建堆是 O(n) 的时间复杂度证明。

建堆的复杂度先考虑满二叉树,和计算完全二叉树的建堆复杂度一样. 对满二叉树而言,第 \(i\) 层(根为第 \(0\) 层)有 \(2^i\) 个节点. 由于建堆过程自底向上,以交换作为主要操作,因此第 \(i\) 层任意节点在最不利情况下, 需要经过 \((n - i)\) 次交换操作才能完成以该节点为堆根节点的建堆过程. 因此,时间复杂度计算如下: \(T(n) = 2^0 * (n - 0) + 2^1 * (n - 1) + ... + 2^n * (n - n) = \sum_{i =…

建堆复杂度O(n)证明

堆排序中首先需要做的就是建堆,广为人知的是建堆复杂度才O(n),它的证明过程涉及到高等数学中的级数或者概率论,不过证明整体来讲是比较易懂的. 堆排过程代码如下 void print(vector<int> &arr) { for(auto n: arr) printf("%d\t", n); cout<<endl; } // 以arr[n]为根的子树,将arr[n]向下调整至合适位置 void Heapify(vector<int> &am…

Python3实现最小堆建堆算法

今天看Python CookBook中关于“求list中最大(最小)的N个元素”的内容,介绍了直接使用python的heapq模块的nlargest和nsmallest函数的解决方式,记得学习数据结构的时候有个堆排序算法,所以顺便研究了一下“堆”结构(这里特指二叉堆). 概念所谓二叉堆(binary heap)实际上就是一颗特殊的完全二叉树,其特殊性在于: 二叉树中所有的父节点的值都不大于/不小于其子节点: 根节点的值必定是所有节点中最小/最大的. 父节点值不大于子节点且根节点值最小称为最小堆…

堆+建堆、插入、删除、排序+java实现

package testpackage; import java.util.Arrays; public class Heap { //建立大顶堆 public static void buildMaxHeap(int[] a) { for(int i=(a.length/2)-1;i>=0;i--) { adjustDown(a,i,a.length); } } //向下调整 public static void adjustDown(int[] a,int i,int len) { int…

一些求和式的估算 & 杜教筛时间复杂度证明

本文内容概要: \(A=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac1{\sqrt i}=1+\dfrac1{\sqrt2}+\cdots+\dfrac1{\sqrt n}\) \(O(\sqrt n)\) ,将给出一种只需使用初中数学知识的放缩 \(B=\sum\limits_{i=1}^n\sqrt i=1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n\) \(O(n\sqrt n)\) ,使用积分进行放缩 \(C=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac1i=1+\dfrac…

luogu P4183 Cow at Large P （暴力吊打点分治）(内有时间复杂度证明）

题面贝茜被农民们逼进了一个偏僻的农场.农场可视为一棵有N个结点的树,结点分别编号为 1,2,-,N .每个叶子结点都是出入口.开始时,每个出入口都可以放一个农民(也可以不放).每个时刻,贝茜和农民都可以移动到相邻的一个结点.如果某一时刻农民与贝茜相遇了(在边上或点上均算),则贝茜将被抓住.抓捕过程中,农民们与贝茜均知道对方在哪个结点. 请问:对于结点 i\((1\leq i\leq N)\),如果开始时贝茜在该结点,最少有多少农民,她才会被抓住. 分析先考虑问题的简化版,对于给定的起点s求出…

第十章优先级队列 (b4)完全二叉堆：批量建堆

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自己动手实现java数据结构（八）优先级队列

1.优先级队列介绍 1.1 优先级队列有时在调度任务时,我们会想要先处理优先级更高的任务.例如,对于同一个柜台,在决定队列中下一个服务的用户时,总是倾向于优先服务VIP用户,而让普通用户等待,即使普通的用户是先加入队列的. 优先级队列和普通的先进先出FIFO的队列类似,最大的不同在于,优先级队列中优先级最高的元素总是最先出队的,而不是遵循先进先出的顺序. 1.2 堆优先级队列的接口要求很简单.从逻辑上来说,向量.链表或者平衡二叉搜索树等数据结构都可用于实现优先级队列.但考虑到时间和空间的效率…

