一.Catalan数性质   1.1 令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:   h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)   例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5   1.2 另类递推式: h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);   1.3 递推关系的解为:…

\(Catalan\) 数相关证明 Mushroom 2021-5-14 \(Catalan\)数的定义 给定一个凸\(n + 1\)边形, 通过在内部不相交的对角线,把它划分成为三角形的组合,不同的划分方案的个数称为\(Catalan\)数,记作\(h_n\) 比如说正对于五边形的\(Catalan\)数\(h_4\),可以可视化为下面的形式. 递推定义 分析 \(Catalan\)数的定义是描述一个凸多边形被不相交的直线分割为三角形的方案数,记这样一件事为\(A\) graph LR id1…

摘要:RRCF是亚马逊发表的一篇异常检测算法,是对周志华孤立森林的改进.但是相比孤立森林,具有更为扎实的理论基础.文章的理论论证相对较为晦涩,且没给出详细的证明过程.本文不对该算法进行详尽的描述,仅对其中的关键定理或引理进行证明. Theorem 1: 对于点集S构成的树RCF(S),假设S的bounding box的边长为P(S),一次切分分离x1和x2的概率为. 注意到,切分后,任意一边的bounding box的边长的减少量的期望值为,该期望值满足如下不等式: 因此,每一次切分导致的新子集…

Raney引理: 设整数序列A = {Ai, i=1, 2, …, N},且部分和Sk=A1+…+Ak,序列中所有的数字的和SN=1,在A的N个循环表示中,有且仅有一个序列B,满足B的任意部分和Si均大于零. Raney引理有一个很简单的数形结合的证明见<浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用>. 关于Catalan数wiki和百科上写的很详细,其中有一问题一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?该问题的解为h(n). 用1表示一个数字进栈,-1表示一个数字出栈,…

题目来源:UVa 10294 Arif in Dhaka (First Love Part 2) 题意:n颗珠子t种颜色 求有多少种项链和手镯 项链不可以翻转 手镯可以翻转 [分析] 要开始学置换了. 置换是什么呢?  置换的广义概念在不同语境下有不同的形式定义: 在集合论中,一个集合的置换是从该集合映至自身的双射:在有限集的情况,便与上述定义一致. 在组合数学中,置换一词的传统意义是一个有序序列,其中元素不重复,但可能有阙漏.例如1,2,4,3可以称为1,2,3,4,5,6的一个置换,但是其中…

本文将介绍密码学中的PRF.PRP等相关概念,并介绍 PRP/PRF 转换引理及其证明,希望读完本文后,你能对现代密码学中这几个基础概念有所了解. 在开始本文前,希望你有如下预备知识: 现代密码学是怎样的一门学科? "Security Through Obscurity" 是什么意思? 集合.极限.函数.随机变量.采样等数学概念是什么? 概述 在之前的一篇博客中提到,伪随机性是现代密码学的根基,每一个密码算法都需要有这样的伪随机性来源.而伪随机数发生器只是一个承载伪随机性的初等原语,其…

文章目录 引入 简介 定义 引理 证明 例题 释疑 扩展 引入 有这样一个问题: 甲和乙在一张网格图上,初始位置 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) (x_1,y_1),(x_2,y_2) (x1​,y1​),(x2​,y2​) ,分别要走到 ( x 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 ) (x_3,y_3),(x_4,y_4) (x3​,y3​),(x4​,y4​),每次只能水平向右或竖直向下走 1 格,问两个人安排路径使之不相交的方案数. 这个问题我们可以…

本文将同步发布于: 洛谷博客: csdn: 博客园: 简书: 题目 题目链接:HDU-4015 Mario and Mushrooms.Vjudge HDU-4015. 题意简述 马里奥初始只有 \(1\) 点血. 有两种蘑菇,一种是好蘑菇,一种是坏蘑菇:好的吃了会增加 \(1\) 点血,坏蘑菇吃了会减少 \(m\) 点血: 共有 \(mk+1\) 个好蘑菇和 \(k\) 个坏蘑菇,请问有多少种蘑菇的排列方式使得马里奥在按顺序吃下蘑菇后的任意时刻血量均 \(\geq 1\). 求答案与总的排列个…

