[洛谷P2127] 序列排序

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题目描述

小C有一个N个数的整数序列，这个序列的中的数两两不同。小C每次可以交换序列中的任意两个数，代价为这两个数之和。小C希望将整个序列升序排序，问小C需要的最小代价是多少？

输入输出格式

输入格式：

第一行，一个整数N。

第二行，N个整数，表示小C的序列。

输出格式：

一行，一个整数，表示小C需要的最小代价。

输入输出样例

输入样例#1：

6

8 4 5 3 2 7

输出样例#1：

34

说明

数据范围：

对于30%的数据，1<=N<=10；

对于全部的数据，1<=N<=100000，输入数据中的其他整数均为正整数且不超过109。

简述一下题意:给出一个长度为n的序列(其中元素权值各不相同),通过多次交换两个元素使得整个序列为升序.每次交换的代价是交换的两个元素的权值,要求出最小的代价.

简单想一下,因为每个权值都不同,那么很显然我们是知道最终状态是怎么样的,那么很显然不论怎么样交换,每个元素都有一个它最终要到的位置.

既然这样,那么我们可以处理出每个元素最终要到的位置,以这样方式交换那么序列中的交换情况就可以看作是几个环.

现在假设有这样一个序列:3 1 2 5 4.它的最优交换方法为swap(1 , 2),swap(1 , 3),swap(4 , 5).1要到第一位,2要到第2位,3要到第3位,很显然1,2,3这三个下标上的数组成了一个交换的环,也就是从一个位置出发一直找该下标元素最终要到的位置,然后再从这个位置出发直到走到一开始出发的那个位置.(我们接下来讲的环都是指这个概念),那么在环上交换的贪心策略很显然是用最小的值与其他值来交换.

那么显然可以得到这样一个贪心:

找到一个交换的环中最小的权值,用它来与在这个环上的其他未归位的元素交换.

但是这样的贪心仍然是有问题的.我们看这样一组数据:

5
1 60 30 40 50

如果只考虑用换上的最小值来交换的话,求出来的答案是240,但是如果先将环上最小值和整个序列上的最小值进行交换,然后用这个最小值来代替之前的最小值来计算,就有可能得到更优解.

于是得到一个优化后的贪心策略:判断是使用当前交换环上最小值来完成交换还是先将环上最小值与整个序列最小值交换得到的结果更优.

然后就是注意一下找环的时候一些边界问题,注意一下细节就没了.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lol;
const int N=100000+5;
const int inf=2147483647;

lol n, ans = 0, w[N];
lol len = 0, tot = 0;
lol mn = inf, minn = inf;

struct brick{
    lol id, w;
}a[N];

bool cmp(brick a,brick b){
    return a.w < b.w;
}

int main(){
    cin >> n;
    for(lol i=1;i<=n;i++){
        cin >> a[i].w;
	a[i].id = i; w[i] = a[i].w;
        minn = min(minn , a[i].w);
    }
    sort(a+1 , a+n+1 , cmp);
    for(lol i=1;i<=n;i++){
	if(a[i].id != i){
	    lol k = a[i].id; tot = w[i]; len = 1;
	    a[i].id = i; mn = w[i];
	    while(k!=i){//找环
		len++; mn = min(mn , w[k]);
		tot += w[k];
		swap(a[k].id , k);
	    }
	    if(mn == minn) ans += tot+mn*(len-2);
	    else ans += min(minn*(len+1)+mn+tot,tot+mn*(len-2));//判断哪种情况更优
	}
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}