在一场强为 ${\bf E}_0$ (${\bf E}_0$ 为常向量) 的电场中, 置入一个半径为 $R$ 的导电球体, 试导出球外电势所满足的方程及相应的定解条件. 解答: 设导电球体为 $B_R$, 则 $$\beex \bea \lap\phi=0,&\quad\quad\mbox{in }B_R^c,\\ \phi=\const,&\quad\quad\mbox{on }\p B_R^c,\\ \cfrac{\p\phi}{\p n}=0,&\quad\quad\mbox…

试讨论 Lagrange 形式下的一维理想磁流体力学方程组 (5. 33)-(5. 39) 的类型. 解答: 由 (5. 33), (5. 39) 知 $$\bex 0=\cfrac{\p p}{\p \tau}\sex{\cfrac{\p \tau}{\p t'}-\cfrac{\p u_1}{\p m}}+\cfrac{\p p}{\p S}\cfrac{\p S}{\p t'} =\cfrac{\p p}{\p t'}-p'(\tau)\cfrac{\p u_1}{\p m}, \eex$…

设定常 (即 $\cfrac{\p {\bf u}}{\p t}={\bf 0}$).不可压缩 (设 $\rho=1$) 的理想流体所受的体积力仅为重力. 又设磁场满足条件: $({\bf H}\cdot\n){\bf H}={\bf 0}$. 若取 $x_3$ 为由地面开始并指向上方的铅直坐标, 试证明: 沿流线成立 $$\bex \cfrac{u^2}{2}+p+\cfrac{1}{2}\mu_0H^2+gx_3=C, \eex$$ 其中 $g$ 为重力加速度, $C$ 沿同一流线为常数.…

试给出在 Coulomb 规范下, 电磁场的标势 $\phi$ 与矢势 ${\bf A}$ 所满足的方程. 解答: 真空中的 Maxwell 方程组为 $$\bee\label{1_10_12:eq} \bea \Div{\bf E}&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p{\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf B}&=\mu_0\sex{\ve_0\cfrac{\p{…

对在 $P_0$ 及 $P_1$ 处分别置放 $-q$ 及 $+q$ 的点电荷所形成的电偶极子, 其偶极距 ${\bf m}=q{\bf l}$, ${\bf l}=\vec{P_0P_1}$. 试证明当 $l\to 0$, $q\to+\infty$, 但 $m=ql$ 保持不变时, 此偶极子产生的电场的电势为 $$\bex \phi(P)=-\cfrac{1}{4\pi\ve_0}{\bf m}\cdot\n_P\sex{\cfrac{1}{r_{P_0P}}}, \eex$$ 其中 $\n…

5. 6 弹性静力学方程组的定解问题 5. 6. 1 线性弹性静力学方程组 1.  线性弹性静力学方程组 $$\bee\label{5_6_1_le} -\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\cfrac{\p ^2u_k}{\p x_j\p x_l}=\rho_0b_i,\quad i=1,2,3.  \eee$$ 2.  (Korn 不等式) 设 $\Omega\subset{\bf R}^3$ 为有界区域, 则 $$\bex \exists\ C_0>0,\st \int_\Omega…

[物理学与PDEs]第1章习题1 无限长直线的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题2 均匀带电球面的电场强度与电势 [物理学与PDEs]第1章习题3 常场强下电势的定解问题 [物理学与PDEs]第1章习题4 偶极子的极限电势 [物理学与PDEs]第1章习题5 偶极子的电场强度 [物理学与PDEs]第1章习题6 无限长载流直线的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题7 载流线圈的磁场 [物理学与PDEs]第1章习题8 磁场分布 $\ra$ 电流分布 [物理学与PDEs]第1章习题9 磁偶极…

[物理学与PDEs]第3章习题1 只有一个非零分量的磁场 [物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿沿流线的一个守恒量 [物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lorentz 规范下满足的方程 [物理学与PDEs]第3章习题4 理想磁流体的能量守恒方程 [物理学与PDEs]第3章习题5 一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题6 Lagrange 坐标下的一维理想磁流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第3章习题7 快.慢及A…

[物理学与PDEs]第2章习题1 无旋时的 Euler 方程 [物理学与PDEs]第2章习题2 质量力有势时的能量方程 [物理学与PDEs]第2章习题3 Laplace 方程的 Neumann 问题 [物理学与PDEs]第2章习题4 习题 3 的变分 [物理学与PDEs]第2章习题5 正应力的平均值 [物理学与PDEs]第2章习题6 有旋的 Navier-Stokes 方程组 [物理学与PDEs]第2章习题7 一维不可压理想流体的求解 [物理学与PDEs]第2章习题8 一维定常粘性不可压缩流体的…

[物理学与PDEs]第4章习题1 反应力学方程组形式的化约 - 动量方程与未燃流体质量平衡方程 [物理学与PDEs]第4章习题2 反应力学方程组形式的化约 - 能量守恒方程 [物理学与PDEs]第4章习题3 一维理想反应流体力学方程组的数学结构 [物理学与PDEs]第4章习题4 一维理想反应流体力学方程组的守恒律形式及其 R.H. 条件…