go实现堆排序、快速排序、桶排序算法

一. 堆排序堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法.以大堆为例利用堆顶记录的是最大关键字这一特性,每一轮取堆顶元素放入有序区,就类似选择排序每一轮选择一个最大值放入有序区,可以把堆排序看成是选择排序的改进.它的最坏,最好,平均时间复杂度均为O(nlogn),它也是不稳定排序.首先简单了解下堆结构. 堆堆是一棵完全二叉树:每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆:或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆.如下图: 对堆中的结点按层进行编号,将这种逻辑结构…

堆排序中建堆过程时间复杂度O(n)怎么来的？

首先这个循环是从i = headsize/2 -> 1,也就是说这是一个bottom-up的建堆.于是,有1/2的元素向下比较了一次,有1/4的向下比较了两次,1/8的,向下比较了3次,......,1/2^k的向下比较了k次,其中1/2^k <= 1, k 约等于lg(n).于是就有总的比较量: T = () * n 令 S = 1/2 S = S - 1/2S = 1/2S = 到这步就很明显了吧,S <= 2于是T <= 2n => T = O(n).…

【ZZ】堆和堆的应用：堆排序和优先队列

堆和堆的应用:堆排序和优先队列 https://mp.weixin.qq.com/s/dM8IHEN95IvzQaUKH5zVXw 堆和堆的应用:堆排序和优先队列 2018-02-27 算法与数据结构来源: Spground spground.github.io/2017/07/07/堆和堆的应用:堆排序和优先队列/ 1.堆堆(Heap))是一种重要的数据结构,是实现优先队列(Priority Queues)首选的数据结构.由于堆有很多种变体,包括二项式堆.斐波那契堆等,但是这里只考虑最常见…

二叉堆复习（包括d堆）

要期中考了……我真的是什么也不会啊,书都没看过TAT. 好吧整理一下二叉堆,这里就以最大堆为例好了. 首先二叉堆其实是一棵CBT,满足父节点的键值大于左右子节点的键值(wikipedia把这个叫键值,其实我也不知道该叫什么),并且左右子树也是一个二叉堆.二叉堆一般是用数组来存储的(斜堆.左式堆是用树的结构). 如果根节点在数组下标1的位置的话,数组下标n的位置的节点的儿子坐标是2n和2n+1.如果根节点在下标为x的位置的话,记住这个结论就可以求得此情况下数组下标为n的位置的儿子的下标,我们可以先…

清北学堂—2020.1提高储备营—Day 2 morning（并查集、堆）

qbxt Day 2 morning --2020.1.18 济南主讲:李佳实目录一览 1.并查集 2.堆总知识点:基础数据结构一.并查集 1.描述:并查集是一类十分常用的数据类型,它有着十分广泛的应用.在信息竞赛中,它主要执行的操作一般有三种. (1) 合并a,b两个元素所在的集合 Merge(a,b) (2)查找某个元素属于哪个集合 find(k) (3)查询两个元素是否属于同一集合 Query(a,b) 2.函数模板 (1)find int find(int x){ if(fa[x…

C++实现索引堆及完整测试代码

首先贴一篇我看的博客,写的很清楚.作者:Emma_U 一些解释索引堆首先是堆,但比堆肯定是更有用. 用处: 1.加速. 索引堆存储的是索引,并不直接存储值.在堆上浮下沉的元素交换的时候,交换索引可比交换值来的快.虽然我代码只实现了int类型的索引堆,但比方说string类型的索引堆,交换两个string,显然没有交换两个int型的索引快. 2.方便改动原数组比如现在有一个vector,然后我们把它初始化为普通的堆,然后我们突然想改动vector中的第i个元素并恢复堆性质.但我们怎么找这个值在…

