【基础数学】质数，约数，分解质因数，GCD，LCM

【20181027T1】洛阳怀【推结论+线性筛+分解质因数+GCD性质】

原题:CF402D [错解] 唔,先打个表看看咦,没有坏质数好像就是质因数个数啊那有坏质数呢? 好像变负数了推出错误结论:f(x)=x的质因数个数,如果有个坏质数,就乘上-1 然后乱搞,起码花了2个小时 [正解] 用脚趾头想一想都知道怎么可能长这样的? 如果最小质因数是坏的,就去掉-1:否则去掉+1 即好质因数-坏质因数开个bitset记坏质数,然后先筛一下,计算的时候分解$\sqrt{1e9}$质因数就好对于GCD:因为g[i]%g[i+1]==0,所以后面的操作对前面没有影响…

【基础数学】质数，约数，分解质因数，GCD，LCM

1.质数: 质数(prime number)又称素数,有无限个.一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能整除以其他自然数(质数),换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数. 2.约数: 如果一个整数能被两个整数整除,那么这个数就是着两个数的约数.约数是有限的,一般用最大公约数.例如 24的约数是1,2,3,4,6,8,12,24 3.计算约数和: 在数论中有种,把一个数分解成N个素数的积,再把这些素数的指数加一后,全部相乘的积就是约数的个数了. 例如:36 = 2^2 * 3^2 指…

POJ 2429 GCD & LCM Inverse （Pollard rho整数分解+dfs枚举）

题意:给出a和b的gcd和lcm,让你求a和b.按升序输出a和b.若有多组满足条件的a和b,那么输出a+b最小的.思路:lcm=a*b/gcd lcm/gcd=a/gcd*b/gcd 可知a/gcd与b/gcd互质,由此我们可以先用Pollard_rho法对lcm/gcd进行整数分解, 然后对其因子进行深搜找出符合条件的两个互质的因数,然后再都乘以gcd即为输出答案. #include <iostream> #include <stdio.h> #include <alg…

[学习笔记] Miller-Rabin质数测试 & Pollard-Rho质因数分解

目录 Miller-Rabin质数测试 & Pollard-Rho质因数分解 Miller-Rabin质数测试一些依赖的定理实现以及正确率 Pollard-Rho质因数分解生日悖论与生日攻击主要思想具体实现 Miller-Rabin质数测试 & Pollard-Rho质因数分解考试遇见卡质因数分解的题了...活久见...毒瘤lun 于是就学了一发qaq Pollard-Rho分解质因数的话需要依赖另一个算法. Miller-Rabin质数测试一个多项式时间的基于随机的质数测试…

UVa 10622 (gcd 分解质因数) Perfect P-th Powers

题意: 对于32位有符号整数x,将其写成x = bp的形式,求p可能的最大值. 分析: 将x分解质因数,然后求所有指数的gcd即可. 对于负数还要再处理一下,负数求得的p必须是奇数才行. #include <cstdio> #include <cmath> ; ]; ], cnt = ; void Init() { int m = sqrt(maxn + 0.5); ; i <= m; ++i) if(!vis[i]) for(int j = i * i; j <= m…

POJ2429 GCD & LCM Inverse pollard_rho大整数分解

Given two positive integers a and b, we can easily calculate the greatest common divisor (GCD) and the least common multiple (LCM) of a and b. But what about the inverse? That is: given GCD and LCM, finding a and b. Input The input contains multiple…

HDU_3071 Gcd & Lcm game 【素数分解 + 线段树 + 状压】

一.题目 Gcd & Lcm game 二.分析非常好的一题. 首先考虑比较暴力的做法,肯定要按区间进行处理,对于$lcm$和$gcd$可以用标准的公式进行求,但是求$lcm$的时候是肯定会爆$long long$的. 考虑用素数分解,将所有的数分解后,发现素因子的个数有限,且每个因子的幂也有限,最多的也就是$2^_6$,然后可以考虑将素因子用二进制的每一位进行表示.对于$2,3,5,7$可能会要的多点,所以多给给几位就可以了,最后发现,刚好可以$32$位以内. 这里就需要写两个转换函数,然…

数论入门2——gcd,lcm,exGCD,欧拉定理,乘法逆元,(ex)CRT,(ex)BSGS,(ex)Lucas,原根,Miller-Rabin,Pollard-Rho

数论入门2 另一种类型的数论... GCD,LCM 定义$gcd(a,b)$为a和b的最大公约数,$lcm(a,b)$为a和b的最小公倍数,则有: 将a和b分解质因数为$a=p1^{a1}p2^{a2}p3^{a3}...pn^{an},b=p1^{b1}p2^{b2}p3^{b3}...pn^{bn}$,那么$gcd(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{min(ai,bi)},lcm(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{max(ai,bi)}$(0和任何…

light oj 1236 分解质因数

题目链接:http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=70017#problem/H 题意:求满足1<=i<=j<=n且lcm(i,j)=n的pair<i,j>的数目一开始我是这么想的: 既然lcm(i,j)=n, 那么n=x*i=y*j,且x和y一定互质. 若i和j固定了,那么x和y也固定了. 那么问题就转化成求n的约数中互质的pair的数目由唯一分解定理,设n有p个质因数,每个质因数的幂是a[i] 设x包…

