题意 用 \(m\) 种颜色,给 \(n\) 个点的无向完全图的 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 条边染色,两种方案相同当且仅当一种方案交换一些点的编号后可以变成另一种方案.问有多少本质不同的染色方案. \(n\le 53, m\le 1000, n<mod\le 10^9\) 且 \(mod\) 为质数. 分析 考虑 \(Polya​\) 定理. 假设已经枚举了一个点置换(对应唯一一种边置换),能否快速求出对应边的置换的循环个数? 对于两个点的循环(设长度分别为 \(l_1,l_2\…

1815: [Shoi2006]color 有色图 Time Limit: 4 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 136  Solved: 50[Submit][Status] Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output…

BZOJ1815: [Shoi2006]color 有色图 Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output output 1 4 题解Here! 经典Polya计数. 不想再写一遍了,正解戳这里.…

题意 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图. 如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的. 对于计算所有顶点数为 \(n\) ,颜色种类不超过 \(m\) 的图,最多有几张是两两不同构的图. 数据范围 \(n \le 53, 1 \le m \le 1000\) 题解 神仙题qwq 我们考虑对于点置换与其对应的边置换的关系: 对…

传送门 题意: 染色图是无向完全图,且每条边可被染成k种颜色中的一种.两个染色图是同构的,当且仅当可以改变一个图的顶点的编号,使得两个染色图完全相同.问N个顶点,k种颜色,本质不同的染色图个数(模质数N≤53,P<109). 想了一节课和一中午又看了课件 相同类型的循环合并的想法很巧妙 首先,点的置换对应唯一边的置换,我们可以枚举所有点的置换,找出每个置换下边置换的循环有多少个,然后套$Polya$公式 但是复杂度带叹号 我们发现,很多点置换类型是一样的,我们可以对$n$搜索划分来枚举点置换的类…

参考 https://wenku.baidu.com/view/fee9e9b9bceb19e8b8f6ba7a.html?from=search### 的最后一道例题 首先无向完全图是个若干点的置换,但是实际上要染色边,也就是要求边的置换 首先,通过dfs构造一个点的置换,然后再把每个置换分割加起来就是答案(实际上分割方案很少) 那么现在有一个点置换的长度(a1,a2,a3...),考虑边置换,一条边(pi,pj),如果pi,pj在不同的置换里,那么显然循环节是lcm(ai,aj),所以循环个…

黑白棋(game) [问题描述] 小A和小B又想到了一个新的游戏. 这个游戏是在一个1*n的棋盘上进行的,棋盘上有k个棋子,一半是黑色,一半是白色. 最左边是白色棋子,最右边是黑色棋子,相邻的棋子颜色不同. 小A可以移动白色棋子,小B可以移动黑色的棋子,他们每次操作可以移动1到d个棋子. 每当移动某一个棋子时,这个棋子不能跨越两边的棋子,当然也不可以出界.当谁不可以操作时,谁就失败了. 小A和小B轮流操作,现在小A先移动,有多少种初始棋子的布局会使他胜利呢? [输入格式] 共一行,三个数,n,k…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 用斯特林数容斥原理推导那个式子可以直接出卷积形式,见下一篇,本篇是分治fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 Bell数 \(B(n)=\sum\limits_{i=…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 分治fft做法见上一篇,本篇是容斥原理+fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 考虑集合不相同情况\(S'(n,i)=S(n,i)*i!\),我们用容斥原理推♂倒她…

[HNOI2019]多边形(模拟,组合计数) 题面 洛谷 题解 突然特别想骂人,本来我考场现切了的,结果WA了几个点,刚刚拿代码一看有个地方忘记取模了. 首先发现终止态一定是所有点都向\(n\)连边(看样例图解就知道了) 那么大力猜想一下第一问的答案一定是\(n-3-\)和\(n\)号点直接相连的边数. 手玩一下,发现这样一件事情:和\(n\)直接相连的所有边把多边形分割成了若干个区间,每个区间都用\([l,r]\)表示. 对于\([l,r]\)这个区间,因为已经分割出来了,也就是除了\(l-n…

0 写在前面 0.0 前言 由于我太菜了,导致一些东西一学就忘,特开此文来记录下最让我头痛的数学相关问题. 一些引用的文字都注释了原文链接,若侵犯了您的权益,敬请告知:若文章中出现错误,也烦请告知. 该文于 2018.3.31 完成最后一次修改(若有出错的地方,之后也会进行维护).其主要内容限于数论和组合计数类数学相关问题.因为版面原因,其余数学方面的总结会以全新的博文呈现. 感谢你的造访. 0.1 记号说明 由于该文完成的间隔跨度太大,不同时期的内容的写法不严谨,甚至 $LaTeX$ 也有许多…