在看计算理论相关的书的时候,偶然看到这个blog,http://skibinsky.com/godel-turing-and-cantor-the-math/,写的很好.我觉得用自动机的方式讲计算理论的话,从DFA,正则,到图灵机,都是很直观而且容易理解的,但是从Halt, Reducibility开始,再用图灵机的语言来描述就是一件可怕而且容易令人迷惑的方式了.这个时候通常不得不退回去,尝试从Lambda Calculus的角度去理解计算理论.不过 Recursion 的符号确实也很讨厌.如果…

题目来源: https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/ 题意分析: 这道题目是输入两个已经排好序的数组(长度为m,n),将这两个数组整合成一个数组,输出新数组的中位数.要求时间复杂度是(log(m + n).比如如果输入[1,2,3],[3,4,5].那么得到的新数组为[1,2,3,3,4,5]得到的中位数就是3. 题目思路: 由于题目要求的时间复杂度是(log(m+n)),如果我们直接把两个数组整合一起,那么时间复杂度肯…

事件机制是AS3的核心功能之一,没有充分掌握事件机制的方方面面,就不能算是精通AS3语言. 1. AS3事件机制的主要成员 IEventDispatcher:事件派发对象接口,定义了添加.派发.移除.是否监听指定事件.是否触发指定事件接口 EventDispatcher:事件派发对象接口的实现者,用户无法撇开EventDispatcher而自行实现IEventDispatcher接口,无法直接继承EventDispatcher时,必须把EventDispatcher作为实例变量. Event:事…

本篇口胡写给我自己这样的老是证错东西的口胡选手 以及那些想学支配树,又不想啃论文原文的人- 大概会讲的东西是求支配树时需要用到的一些性质,以及构造支配树的算法实现- 最后讲一下把只有路径压缩的并查集卡到$O(m \log n)$上界的办法作为小彩蛋- 1.基本介绍 支配树 DominatorTree 对于一个流程图(单源有向图)上的每个点$w$,都存在点$d$满足去掉&d&之后起点无法到达$w$,我们称作$d$支配$w$,$d$是$w$的一个支配点. 支配$w$的点可以有多个,但是至少会有…

引理: EK算法每次增广使所有顶点$v\in V-\{s,t\}$到$s$的最短距离$d[v]$增大. 采用反证法, 假设存在一个点$v\in V-\{s,t\}$, 使得$d'[v]< d[v]$. 取$v$为第一个使最短距离减小的点, 设增广后的图$G'$中路径$s\leadsto u \rightarrow v$为$s$到$v$的最短路 因此可以得到 $$d[u]=d[v]-1, d'[u]\ge d[u]$$ 那么显然边$(u,v) \notin E$, 因为若$(u,v) \in E$…

Minimum Palindromic Factorization(最少回文串分割) 以下内容大部分(可以说除了关于回文树的部分)来自论文A Subquadratic Algorithm for Minimum Palindromic Factorization. 问题描述 给出一个字符串\(S\),将\(S\)划分为\(k\)个连续的字符串,使得每一个都是回文串,问\(k\)的最小值. 简单做法 直接做法就是\(O(n^2)\)的\(dp\),设\(PL[i]\)表示\(S[1..i]\)划分…

1. FLP impossibility背景 FLP Impossibility(FLP不可能性)是分布式领域中一个非常著名的结果,该结果在专业领域被称为“定理”,其地位之高可见一斑.该定理的论文是由Fischer, Lynch and Patterson三位作者于1985年发表,之后该论文毫无疑问得获得了Dijkstra奖. 顺便要提一句的是,Lynch是一位非常著名的分布式领域的女性科学家,研究遍布分布式的方方面面,对分布式领域有着极其卓越的贡献,其著有<<Distributed Algo…

