如何理解并且证明这个定理?谢谢 (0)是素理想,也是就是说,只要ab∈(0)就有a∈(0)或者b∈(0) 这等价于说 ab=0就有a=0或b=0. 它这里给的证明是什么意思呢?它是利用了素理想的等价刻画:I是素理想当且仅当R/I是整环. 如何由整环的定义,推出0是素理想? 而且刚好是交换幺环R的素理想? R同构于R/(0),也就是说这它们同时为整环或同时非整环. 于是,R是整环表明R/(0)是整环,从而(0)是R的素理想.反过来,如果(0)是R的素理想,那么R/(0)是整环,所以R也是整环.…

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_ring https://zhuanlan.zhihu.com/p/419266064 这篇知乎文章讲的比较透彻,但是不易理解,可以结合以下视频学习. 无尽沙砾大佬的视频:3-6-多项式环-4_哔哩哔哩_bilibili ~ 3-6-多项式环-8_哔哩哔哩_bilibili 顾沛老师的视频:30.多项式环1_哔哩哔哩_bilibili 本文主要是简化了知乎文章的叙述,优化了公式的显示效果,便于自己理解 文章使用 w…

Commando War There is a war and it doesn't look very promising for your country. Now it's time to act. You have a commando squad at your disposal and planning an ambush on an important enemy camp located nearby. You have N soldiers in your squad. In…

离散数学 II(知识点汇总) 目录 离散数学 II(知识点汇总) 代数系统 代数系统定义 例子 二元运算定义 运算及其性质 二元运算的性质 封闭性 可交换性 可结合性 可分配性 吸收律 等幂性 消去律 特殊的元素性质 幺元 零元 逆元 证明逆元且唯一定理 二元运算表中性质的体现 半群 广群 成立条件 半群 定义 特性 子半群 独异点 成立条件 特性 证明是半群或独异点 群和子群 群 定义 阶数.有限群.无限群 1阶.2阶.3阶.4阶群 特性 幂特性 运算表特性 运算 子群 定义 判定条件 性质…

题目大意:给定一个长度为 N 的序列,序列中的数两两不相同,每次可以交换序列中任意两个数,代价为这两个数的和,问将序列调整为升序,最少的代价是多少. 题解:考虑这个问题的一个子问题,这个序列为 N 的一个排列的时候,代价是多少.首先,对于许多交换操作来说,并不是所有操作都是有意义的.可以发现,序列可以被分成若干互不相交的环,在同一个环上的值进行交换才更有意义.第一种策略是对于同一个环上的点来说,可以用环上值最小的点来把其他点交换到对应的位置,这样的代价为\(\sum\limits_{i\in S…

洛谷题目链接:序列排序 题目描述 小C有一个N个数的整数序列,这个序列的中的数两两不同.小C每次可以交换序列中的任意两个数,代价为这两个数之和.小C希望将整个序列升序排序,问小C需要的最小代价是多少? 输入输出格式 输入格式: 第一行,一个整数N. 第二行,N个整数,表示小C的序列. 输出格式: 一行,一个整数,表示小C需要的最小代价. 输入输出样例 输入样例#1: 6 8 4 5 3 2 7 输出样例#1: 34 说明 数据范围: 对于30%的数据,1<=N<=10: 对于全部的数据,1&l…

1067. Sort with Swap(0,*) (25) 时间限制 150 ms 内存限制 65536 kB 代码长度限制 16000 B 判题程序 Standard 作者 CHEN, Yue Given any permutation of the numbers {0, 1, 2,..., N-1}, it is easy to sort them in increasing order. But what if Swap(0, *) is the ONLY operation that…

Atcoder Grand Contest 036 D - Negative Cycle 解题思路 在某些情况下,给一张图加或删一些边要使图合法的题目要考虑到最短路的差分约束系统.这一题看似和最短路没什么关系,但有一个不那么经典的推论,对于一个点 \(u\) 不在负环上的一个充要条件是 \[ \forall_{\text{Edge }v\rightarrow u} dis(S,v)+weight(v, u)\geq dis(S,u) \] 其中 \(S\) 是图中任意与 \(u\) 联通的一点.…

传送门 写在前面:为了保护正睿题目版权,这里不放题面,只写题解. A \(70pts:\) 维护一个栈,从一侧向另一侧扫描,如果新加入的元素与当前栈顶相同,则出栈,否则进栈.显然一个子串是括号序列,当且仅当栈为空. 枚举起点,暴力模拟即可.复杂度\(O(n^2)\). \(100pts:\) 对于一个右端点,考虑哪些左端点可以和它匹配. 发现所有合法的左端点,两者栈的内容都是相等的,可以Hash判断. 实际上考虑每次加入字符时,只会在末尾变动一次,可以用trie树维护.复杂度\(O(\sigma…

链表两两元素交换 给定一个链表,两两交换其中相邻的节点,并返回交换后的链表. 你不能只是单纯的改变节点内部的值,而是需要实际的进行节点交换. 示例: 给定 1->2->3->4, 你应该返回 2->1->4->3. /** * 给定一个链表,两两交换其中相邻的节点,并返回交换后的链表. * <b>你不能只是单纯的改变节点内部的值</b>,而是需要实际的进行节点交换. * 解题除了使用递归, 另一种思路就是保证在替换的过程中, 节点不会丢失 * @…