[BZOJ5323][JXOI2018]游戏(组合计数,线性筛) 题面 BZOJ 洛谷 题解 显然要考虑的位置只有那些在\([l,r]\)中不存在任意一个约数的数. 假设这样的数有\(x\)个,那么剩下的数有\(n-x\)个. 枚举时间\(t\),那么强制在\(t\)时刻放下\(x\)数中的最后一个, 那么这样子的方案数就是\(\displaystyle {t-1\choose x-1}*x!*(n-x)!\). 预处理阶乘和逆元就很好做了. #include<iostream> #inclu…

[BZOJ5305][HAOI2018]苹果树(组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 考虑对于每条边计算贡献.每条边的贡献是\(size*(n-size)\). 对于某个点\(u\),如果它有一棵大小为\(K\)的子树的话,考虑方案数. 首先要从剩下的\(n-u\)个点中选出\(K\)个点作为这棵子树,那么选择方案数是\({n-u\choose K}\),构树的方案数是\(K!\).除了这些点外,还剩下\(n-u-K\)个点,他们随意的方案数我们这样考虑,首先把选出来的\(K\)个点拿出来,余…

[BZOJ3142][HNOI2013]数列(组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 唯一考虑的就是把一段值给分配给\(k-1\)天,假设这\(k-1\)天分配好了,第\(i\)天是\(a_i\),假设\(Sum=\sum a_i\).那么这一种分配方案的贡献就是\(n-Sum\). 而分配方式一共有\(m^{k-1}\)种,所以先把\(n\)个提出来,得到\(n*m^{k-1}\)再减去一堆东西.减去是的啥呢?所有合法方案的\(a_i\)的和. 那么考虑一个位置为某个特定值的贡献就好了. 也就…

[BZOJ4005][JLOI2015] 骗我呢(容斥,组合计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 lalaxu #include<iostream> using namespace std; #define MOD 1000000007 #define MAX 3000300 void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;} int n,m,inv[MAX],jc[MAX],jv[MAX],N,ans; int Calc(int x,in…

[BZOJ4830][HNOI2017]抛硬币(组合计数,拓展卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 暴力是啥? 枚举\(A\)的次数和\(B\)的次数,然后直接组合数算就好了:\(\displaystyle \sum_{i=0}^a{a\choose i}\sum_{j=0}^{i-1}{b\choose j}\). 完美\(TLE\). 先考虑特殊点的情况,如果\(a=b\),那么显然两者输赢的情况反过来是一一对应的,所以答案就是总情况减去平局的情况除二,而总方法就是\(\displays…

[Luogu4931]情侣?给我烧了! 加强版(组合计数) 题面 洛谷 题解 戳这里 忽然发现我自己推的方法是做这题的,也许后面写的那个才是做原题的QwQ. #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define MAX 5000010 #define MOD 998244353 inline int read() { int x=0;bool t=false;char ch=getchar(); while…

[Luogu4921]情侣?给我烧了!(组合计数) 题面 洛谷 题解 很有意思的一道题目. 直接容斥?怎么样都要一个平方复杂度了. 既然是恰好\(k\)对,那么我们直接来做: 首先枚举\(k\)对人出来\(\displaystyle {n\choose k}\),然后枚\(k\)排座位出来\(\displaystyle {n\choose k}\),这些人间的顺序关系\(k!\),然后这些人可以左右交换\(2^{k}\). 好的,现在的问题转化为了剩下\(n-k\)对人,两两之间不能坐在一排,求…

[题意]给定a和b,求满足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的数对(x,y)个数.a,b<=10^11. [算法]莫比乌斯反演+组合计数 [题解]★具体推导过程参考:51nod1222 最小公倍数计数 过程运用到的技巧: 1.将所有i和j的已知因子提取出来压缩上届. 2.将带有μ(k)的k提到最前面,从而后面变成单纯的三元组形式. 最终形式: $$ans=\sum_{k=1}^{\sqrt n} \mu(k)  \sum_{d}    \sum_{i} \s…

这道题考察的是组合计数(用Burnside,当然也可以认为是Polya的变形,毕竟Polya是Burnside推导出来的). 这一类问题的本质是计算置换群(A,P)中不动点个数!(所谓不动点,是一个二元组(a,p),a∈A,p∈P ,使得p(a)=a,即a在置换p的作用后还是a). Polya定理其实就是告诉了我们一类问题的不动点数的计算方法. 对于Burnside定理的考察,我见过的有以下几种形式(但归根结底还是计算不动点数): 1.限制a(a∈A)的特点,本题即是如此(限制了各颜色个数,可以…

