GCD and LCM Descriptions: Write a program which computes the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) of given a and b. Input Input consists of several data sets. Each data set contains a and b separated by a single space in…

题目 已知 \(f(x)=\sum_{d|x}μ(d)∗d\) 现在请求出下面式子的值 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f(gcd(i,j))∗f(lcm(i,j))\) 由于值可能过大所以请对 10^9+7 取模 \(n≤10^9\) 分析 \(f\)为积性函数, 因为\(lcm(i,j)\).\(gcd(i,j)\)的任意一个质因子的指数和\(i\).\(j\)其中一个的相同. 对于每个质因子分开考虑, \(f(gcd(i,j))f(lcm(i,j))=f(i)f…

[题目描述] 有一张N,M<=10^12的表格,i行j列的元素是gcd(i,j) 读入一个长度不超过10^4,元素不超过10^12的序列a[1..k],问是否在某一行中出现过 [题解] 要保证gcd(x,y)=a[i],显然x=lcm(a[1],a[2]……a[k]) 然后y%a[1]=0,即(y+i-1)%a[i]=0 即y%a[1]=0 y%a[2]=-1 …… y%a[n]=-(n-1) 这就转化为了中国剩余定理 求出y之后,只需验证gcd(x,y+i-1)=a[i]即可 /*******…

[题目链接] 点击打开链接 [算法] 线性筛出不大于N的所有素数,枚举gcd(x,y)(设为p),问题转化为求(x,y)=p的个数          设x=x'p, y=y'p,那么有(x,y)=1且1≤x,y≤N/p 转化为求(x,y)=1且1≤x,y≤n的个数 求(x,y)=1且1≤x,y≤N的个数: 若x≥y,对于x=1..n,有ϕ(x)个y满足(x,y)=1          若x≤y,对于y=1..n,有ϕ(y)个x满足(x,y)=1          若x=y,只有一种情况:(x=1…

[题目链接] 点击打开链接 [算法] G中最大的数一定也是a中最大的数.          G中次大的数一定也是a中次大的数. 第三.第四可能是由最大和次大的gcd产生的 那么就不难想到下面的算法: 1. 令p为G中最大的数.在G中删除p,a中加入p.         2 . 对于a中的所有其他数(设为q),在G中删除2个gcd(p, q). 3. 若G为空则结束:否则回到(1). [代码] #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #defin…

GCD?LCM! Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)Total Submission(s): 316    Accepted Submission(s): 200 Output T lines, find S(n) mod 258280327. Sample Input 8 1 2 3 4 10 100 233 11037 Sample Output 1 5 1…

题目传送门:51nod 我们可以先观察一下这个$f(x)=\sum_{d|x}\mu(d) \cdot d$. 首先它是个积性函数,并且$f(p^k)=1-p \ (k>0)$,这说明函数$f(x)$的值只与$x$的质因数集合有关,与每个质因数的次数无关,然后我们就容易发现$f(gcd(i,j)) \cdot f(lcm(i,j))=f(i) \cdot f(j)$. 于是原式化为 $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(gcd(i,…

本题涉及的算法个人无法完全理解,在此提供两个比较好的参考. 原理 (后来又看了一下,其实这篇文章问题还是有的……有时间再搜集一下资料) 代码实现 #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; #define ll…

[链接] 我是链接,点我呀:) [题意] 给你一个数组A[]经过a[i][j] = gcd(A[i],A[j])的规则生成的二维数组 让你求出原数组A [题解] 我们假设原数组是A 然后让A数组满足A[i]<Ai+1 然后我们要先想到一个不等式 a[i][j]=gcd(A[i],A[j])<=A[min(i,j)] 而miin(i,j)<=n 则a[i][j]<=A[n] 所以a[i][j]里面的最大值就是A[n] 之后,我们把gcd(A[n],A[n])删掉 这样剩余的n*n-1…

题面 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)\mod998244353\) \(n,m<=10^7\) Sol 简单的一道莫比乌斯反演题 \(原式=\sum_{d=1}^{n}d*\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[gcd(i, j)==1]\) \(设f(i) = \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\…