[学习笔记]NTT——快速数论变换

先要学会FFT[学习笔记]FFT——快速傅里叶变换一.简介 FFT会爆精度.而且浮点数相乘常数比取模还大. 然后NTT横空出世了虽然单位根是个好东西.但是,我们还有更好的东西我们先选择一个模数,$const\space int\space p=998244353$ 设g为p的单位根.这里就是3 那么有:$(\omega_n^1)^n = g^{p-1}=1\space mod \space p$ 那么,假设$x=(\omega_n^1)$ 其中一个解可以是:$x=g^{\frac{p-1}…

「算法笔记」快速数论变换（NTT）

一.简介前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 $\sin,\cos$ 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 $p$,若…

NTT 快速数论变换

NTT 先学习FFT 由于FFT是使用复数运算,精度并不好,而且也无法取模,所以有了NTT(快速数论变换). 建议先完全理解FFT后再学习NTT. 原根 NTT使用与单位根性质相似的原根来代替单位根. 定义:设$m$是正整数,$a$是整数,若$a$模$m$的阶等于$φ(m)$,则称$a$为模$m$的一个原根. 如果你不知道阶定义:对于$an≡1(modp)an≡1(modp)$最小的$n$,我们称之为$a$模$p$的阶,记做$δp(a)$ 如果你…

模板 NTT 快速数论变换

NTT裸模板,没什么好解释的这种高深算法其实也没那么必要知道原理 #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define N (1<<17)+10 #define ll long long using namespace std; ll inv3,invl; int r[N]; ll A[N],B[N],C[N],mulwn[N],invwn[N]; char s1[N],s2[N…

【算法】快速数论变换(NTT)初探

[简介] 快速傅里叶变换(FFT)运用了单位复根的性质减少了运算,但是每个复数系数的实部和虚部是一个余弦和正弦函数,因此系数都是浮点数,而浮点数的运算速度较慢且可能产生误差等精度问题,因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换(NTT). 在FFT中,通过$n$次单位复根即$\omega^n=1$的$\omega$来运算,而对于NTT来说,则是运用了素数的原根来运算. [原根] [定义] 对于两个正整数$a,m$满足$gcd(a, m)=1$,由欧拉定理可知,存在正整数$d\leq…

Algorithm: 多项式乘法 Polynomial Multiplication: 快速傅里叶变换 FFT / 快速数论变换 NTT

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法约定:两个多项式为$A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i$ Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若$C(x)=A(x)B(x)$,那么\(C(x…

快速傅里叶变换 & 快速数论变换

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天当时写了手写版的笔记过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根虚数复数 $i$,表示逆时针旋转90度 $a+bi$,对应复平面上的向量复数加法同向量复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(…

Django RF：学习笔记(8)——快速开始

Django RF:学习笔记(8)——快速开始安装配置 1.使用Pip安装Django REST Framework: pip install djangorestframework 2.在Setting中配置 INSTALLED_APPS: 3.最后同步数据库 APIView APIView继承自View,并对其进行了包装成高阶Request.Request中传入了更多参数,如权限认证. 我接着在API View 执行initial函数时,会对request进行验证,确保来访的请求是被允许的…

【学习笔记】快速傅里叶变换(FFT)

[学习笔记]快速傅里叶变换学习之前先看懂这个浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵的求法以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理--gzy hhh开个玩笑. 讲一下$FFT$ 的流程,我也不准备长篇大论地分析$FFT...$ 将系数表示法转换为点值表示法 $O(n \log n)$ 对于点值表示法直接进行操作 $O(n)$ 将点值表示法转换为系数表示法 $O(n \log n)$ 这样的流程,最终复杂度是$O(n \log n)$ 的,现在我们从最…

快速傅里叶变换与快速数论变换瞎学笔记$QwQ$

$umm$先预警下想入门$FFT$就不要康我滴学习笔记了,,, 就,我学习笔记基本上是我大概$get$之后通过写$blog$加强理解加深记忆这样儿的,有些姿势点我可能会直接$skip$什么的,所以对除了我以外的所有人都十分不友好…

[学习笔记]FWT——快速沃尔什变换

解决涉及子集配凑的卷积问题一.介绍 1.基本用法 FWT快速沃尔什变换学习笔记就是解决一类问题: $f[k]=\sum_{i\oplus j=k}a[i]*b[j]$ 基本思想和FFT类似. 首先转化成为另一个多项式$FWT(A),FWT(B)$ 使得:$FWT(A\oplus B)=FWT(A)×FWT(B)$ 这里,$×$是按位乘.这个是$O(n)$的. 然后,再$IFWT$回去即可. 类似于,直接过马路不好走.先从左边走上一座天桥,再从天桥走过去,再到马路右侧走下天桥. 就变成了$O(…