堆的源码与应用：堆排序、优先队列、TopK问题

1.堆堆(Heap))是一种重要的数据结构,是实现优先队列(Priority Queues)首选的数据结构.由于堆有很多种变体,包括二项式堆.斐波那契堆等,但是这里只考虑最常见的就是二叉堆(以下简称堆). 堆是一棵满足一定性质的二叉树,具体的讲堆具有如下性质:父节点的键值总是不大于它的孩子节点的键值(小顶堆), 堆可以分为小顶堆和大顶堆,这里以小顶堆为例,其主要包含的操作有: insert() extractMin peek(findMin) delete(i) 由于堆是一棵形态规则的二叉树,…

《徐徐道来话Java》：PriorityQueue和最小堆

在讲解PriorityQueue之前,需要先熟悉一个有序数据结构:最小堆. 最小堆是一种经过排序的完全二叉树,其中任一非终端节点数值均不大于其左孩子和右孩子节点的值. 可以得出结论,如果一棵二叉树满足最小堆的要求,那么,堆顶(根节点)也就是整个序列的最小元素. 最小堆的例子如下图所示:…

Java实现堆排序（大根堆）

堆排序是一种树形选择排序方法,它的特点是:在排序的过程中,将array[0,...,n-1]看成是一颗完全二叉树的顺序存储结构,利用完全二叉树中双亲节点和孩子结点之间的内在关系,在当前无序区中选择关键字最大(最小)的元素. 1. 若array[0,...,n-1]表示一颗完全二叉树的顺序存储模式,则双亲节点指针和孩子结点指针之间的内在关系如下: 任意一节点指针 i:父节点:i==0 ? null : (i-1)/2 左孩子:2*i + 1 右孩子:2*i + 2 2. 堆的定义:n个关键字序…

海量数据面试题----分而治之/hash映射 + hash统计 + 堆/快速/归并排序

1.从set/map谈到hashtable/hash_map/hash_set 稍后本文第二部分中将多次提到hash_map/hash_set,下面稍稍介绍下这些容器,以作为基础准备.一般来说,STL容器分两种: 序列式容器(vector/list/deque/stack/queue/heap), 关联式容器.关联式容器又分为set(集合)和map(映射表)两大类,以及这两大类的衍生体multiset(多键集合)和multimap(多键映射表),这些容器均以RB-tree完成.此外,还有第3类关…

基本数据结构——堆(Heap)的基本概念及其操作

基本数据结构――堆的基本概念及其操作小广告:福建安溪一中在线评测系统 Online Judge 在我刚听到堆这个名词的时候,我认为它是一堆东西的集合．．．但其实吧它是利用完全二叉树的结构来维护一组数据,然后进行相关操作,一般的操作进行一次的时间复杂度在 O(1)~O(logn)之间. 可谓是相当的引领时尚潮流啊(我不信学信息学的你看到log和1的时间复杂度不会激动一下下)!. 什么是完全二叉树呢?别急着去百度啊,要百度我帮你百度: 若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1-h-1…

数据结构-堆（应用篇）之堆排序法-C和C++的实现

堆排序关于堆的内容我们已经在上一节中了解了,本节中将给出一个堆的应用-堆排序. 关于堆的概念可以看上一节,入口:http://www.cnblogs.com/HongYi-Liang/p/7853649.html 堆排序属于一种选择排序: 步骤如下: 把待排序的数据构建成大顶堆(从大到小排序). 把堆顶的数据拿出放在数组的第一个元素中. 使用下沉的方法整理堆中的数据. 循环第2,3步,直到堆中所有数据都取出来为止. 这个算法的优缺点如下优点:时间复杂度低,其中建立堆最多循环了nlong2(n…

优先队列Priority Queue和堆Heap

对COMP20003中的Priority queue部分进行总结.图片来自于COMP20003 queue队列,顾名思义特点先进先出 priority queue优先队列,出来的顺序按照优先级priority大小,越大(小)的先pop. 普通的方法: Unsorted array: Construct: O(n) Get highest priority: O(n) Sorted array: Construct: O(n2) Get highest priority: O(1) 使用堆heap…