傅里叶变换 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)是一种可在  时间内完成的离散傅里叶变换(Discrete Fourier transform,DFT)算法. 在算法竞赛中的运用主要是用来加速多项式的乘法. 考虑到两个多项式  的乘积  ,假设  的项数为  ,其系数构成的 维向量为  ,  的项数为  ,其系数构成的  维向量为  . 我们要求  的系数构成的 维的向量,先考虑朴素做法. 可以用这段代码表示: for ( int i = 0 ; i < n ;…

原论文(俄文)地址:suffix_automata 原翻译(中文)地址:后缀自动机详解(DZYO的博客) Upd:强推浅显易懂(?)的SAM讲解 后缀自动机 后缀自动机(单词的有向无环图)--是一种强有力的数据结构,让你能够解决许多字符串问题. 例如,使用后缀自动机可以在某一字符串中搜索另一字符串的所有出现位置,或者计算不同子串的个数--这都能在线性 时间内解决. 直觉上,后缀自动机可以被理解为所有子串的简明信息.一个重要的事实是,后缀自动机以压缩后的形式包含了一个长度 为n的字符串的所有信息,…

Si-Bao Chen, Chris Ding, Bin Luo and Ying Xie. Uncorrelated Lasso. AAAI, 2013. 第一作者是安徽大学陈思宝副教授. 第二作者 Chris Ding 是德克萨斯大学阿灵顿分校的教授,Google Scholar 上他引超过 15700 次. 这篇文章考虑 Lasso 做特征选择时特征之间的相关性,使选出来的特征尽量不相关以减少冗余. 优化形式是在原 Lasso 后加入一相关系数矩阵(平方)的凸项,如下图: 其中矩阵 C 是…

今天看了一篇 ECML 14 的文章(如题),记录一下. 原文链接:http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-44848-9_38 这篇文章提出了一个显式考虑 x 与 y 之间的相关性的 lasso 算法. 方法很简单,就是用 μj=(1 - |rho(aj, y)|)2 作为回归系数 βj 的惩罚系数. 如下图: 所以每个回归系数的惩罚都不同,与 y 相关性越大的变量,惩罚系数 μj 就越小,相应的 βj 就越不可能为 0. 这篇文章…

This article is made by Jason-Cow.Welcome to reprint.But please post the article's address. 莫比乌斯定理(未完待续......): 形式1: 形式2: 引理: 证明1:       右边=带入左边等式,得                               又当且仅当 : ,即时,上式非        所以,成立.  bzoj2154 时间复杂度  换元:令 /* */ 此题的精髓就一个字,模 #…

1 群 群$(G, cdot)$: 闭合, 结合律, 幺元, 逆 1.1 置换群 置换为双射$pi:[n]to [n]$, 置换之间的操作符 $cdot$ 定义为函数的复合, 即$(pi cdot sigma)(i)=pi(sigma(i))$ 对称群$S_n$ $S_n$表示$[n]$的所有置换的集合. 容易验证$S_n$和函数复合操作 $cdot$ 构成一个群, 称为$n$元对称群.$S_n$的子群称为置换群. 循环群$C_n$ 定义特殊的置换$sigma$满足$forall i, ~sig…

导引 有理数集是"稀疏的"和"稠密的". 选择公理 考虑以下问题:容易找到两个无理数 a, b 使 a + b 为有理数,或者使 ab 为有理数,但是能否使得 ab 也是有理数? 答:令  如果 x 是一个有理数,则即可. 如果 x 是无理数,则令 ,而 ,则,通过Gelfond-Schneider 定理可知:如果 α ≠ 0, 1 是一个代数数,而 β 是一个代数数而非有理数,则 αβ 是一个超越数.因此, 是一个超越数,也是一个无理数.由此可证. 选择公理是从一…

