参考: https://oi-wiki.org/geometry/inverse/ https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/16966369 https://jingyan.baidu.com/article/77b8dc7f8a792e6174eab623.html 知识点:圆的反演 反演中心 O,半径R,若 P 与 P' 满足: 点 \(P'\) 在射线\(\overrightarrow {OP}\)上 \(|OP|\cdot |OP…

Pick定理.欧拉公式和圆的反演 Tags:高级算法 Pick定理 内容 定点都是整点的多边形,内部整点数为\(innod\),边界整点数\(ednod\),\(S=innod+\frac{ednod}{2}-1\) 证明 把每个整点近似地看成一个圆,那么多边形内部的整点所代表的圆全部被算入 多边形边界上的圆被算了一半 顶点上被算了\(\sum 半圆-外角\),外角和360度,于是\(-1\) 应用 POJ2954 求格点三角形内部点数 欧拉公式 内容 \[V-E+F=2\] \(V:verte…

BUPT2017 wintertraining(15) #5G HDU - 4773 - 2013 Asia Hangzhou Regional Contest problem D 题意 给定两个相离的圆,和一个圆外的点P,求过该点和两个圆都外切的圆. 题解 直接求解联立的方程组不太可行.需要用一个黑科技--圆的反演. 什么是圆的反演呢? 假设定圆的圆心为O,半径是R,线段OP上的点P'满足\(|OP|\cdot|OP'|=R^2\),则称P'是P关于定圆O的反演. 反演的性质: 不通过O的直线…

题意:给出两个相离的圆O1,O2和圆外一点P,求构造这样的圆:同时与两个圆相外切,且经过点P,输出圆的圆心和半径 分析:画图很容易看出这样的圆要么存在一个,要么存在两个:此题直接解方程是不容易的,先看看反演的定义:已知一圆C,圆心为O,半径为r,如果P与P'在过圆心O的直线上,且,则称P与P'关于O互为反演. 反演的性质: 首先设出反演圆心O和反演半径R 1.圆外一点P与圆内一点P'会一一对应的反演OP*OP'=R*R 2.经过O的圆,反演后成为不经过O的一条直线 3.不经过O的圆,反演后成为另…

莫名其妙就AC了-- 圆的反演-- 神马是反演? 快去恶补奥数-- #include<iostream> #include<map> #include<string> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<queue> #include<vector> #include<alg…

Nowadays, little haha got a problem from his teacher.His teacher wants to design a big logo for the campus with some circles tangent with each other. And now, here comes the problem. The teacher want to draw the logo on a big plane. You could see the…

HOJ 13102 Super Shuttle 链接:http://49.123.82.55/online/?action=problem&type=show&id=13102 题意:给定一个点 p 和 n 个圆,做某个经过点 p的 圆穿过尽可能多的圆,问可穿过最多的圆是多少. 思路:圆的反演变换: 给出反演极O和反演幂k>0,作点A的反演点A′. 令k=r^2,作出反演基圆⊙O(r), 1)若点A在⊙O(r)外,则过点A作圆的切线(两条),两个切点相连与OA连线交点就是点A′. 2…

题意 给定相离的两个圆(圆心坐标以及半径)以及圆外的一个定点\(P\),求出过点\(P\)的且与已知的两个圆外切的所有圆(输出总数+圆心.半径). 分析 如果强行解方程,反正我是不会. 本题用到新姿势:圆的反演. 二维上的圆的反演通常是指定一个圆\(C\)为基础,其圆心\(O\)为反演中心,其半径\(r\)为反演半径.对于平面上任意一个非反演中心的点\(P\),都有且仅有一个反演点\(P'\),满足\(OP \cdot OP' = r^2\)且\(P'\)在\(OP\)射线上.对于任意一个二维上…

题目链接多校8-1009 HDU - 6158 The Designer 题意 T(<=1200)组,如图在半径R1.R2相内切的圆的差集位置依次绘制1,2,3,到n号圆,求面积之和(n<=1e7). 题解 圆的反演: (圆的反演就是半径为R,圆心O的圆为反演中心,点P的反演点就是在射线OP上满足\(|OP'|*|OP|=R^2\)的点P') 设切点为O,以O为圆心半径R的圆为反演点.将圆R1和R2反演得到两条直线,和两条直线相切的圆反演回去的圆就是1-n号圆的圆心. 那么它们的直径就是这些小…