Mathematics:GCD & LCM Inverse(POJ 2429)

根据最大公约数和最小公倍数求原来的两个数题目大意,不翻译了,就是上面链接的意思. 具体思路就是要根据数论来,设a和b的GCD(最大公约数)和LCM(最小公倍数),则a/GCD*b/GCD=LCM/GCD,我们只用枚举LCM/GCD的所有质因数就可以了,然后把相应的质因数乘以GCD即可得出答案. 找素数很简单,用Miller_Rabin求素数的方法,可以多求几次提高正确率,原理就是用的费马定理:如果P是素数,则A^(p-1)mod P恒等于1,为了绕过Carmichael数,采用费马小定理:如果…

hdu-3071 Gcd & Lcm game---质因数分解+状态压缩+线段树

题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3071 题目大意: 给定一个长度为n的序列m次操作,操作的种类一共有三种查询 L :查询一个区间的所有的数的最小公倍数modp G :查询一个区间的所有的数的最大公约数modp 修改 C :将给定位置的值修改成x 解题思路: 注意数据范围,每个数字不超过100,所以100以内的质因子最多25个,如果直接求解lcm和gcd的话,long long也是存不下的,所以采用存储质因子的指数,但是如果每个节…

分解质因数法求最大公约数(javascrip实现)

<!DOCTYPE html> <html> <head lang="en"> <meta charset="UTF-8"> <title></title> <script type="text/javascript" src="jquery.min.js"></script> <script type="text/…

bzoj 3481 DZY Loves Math III——反演+rho分解质因数

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3481 推推式子发现:令Q=gcd(P,Q),ans=Σ(d|Q) d*phi(P/d).把 d 质因数分解,设 t 为 Q 的指数, w 为 P 的指数,ans变成每个质数的 Σ(i=0~t) p^i * phi( p^(w-i) ) 连乘. 分解质因数用 Pollar Rho . 注意 Q=0 就是 Q=P,要特判!而且不要以为答案变成 (!x || !y) 了! d从0到P-1 就是…

BZOJ_4459_[Jsoi2013]丢番图_数学+分解质因数

BZOJ_4459_[Jsoi2013]丢番图_数学+分解质因数 Description 丢番图是亚历山大时期埃及著名的数学家.他是最早研究整数系数不定方程的数学家之一. 为了纪念他,这些方程一般被称作丢番图方程.最著名的丢番图方程之一是x^N+y^n=z^N.费马提出,对于N>2,x,y,z没有正整数解.这被称为“费马大定理”,它的证明直到最近才被安德鲁·怀尔斯(AndrewWiles)证明. 考虑如下的丢番图方程: 1/x+1/y=1/n(x,y,n属于N+) …

C语言程序设计100例之（5）：分解质因数

例5 分解质因数题目描述将一个正整数分解质因数.例如:输入90,输出 90=2*3*3*5. 输入输入数据包含多行,每行是一个正整数n (1<n <100000) . 输出对于每个整数n将其分解质因数. 输入样例 90 256 199 输出样例 90=2*3*3*5 256=2*2*2*2*2*2*2*2 199=199 (1)编程思路. 对整数n进行分解质因数,应让变量i等于最小的质数2,然后按下述步骤完成: 1)如果i恰等于n,则说明分解质因数的过程已经结束,输出即可. 2)…

[hdu4497]分解质因数

题意:求满足gcd(x,y,z)=G,lcm(x,y,z)=L的x,y,z的解的个数. 大致思路:首先如果L % G != 0那么无解,否则令u = L / G,问题变为,gcd(r,s,t)=1,lcm(r,s,t)=u的解的个数.然后将u分解质因数,令u=a1p1*...*akpk,考虑一种质因数ai,它不可能同时出现在r,s,t中,枚举所有情况:(1)只出现在r或s或t中,这3种情况答案都为1 (2)出现在r和s或r和t或s和t中,这3种情况答案都为2(pi-1)+1=2pi-1,所以对每…

java分解质因数

package test; import java.util.Scanner; public class Test19 { /** * 分析:对n进行分解质因数,应先找到一个最小的质数k * 最小的质数:即“2”.2是最小的质数,即是偶数又是质数,然后按下述步骤完成: *(1)如果这个质数恰等于n,则说明分解质因数的过程已经结束,打印出即可. *(2)如果n>k,但n能被k整除,则应打印出k的值,并用n除以k的商,作为新的正整数你n,重复执行第一步. *(3)如果n不能被k整除,则用k+1作…