SharpGL学习笔记(七) OpenGL的变换总结

笔者接触OpenGL最大的困难是: 经常调试一份代码时, 屏幕漆黑一片, 也不知道结果对不对,不知道如何是好! 这其实就是关于OpenGL"变换"的基础概念没有掌握好, 以至于对"将三维体正确的显示在屏幕上指定位置"这样的操作都无法完成. OpenGL变换包括计算机图形学中最基本的三维变换,即几何变换.投影变换.裁剪变换.视口变换,以及针对OpenGL的特殊变换概念理解和用法,如相机模拟.矩阵堆栈等,这些基础是开始真正走进三维世界无法绕过的基础. 所以笔者在前面花了…

[学习笔记]FFT——快速傅里叶变换

大力推荐博客: 傅里叶变换(FFT)学习笔记一.多项式乘法: 我们要明白的是: FFT利用分治,处理多项式乘法,达到O(nlogn)的复杂度.(虽然常数大) FFT=DFT+IDFT DFT: 本质是把多项式的系数表达转化为点值表达.因为点值表达,y可以直接相乘.点值表达下相乘的复杂度是O(n)的. 我们分别对两个多项式求x为$\omega_n^i$时的y值. 然后可以O(n)求出乘积多项式x为$\omega_n^i$时的y值. 求法: 把F(x)奇偶分类. $FL(x)=a_0+a_2x+.…

JZYZOJ 2041 快速数论变换 NTT 多项式

http://172.20.6.3/Problem_Show.asp?id=2041 https://blog.csdn.net/ggn_2015/article/details/68922404 代码 https://blog.csdn.net/zz_1215/article/details/40430041 证明这道题里只用快速幂就好了,抄的代码用的exgcd求的逆元,所以我也用的exgcd(权当复习了,exgcd倒推回去的时候记着只需要联立等式,每次自己推exgcd都会想太多……),其实…

$NTT$（快速数论变换）

- 概念引入 - 阶对于$p \in N_+$且$(a, \ p) = 1$,满足$a^r \equiv 1 (mod \ p)$的最小的非负$r$为$a$模$p$意义下的阶,记作$\delta_p(a)$ - 原根定义:若$p \in N_+$且$a \in N$,若$\delta_p(a) = \phi(p)$,则称$a$为模$p$的一个原根相关定理: - 若一个数$m$拥有原根,那么它必定为$2, \ 4, \ p^t, \ 2p^t \ (p$为奇质数$)$的其中一个 - 每个数$…

多项式乘法（FFT）模板 && 快速数论变换（NTT）

具体步骤: 1.补0:在两个多项式最前面补0,得到两个 $2n$ 次多项式,设系数向量分别为 $v_1$ 和 $v_2$. 2.求值:用FFT计算 $f_1 = DFT(v_1)$ 和 $f_2=DFT(v_2)$.这里得到的 $f_1$ 和 $f_2$ 分别是两个输入多项式在 $2n$ 次单位根处的各个取值(即点值表示) 3.乘法:把两个向量 $f_1$ 和 $f_2$ 的每一维对应相乘,得到向量 $f$.它对应输入多项式乘积的点值表示. 4.插值:用FFT计算 $v=IDFT(f)$,其实…

[快速数论变换 NTT]

先粘一个模板.这是求高精度乘法的 #include <bits/stdc++.h> #define maxn 1010 using namespace std; char s[maxn]; typedef long long ll; ll A[maxn], B[maxn]; const int md = 998244353, G = 3; int n; ll power_mod(ll a, ll b){ ll ret = 1; while(b > 0){ if(b & 1)ret…

快速数论变换(NTT)小结

NTT 在FFT中,我们需要用到复数,复数虽然很神奇,但是它也有自己的局限性--需要用double类型计算,精度太低那有没有什么东西能够代替复数且解决精度问题呢? 这个东西,叫原根原根阶若$a,p$互素,且$p>1$, 对于$a^n \equiv 1 \pmod{p}$最小的$n$,我们称之为$a$模$p$的阶,记做$\delta_p(a)$ 例如: $\delta_7(2)=3$, $2^1 \equiv 2 \pmod{7}$ \(2^2 \equ…