题面 传送门 这题有两种方法(然而两种我都想不到) 方法一 前置芝士 笛卡尔定理 我们定义一个圆的曲率为\(k=\pm {1\over r}\),其中\(r\)是圆的半径 若在平面上有两两相切,且六个切点互不相同的四个圆,设其曲率分别为\(k1,k2,k3,k4\)(若该圆和其它所有圆都外切,则其曲率取正,否则曲率取负),则有 \[(k1+k2+k3+k4)^2=2(k1^2+k2^2+k3^2+k4^2)\] 类似的,若是空间中有两两相切且切点互不相同的五个球体,则有 \[(k1+k2+k3+…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6097 题意:有一个圆心在原点的圆,给定圆的半径,给定P.Q两点坐标(PO=QO,P.Q不在圆外),取圆上一点D,求PD+QD的最小值. 解法:圆的反演. 很不幸不总是中垂线上的点取到最小值,考虑点在圆上的极端情况. 做P点关于圆的反演点P',OPD与ODP'相似,相似比是|OP| : r. Q点同理. 极小化PD+QD可以转化为极小化P'D+Q'D. 当P'Q'与圆有交点时,答案为两点距离,否则最优…

hdu6158 题意 初始有两个圆,按照标号去放圆,问放完 \(n\) 个圆后的总面积. 分析 圆的反演的应用. 参考blog 设反演圆心为 \(O\) 和反演半径 \(R\) 圆的反演的定义: 已知一圆 \(C\) ,圆心为 \(O\) ,半径为 \(R\) ,如果 \(P\) 与 \(P'\)在过圆心 \(O\) 的直线上且 \(OP \cdot OP'=R^2\),则称 \(P\) 与 \(P'\) 关于 \(O\) 互为反演点. 有圆的反演的几个性质: 经过\(O\)的圆,反演后成为不经…

An Easy Physics Problem Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 3845    Accepted Submission(s): 768 Problem Description On an infinite smooth table, there's a big round fixed cylinder an…

属于结果的和好求但是结果不好求的题 (轻易能得到以k的倍数为最大公约数的对数,但是不好直接求k) 所以一波反演结束 其实反演的时候完全没有反演的感觉,就是不停地恒等变形 算是懵逼乌斯反演最简单的例题 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ],p[];]; int calc(int n,int m) { ;if(n>m) swap(n,m); ,j;i<=n;i=j+) { j=min(n/(n/i),m/(m/i)); ret+…

Day_6 计算几何 点积\Large 点积点积 叉积\Large 叉积叉积 极角\Large 极角极角 < π\piπ :叉积判断 else :atan2 旋转\Large 旋转旋转 左乘第一类正交矩阵 [cos θ−sin θsin θcos θ][cos ωsin ω]=[cos θ cos ω−sin θ sin ωsin θ cos ω+cos θ sin ω]=[cos(θ+ω)sin(θ+ω)]\left[ \begin{array}{} cos\ \theta & -sin\…

Mindis Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 2787    Accepted Submission(s): 555Special Judge Problem Description The center coordinate of the circle C is O, the coordinate of O is (0,…

题面传送门 题意: 求满足 \(1 \leq x \leq n\),\(1 \leq y \leq m\),\(\gcd(x,y)\) 为质数的数对 \((x,y)\) 的个数. \(T\) 组询问. \(1 \leq T \leq 10^4\),\(1 \leq n,m \leq 10^7\). 今天终于学会了莫比乌斯反演反演~~,就写篇博客加深下印象吧. 要说这莫比乌斯反演有多么博大精深,就不得不从莫比乌斯函数 \(\mu(x)\) 说起. 我们定义 \(\mu(x)\) 为: \[\mu(…