[ZJOI2010]排列计数 题目描述 称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的,当且仅当2<=i<=N时,Pi>Pi/2. 计算1,2,...N的排列中有多少是Magic的,答案可能很大,只能输出模P以后的值 输入输出格式 输入格式: 输入文件的第一行包含两个整数 n和p,含义如上所述. 输出格式: 输出文件中仅包含一个整数,表示计算1,2,⋯, 的排列中, Magic排列的个数模 p的值. 输入输出样例 输入样例#1: 20 23 输出样例#1: 16 说明…

一道组合数问题--出自 曹钦翔_wc2012组合计数与动态规划 [问题描述] 众所周知,xyc 是一个宇宙大犇,他最近在给他的学弟学妹们出模拟赛. 由于 xyc 实在是太巨了,他出了一套自认为很水的毒瘤模拟赛(看看这题的文件名你就 知道是什么难度了). 这些题目对于选手来说实在是太 hard 了,愤怒的选手们在评测的时候蜂拥而上,把 xyc 抬了起来--在这一过程中,xyc 用于评测的电脑也被选手们给砸坏了. 尽管选手们的成绩极其惨淡,xyc 还是想研究一下选手们的分数分布情况,他尝试还原 出了…

Code Time Limit: 1000MS Memory Limit: 30000K Total Submissions: 8256 Accepted: 3906 Description Transmitting and memorizing information is a task that requires different coding systems for the best use of the available space. A well known system is t…

目录 WC集训DAY2笔记 组合计数 part.1 基础知识 组合恒等式 错排数 卡特兰数 斯特林数 伯努利数 贝尔数 调和级数 后记 补完了几天前写的东西 WC集训DAY2笔记 组合计数 part.1 今天开 幕 雷 击:PKUWC没过 UPD:THUWC也没过,听说群友380过了,也是高一,我378...,WC集训完可以愉快地vanyousee了(呜呜呜 UPD2:由于我在弱校,是高中rk1(黄神MLE了...),苟进了NOIWC 写笔记,就是记结论的意思 基础知识 组合恒等式 \[ 2^n…

自闭集训 Day1 组合计数 T1 \(n\le 10\):直接暴力枚举. \(n\le 32\):meet in the middle,如果左边选了\(x\),右边选了\(y\)(且\(x+y\le B\)),那么对答案的贡献就是 \[ {B-x-y+n-1\choose n-1} \] 根据范德蒙德恒等式 \[ {a+b\choose n} =\sum_{i=0}^n {a\choose i}{b\choose n-i} \] 所以上面可以拆开成 \[ \sum_{i=0}^{n-1} {C…

$有a_{1}个1,a_{2}个2,...,a_{n}个n(n<=15,a_{n}<=5),求排成一列相邻位不相同的方案数.$ 关于这题的教训记录: 学会对于复杂的影响分开计,善于发现整体变化,用整体法(没错就是和物理那种差不多). 推dp方程时怕边界问题不好处理时可以采用向前推的方法,就如$f[x]=f[i]+...$,可以(部分)避免越界. 我好菜啊..除了个dp状态设计对了其他什么都没写上来qwq.基于每次插入时数字的数量都不固定,所以我可以设法将其固定下来.按顺序依次插入1,2,3,.…

题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1008 组合计数的简单题,可能越狱的方案数等于总方案数-不可能越狱的方案数,则: 总方案数为:mn. 不可能越狱的方案数为m*(m-1)n-1,(第一个人有m种选法,之后的n-1个人有m-1种选法). #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ; ; ; inline ll read() { l…

刷题数:4 今天看了组合计数+容斥原理+Mobius函数,算法竞赛进阶指南169~179页 组合计数 https://www.cnblogs.com/2462478392Lee/p/11328938.html 组合计数+中国剩余定理 https://www.cnblogs.com/2462478392Lee/p/11332781.html 总结 今天打了一场集训队cf训练,又找到了一个自己的错误,为什么会过了样例也wa1,以后要看清楚输入的%lld和%d!!!…

HDU4609 FFT+组合计数 传送门:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4609 题意: 找出n根木棍中取出三根木棍可以组成三角形的概率 题解: 我们统计每种长度的棍子的个数 我们对于长度就有一个多项式 \[ f=num[0]*i_0+num[1]*i_1+num[2]*i_2.....num[len]*i_len \] 我们考虑两根棍子可以组成所有长度的方案数 所以我们对num数组求一次FFT 两根棍子组成长度的上界是\(len_{max}…

群论&Polya计数 其实在我听课的过程中,我发现针对于学习OI中的群并没有什么过多必要向内学习... 群 以后会补的. 就是\(QQ\)群. 置换 置换就是一个... \[ \begin{matrix} 1& 2& 3& 4& 5& ...& n\\ p_1& p_2& p_3& p_4& p_5& ...& p_n \end{matrix} \] \(p\)是一个\(n\)的排列. Burnside…