快速数论变换（NTT）

刚学完FFT,干脆把NTT也学了算了 (一)预备知识关于原根,这里说得蛮详细的百度百科为什么使用原根呢?为什么原根可以替代$\omega_{n}$呢?想知道为什么就看here NTT用到的各种素数,在这里here (二)重要知识直接上代码原题洛谷P1919 #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath>…

模板 - 数学 - 快速傅里叶变换/快速数论变换（FFT/NTT）

先看看. 通常模数常见的有998244353,1004535809,469762049,这几个的原根都是3.所求的项数还不能超过2的23次方(因为998244353的分解). 感觉没啥用. #include <cstdio> #include <cstring> template <class T> inline void swap(T &a, T &b) { T c; c = a; a = b; b = c; } ; , G = ; inline in…

模板 - 数学 - 多项式 - 快速数论变换/NTT

Huffman分治的NTT,常数一般.使用的时候把多项式的系数们放进vector里面,然后调用solve就可以得到它们的乘积.注意这里默认最大长度是1e6,可能需要改变. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; int a[200005], b[200005], btop; const int MAXN = 1e6, MAXLOGN = 20, mod = 998244353; int add_mod…

快速数论变换NTT模板

51nod 1348 乘积之和 #include <cmath> #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> #include <map> #include <bitset> #include <set>…

Kafka学习笔记2: 快速入门

在开始Kafka环境搭建之前,首先要安装Linux系统,并在Linux系统上安装JDK1.8版本,关于linux虚拟机的安装和linux系统下jdk的安装可以参考我的博文: http://blog.csdn.net/yulei_qq/article/details/52132536 linux 虚拟机安装 http://blog.csdn.net/yulei_qq/article/details/51925673 jdk安装安装好虚拟机和jdk之后,开始Kafka环境的…

学习笔记-CCS-MSP430F5529[快速入门篇二]

由于2021的全国电赛延期了,从今天开始打算好好整理一下使用CCS编程的经验,本篇笔记会好好整理一下我备赛期间用CCS写的程序,包括外部中断,定时器部分的定时中断,定时器输入捕获,PWM波输出,UART,OLED(IIC),MPU6050,内容涵盖了硬件和软件部分.鉴于笔者水平有限和能力不足,文中有不到之处还请看者多包涵.先贴一张peripheral图,MSP430的外部引脚及其复用功能都可在图里查到. 一·外部中断外部中断的操作方式与GPIO一样是使用寄存器操作,所以学习相关的寄存器是不可避…

OpenGL学习笔记（五）变换

目录变换向量向量的运算向量与标量运算向量取反向量加减求向量长度向量的单位化向量相乘点乘(Dot Product) 叉乘矩阵矩阵的加减矩阵的数乘矩阵相乘矩阵与向量相乘与单位矩阵相乘缩放位移旋转矩阵的组合实践第三方库对之前的箱子进行操作参考资料:OpenGL中文翻译变换尽管我们现在已经知道了如何创建一个物体.着色.加入纹理,给它们一些细节的表现,但因为它们都还是静态的物体,仍是不够有趣.我们可以尝试着在每一帧改变物体的顶点并且重配置缓冲区从而使它们…

Nginx学习笔记--001-Nginx快速搭建

Nginx ("engine x") 是一个高性能的HTTP和反向代理服务器,也是一个IMAP/POP3/SMTP服务器.Nginx是由Igor Sysoev为俄罗斯访问量第二的Rambler.ru站点开发的,第一个公开版本0.1.0发布于2004年10月4日.其将源代码以类BSD许可证的形式发布,因它的稳定性.丰富的功能集.示例配置文件和低系统资源的消耗而闻名.关于Nginx的优点,我在这里就不讨论了,网上的资料多的是. 如何使用Nginx快速搭建一个高性能的网站? 1.首先去Ngi…

OpenGL学习笔记4——模型视图变换

以日月地为例的一个模型视图变换.绕了比较多的弯路,下面是几个注意点总结. 注意点: 1.GL函数对模型的操作是基于当前局部坐标系,即模型坐标系而非世界坐标系,二者只在第一次初始化完毕之后才重合: 2.矩阵变换——缩放.平移.旋转是左乘运算,即与代码顺序相反: 3.先平移再旋转类似星体的公转,先旋转再平移类似星体的自转: 4.本例中采取模型坐标系绘制,对不同星体的操作其局部坐标不断变换,连续绘制一系列星体:另一方面若是采取单独星体绘制,即每一个星体的绘制实则是在世界坐标系中绘制,需要用glLoad…