题目:https://loj.ac/problem/2542 可以最值反演.注意 min 不是独立地算从根走到每个点的最小值,在点集里取 min ,而是整体来看,“从根开始走到点集中的任意一个点就停下”的期望步数. 设 f[ i ] 表示从根走到 i ,再走期望几步就能走到点集中的某个点.有 \( f[i]=\frac{1}{d[i]}\sum\limits_{j}(f[j]+1) \) ( j 是和 i 有边的点) 于是要“树上高斯消元”.其实就是尝试写成 \( f[i]=a[i]*f[st]…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101 莫比乌斯反演 1101: [POI2007]Zap 设 \(f(i)\) 表示 \((x,y)\) \(x\in [1,a],y\in [1,b]\) 满足 \(gcd(x,y)=i\) 的对数 那么答案就是 \(f(d)\) 构造一个函数 \(g(i)\) 表示 \((x,y)\) \(x\in [1,a],y\in [1,b]\) 满足 \(gcd(x,y)|i\) 的对数 于是…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3328 单位根反演主要就是有 \( [k|n] = \frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{k-1}w_{k}^{i*n} \) 如果 k | n ,转 n 下就会是 1 :不然用等比数列求和公式可知是 0 . 一般是构造一个 \( f(x) = ( 1+x )^n \) 之类的,来求含有组合数的式子.比如 \( \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3328 单位根反演,主要用到了 \( [k|n] = \frac{1}{k} \sum\limits_{i=0}{k-1} w_{k}^{in} \)推导见:https://www.cnblogs.com/galaxies/p/bzoj3328.html构造 \( F(x) \) 是为了凑成二项式定理的形式,其实也不难想:又忘记在定义构造函数时写 N 了!把 =N(...) 写成 =(...…

地址:http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6158 题目: The Designer Time Limit: 8000/4000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1381    Accepted Submission(s): 289 Problem Description Nowadays, little …

地址:http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6206 题目: Apple Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 530    Accepted Submission(s): 172 Problem Description Apple is Taotao's favouri…

Apple Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 982    Accepted Submission(s): 323 Problem Description Apple is Taotao's favourite fruit. In his backyard, there are three apple trees with…

第39届ACM-ICPC亚洲区广州站题解 Ltysky摘抄自闭幕式题目分析 Problem A 满足px+qy=c的点(x,y)在一条直线上,而c的值由直线的截距确定,所以最大化c,就要在糖果(x,y)点集的凸包上根据斜率确定一个顶点,所以本题需要动态凸包算法,但是动态凸包只能处理加点,要删点的话需要结合陈丹琦分治. Problem B 坑题,栅栏可以套另一个,这种情况下面积是大的. Problem C 将字符串建trie图,然后满足条件的字符串分为以下两类: 它是一个前缀,同时也是一个后缀.这…

题目链接:https://cn.vjudge.net/problem/HDU-6097 知识点: 计算几何.圆的反演 题目大意: 已知一个圆心在原点的圆的半径,再给定 \(P, Q\) 两点坐标( \(PO=QO\),\(P, Q\) 不在圆外),在圆上取一点 \(D\),求 \(PD+QD\) 的最小值. 解题思路: 首先,\(P, Q\) 两点重合的情况要特判: 其次,\(P, Q\) 在圆上的情况也要特判(将 \(D\) 点放在 \(P\) 或 \(Q\) 点上即可,答案为 \(|PQ|\…

problem:一个圆上依次有1~2*n的数字.每个数字都有且只有另一个数字与他相连.选出三条线,使得每条线的两端之间隔的最少点(只包括被选择的6个点)的个数相等.输入输出格式输入格式: The first line contains integer n(3<=n<=10^5) — the number of lines. Each of the following n n n lines contains two integers ai​,bi​ (1<=ai,bi<=2n),…

题目 https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1178 题意 圆桌上有n个人,每个人要求a_i种不同的礼物,相邻两个人的礼物不能重复,问有至少要准备多少种礼物 思路 如刘书 1. 明显,若n=1,直接输出a[0] 2. 若n为偶数,则可以形如ABABAB,直接取最大的两个相连之和 3. 若n为奇数,则可以转化为二分判断…

[ZJOI2018]保镖 Tags:题解 题意 链接 初始在平面上有一些点,九条可怜随机出现在一个矩形内的任意一点.若九条可怜出现在\(O\)点,则平面上所有的点都从\(P_i\)移动到\(P'_i\),使得\(P'_i\)在射线\(OP_i\)上,且满足\(|OP_i|*|OP'_i|=1\).现在给定矩形范围,求这些点移动后所构成的凸包的期望点数. \(n\le 2000,x,y\le 10^5\),精度要求绝对误差或相对误差不超过\(10^{-7}\). 题解 前言 神仙不可做题终于被杠下…

地址:https://nanti.jisuanke.com/t/17314 题目: Three circles C_{a}C​a​​, C_{b}C​b​​, and C_{c}C​c​​, all with radius RR and tangent to each other, are located in two-dimensional space as shown in Figure 11. A smaller circle C_{1}C​1​​ with radius R_{1}R​1…