(m\),你能对于任意的\(s(1\leq s\leq m)\)计算出权值为\(s\)的神犇二叉树的个数吗? 我们只需要知道答案关于\(998244353\)取模后的值. \(n,m\…

官方题解:http://codeforces.com/blog/entry/54233 就是由简入繁 1.序列处理,只考虑一个半圆 2.环形处理(其实这个就是多了旋转同构) 然后基于分割线邻居的跨越与否,分类讨论 g->没有分割线方案数(其实也可以变成贡献,但是太简单,之后乘上(i+0/1/2)也方便) f0->有分割线,两边都没有选所有情况的贡献的和 f1->有分割线,两边选择了一个所有情况的贡献的和 f2->有分割线,两边都选择了所有情况的贡献的和 最后对于环 考虑除了中间割线…

前言 多项式求逆还是爽的一批 Solution 考虑分治求解这个问题. 直接每一次NTT一下就好了. 代码实现 #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<queue> #include<iostream> using namespace std; #define…

[题意]给定n,求Σi=0~nΣj=1~i s(i,j)*2^j*j!,n<=10^5. [算法]生成函数+排列组合+多项式求逆 [题解]参考: [BZOJ4555][Tjoi2016&Heoi2016]求和-NTT-多项式求逆 $ans=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}s(i,j)*2^j*j!$ 令$g(n)=\sum_{j=0}^{n}s(n,j)*2^j*j!$ 则ans是Σg(i),只要计算出g(i)的生成函数就可以统计答案. g(n)可以理解为将n个数划分…

出处0.0用到第二类斯特林数的性质,做法好像很多,我打的是直接ntt,由第二类斯特林数的容斥公式可以推出,我们可以对于每一个i,来一次ntt求出他与所有j组成的第二类斯特林数的值,这个时候我们是O(n^2logn)的,还不如暴力,但是我们发现,对于刚刚提到的容斥的式子,将其化为卷积形式后,其一边的每一项对于每一个i都相同,另一边的每一项是对于所有的i形成一个n项的等比数列,这样我们可以把成等比数列的一边求和,用固定的一边去卷他们的和,这时候的答案的每一项就是所有的i的这一项的和,然后我们再O(n…

一.多项式求逆 给定一个多项式 \(F(x)\),请求出一个多项式 \(G(x)\), 满足 \(F(x) * G(x) \equiv 1 ( \mathrm{mod\:} x^n )\).系数对 \(998244353\)取模. 考虑递归求解,当\(F\)的最高次为\(0\)时,\(G_0=F_0^{-1}\) 假设我们知道了\(F(x)\)在模\(x^{\left \lceil \frac{n}{2}\right \rceil}\)意义下的逆元\(G'\) 那么\(F∗G′≡1(\mathr…

[题意]求n个点的带标号无向连通图个数 mod 1004535809.n<=130000. [算法]动态规划+多项式求逆 [题解]设$g_n$表示n个点的无向图个数,那么显然 $$g_n=2^{\frac{n(n-1)}{2}}$$ 设$f_n$表示n个点的无向连通图个数,通过枚举1号点所属连通块大小很容易得到$g_n$的等式: $$g_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}*f_i*g_{n-i}$$ 特别的,$g_0=1$. 将组合数拆分一下,即可得到: $$\fr…

前言 emmm暂无 多项式求逆目的 顾名思义 就是求出一个多项式的摸xn时的逆 给定一个多项式F(x),请求出一个多项式G(x),满足F(x)∗G(x)≡1(modxn),系数对998244353取模. 多项式求逆主要思路 我们考虑用递推的做法 假设我们当前已知F(x)H(x)=1(mod xi/2) 要求的是F(x)Q(x)=1(mod xi) 因为F(x)Q(x)=1(mod xi) 所以F(x)Q(x)=1(mod xi/2) 可得F(x)(Q(x)-H(x))=0(mod xi/2) 显…

题面 求有 \(n\) 个点的无向有标号连通图个数 . \((1 \le n \le 1.3 * 10^5)\) 题解 首先考虑 dp ... 直接算可行的方案数 , 容易算重复 . 我们用总方案数减去不可行的方案数就行了 (容斥) 令 \(f_i\) 为有 \(i\) 个点的无向有标号连通图个数 . 考虑 \(1\) 号点的联通块大小 , 联通块外的点之间边任意 但 不能与 \(1\) 有间接联系 . 那么就有 \[\displaystyle f_i = 2^{\binom i 2} - \s…

思路 题目要求求的是哈密顿回路的期望数量,实际上就是哈密顿回路的总数/有哈密顿回路的竞赛图的数量 n个点的所有竞赛图中哈密顿回路的总数为 \[ (n-1)! 2^{\frac{n(n-1)}{2}-n} \] 每个哈密顿回路可以看成一个环,则经过的n个节点就是长度为n的一个排列,排列总数为\(n!\) 个,每个回路被计数了n次,有\((n-1)!\)种,剩下的\(\frac{n(n-1)}{2}-n\)条边随便连,有\(2^{\frac{(n-1)n}{2}-n}\)种 而强连通竞赛图中必有一个…

题意 链接 Sol Orz yyb 一开始想的是直接设\(f_i\)表示\(i\)个点的无向联通图个数,枚举最后一个联通块转移,发现有一种情况转移不到... 正解是先设\(g(n)\)表示\(n\)个点的无向图个数,这个方案是\(2^{\frac{i(i-1)}{2}}\)(也就是考虑每条边选不选) 考虑如何得到\(g\) \[g(n) = \sum_{i=0}^n C_{n-1}^{i-1}f(i) g(n-i)\] 直接将\(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)带入然后化简一下可以得…