程序设计入门——C语言第6周编程练习 1 分解质因数（5分）

1 分解质因数(5分) 题目内容: 每个非素数(合数)都可以写成几个素数(也可称为质数)相乘的形式,这几个素数就都叫做这个合数的质因数.比如,6可以被分解为2x3,而24可以被分解为2x2x2x3. 现在,你的程序要读入一个[2,100000]范围内的整数,然后输出它的质因数分解式:当读到的就是素数时,输出它本身. 提示:可以用一个函数来判断某数是否是素数. 输入格式: 一个整数,范围在[2,100000]内. 输出格式: 形如: n=axbxcxd 或 n=n 所有的符号之间都没有空格,x是小…

hdu 5428 The Factor 分解质因数

The Factor Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_chineseproblem.php?cid=628&pid=1001 Description 有一个数列,FancyCoder沉迷于研究这个数列的乘积相关问题,但是它们的乘积往往非常大.幸运的是,FancyCoder只需要找到这个巨大乘积的最小的满足如下规则的因子:这个因子包含大于两个因子(包括…

利用matlab实现以下功能：将一个正整数分解质因数。例如：输入90,打印出90=233*5。

程序思路: 对n进行分解质因数,应先找到一个最小的质数k,从2开始,然后按下述步骤完成: (1)如果这个质数恰等于n,则说明分解质因数的过程已经结束,打印出即可. (2)如果n不等于k,则应打印出k的值,并用n除以k的商,作为新的正整数n,重复执行 (1). Matlab实现的程序如下: clear all n=input('pelase input the number:') %保存输入的值 m=2; …

POJ 2429 GCD & LCM Inverse（Pollard_Rho+dfs）

[题目链接] http://poj.org/problem?id=2429 [题目大意] 给出最大公约数和最小公倍数,满足要求的x和y,且x+y最小 [题解] 我们发现,(x/gcd)*(y/gcd)=lcm/gcd,并且x/gcd和y/gcd互质那么我们先利用把所有的质数求出来Pollard_Rho,将相同的质数合并现在的问题转变成把合并后的质数分为两堆,使得x+y最小我们考虑不等式a+b>=2sqrt(ab),在a趋向于sqrt(ab)的时候a+b越小所以我们通过搜索求出最逼近sqr…

网易云课堂_程序设计入门-C语言_第五周：函数_1分解质因数

1 分解质因数(5分) 题目内容: 每个非素数(合数)都可以写成几个素数(也可称为质数)相乘的形式,这几个素数就都叫做这个合数的质因数.比如,6可以被分解为2x3,而24可以被分解为2x2x2x3. 现在,你的程序要读入一个[2,100000]范围内的整数,然后输出它的质因数分解式:当读到的就是素数时,输出它本身. 输入格式: 一个整数,范围在[2,100000]内. 输出格式: 形如: n=axbxcxd 或 n=n 所有的符号之间都没有空格,x是小写字母x. 输入样例: 18 输出样例: 1…

uva10791 uva10780（分解质因数）

http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1732 给定我们一个n, 要找到两个数的集合,使得这些书的最小公倍数(LCM)为n,由于有很多这样的集合,我们要选出总和最小的,而且也只要输出总和就行了数的最大公倍数是怎么求的? 是每个质因数指数最大的那个相乘而来的. 通过最小公倍数的求法,我们可以看出最小公倍数取决于每个质因子在各个数中…

java求最大公约数（分解质因数）

下面是四种用java语言编程实现的求最大公约数的方法: package gcd; import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class gcd { public static void main(String[] args) { long startTime; long endTime; long durationTime; int[] testArray1 = new int[]{784, 988, 460, 732,…

Java经典案例之-“分解质因数”

/** * 描述:将一个正整数分解质因数.例如:输入90,打印出90=2*3*3*5. * 分析: * 对n进行分解质因数,应该先找到一个最小的质数k,然后按照下列步骤进行: * (1)如果这个质数恰等于n,这说明分解质因数的过程已经结束,打印出即可 * (2)如果n!=k,但n等被k整除,这应打印出k的值,并用n除以k的商,作为新的正整数,重复执行第一步 * (3)如果n不能被k整除,则用k+1作为k的值,重复执行第一步 * 作者:徐守威 */ package com.xushouwei; i…

java 分解质因数基础增强

题目:将一个正整数分解质因数.例如:输入90,打印出90=2*3*3*5. 为了熟悉加强基础练习,搞搞经典小demo..话不多说,直接贴代码,看注释.package www.test;import java.util.Scanner; public class Resovle { public static void main(String[] args) { /** 简单分析: * 如果这个质数恰等于n,则说明分解质因数的过程已经结束,打印出即可. 如果n能被k整除,则应打印出k的值,并用n除…