洛谷题面传送门 题解里一堆密密麻麻的 Raney 引理--蒟蒻表示看不懂,因此决定写一篇题解提供一个像我这样的蒟蒻能理解的思路,或者说,理解方式. 首先我们考虑什么样的牌堆顺序符合条件.显然,在摸牌任意时刻,你手中的牌允许你继续无限制摸的牌是一段区间,即存在一个位置 \(p\),满足你在不使用新摸出来的牌的机会下能够恰好摸到第 \(p\) 张牌.考虑如果我们新摸出来一张牌会产生怎样的影响,假设摸出一张 \(w_i=x\) 的牌,那么我们肯定会在耗完目前手中牌的机会,也就是摸完第 \(p\)​ 张…

目录 前置知识 群 置换 Burnside 引理与 Pólya 定理 概念引入 引例 轨道-稳定子(Orbit-Stabilizer)定理 证明 Burnside 引理 证明 Pólya 定理 证明 应用例 完整的 Pólya 定理及扩展 概念引入 Pólya × GF--完整的 Pólya 定理 前置知识   关系.映射等基本的东西就略啦. 群   对于集合 \(S\not=\varnothing\) 与作用于 \(S\) 的元素的二元运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cd…

TOC 建议使用 Ctrl+F 搜索 . 目录 小工具 / C++ Tricks NOI Linux 1.0 快速读入 / 快速输出 简易小工具 无序映射器 简易调试器 文件 IO 位运算 Smart Double 数论 GCD 快速幂相关 分数模板类 EI 的取模还原分数 逆元 整除分块 线性筛 扩展欧几里得算法 (exgcd) 类欧几里得算法 中国剩余定理 (CRT) & exCRT BSGS & exBSGS 积性函数筛子 组合计数 组合数取模 伯努利数 斯特林数 Catalan 数…

\(Burnside\)引理的感性证明: 其中:\(G\)是置换集合,\(|G|\)是置换种数,\(T_i\)是第\(i\)类置换中的不动点数. \[L = \frac{1}{|G|} * \sum T_i\] 我们以\(2*2\)的方格图染色来举例感性证明. 每个格子有\(2\)种方案,不考虑旋转重构一共就有\(16\)种. 其中对于每一种等价类(也可以称之为[旋转轨道]),他们上面的所有方案都是旋转重构的,我们只需要记一次就可以了.也就是说,我们所求的本质不同的方案数,其实就是等价类的个数.…

Latex中定义.定理.引理.证明 设置方法总结 在LaTex中需要有关定理.公理.命题.引理.定义等时,常用如下命令 \newtheorem{定理环境名}{标题}[主计数器名] \newtheorem{theorem}{Theorem}[Chapter] 意思就是定义一个以Theorem为标题的theorem环境,计数以章节数为主. \begin{theorem}[均值不等式] 设$A,B$是两个实数, 则$2AB\leq 2 A^2+B^2$. \end{theorem} 如果需要输出中文,…

书上的证明是一个特例,我的证明是,如果这个特例不成立,就继续做n-1,直到特例的情况出现,即可.…

转自:http://lanqi.org/skills/10939/ 卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利 发表于2015年11月8日由意琦行 卡特兰(Catalan)数来源于卡特兰解决凸$n+2$边形的剖分时得到的数列$C_n$,在数学竞赛.信息学竞赛.组合数学.计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍．卡特兰问题的解决过程应用了大量的映射方法,堪称计数的映射方法的典范．为了便于读者理解,我们先介绍一些卡特兰问题的简单变形,再介绍卡特兰问题及其解法． 问题一 进出栈 栈是一种先进后出(FILO,…

0 写在前面 0.0 前言 由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. 该文于 2018.3.31 完成最后一次修改(若有出错的地方,之后也会进行维护).其主要内容限于数论和组合计数类数学相关问题.因为版面原因,其余数学方面的总结会以全新的博文呈现. 感谢你的造访. 0.1 记号说明 由于该文完成的间隔跨度太大,不同时期的内容的写法不严谨,甚至 $LaTeX$ 也有许多…