最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

好像在某些情况下杜教筛会遇到瓶颈,先看着.暑假学一些和队友交错的知识的同时开这个大坑.…

洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}F(i) \left(\sum_{\sqrt{n} < p\leqslant n/i, p\ is\ a\ prime} F(p) \right) + \sum_{i = 1, i\ has\ no\ prime\ factor\ greater\ th…

Part 1:杜教筛进阶在了解了杜教筛基本应用,如$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$的求法后,我们看一些杜教筛较难的应用.求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)*i$考虑把它与$id$函数狄利克雷卷积后的前缀和.$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)*d*\frac id=\sum_{i=1}^ni^2$$枚举$T=\frac id$,原式化为$$\sum_{T=1}^nT\sum_{d=1}^{\lfloor\frac nT\rfloor}…

题目大意 有 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\),每个数的范围是 \([1,m]\).还有 \(k\) 个限制,每个限制 \(x_i,y_i\) 表示 \(a_{x_i}\leq a_{y_i}\). 问有多少种不同的情况,以及所有情况中 \({\sigma_0(\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n))}^3\) 的和. \(n\leq 20,m\leq {10}^{10}\) 题解 记 \(f(x)\) 为当 \(m=x\) 时第一问的答案. 记 \(g…

问题描述 洲阁筛解决的问题主要是\(n\)范围较大的积性函数前缀和. ​ 已知一积性函数\(f(i)\),求\(\sum_{i=1}^nf(i)\). \(n\leq10^{12}\). 求解方法 如果\(f(i)\)在质数处的取值比较简单,那么可以运用洲阁筛来求解. ​ 我们需要两个辅助数组. \(g_{i,j}\) 定义如下: \[ \begin{aligned} g_{i,j}&=\sum_{k=2}^i[k与p_1,p_2,...,p_j互质或就是其中某个质数]\; s(k)\\ &…

问题描述 快速求素数处点值比较好求的积性函数前缀和 大致过程 Step1.求出一定范围内的素数处点值之和(\(g\)) Step2.利用上面的\(g\)求出一个\(f\)然后用\(f\)求出前缀和 具体过程 (这里约定一下,在下面的内容中用\(p\)表示一个素数,用\(P_i\)表示素数列表中的第\(i\)项) 这里以求\(\sum \phi(i)\)为例 首先对于素数\(p\)来说,\(\phi(p)=p-1\)的,因此我们可以快速求出素数处点值的和\(\sum \phi(p)=\sum p…

min25筛简介:用来求积性函数F(x)前缀和的,复杂度O(n0.75/logn),大概能求n<=1010. 记一个数x的最小质因子为R(x),所以当x不为质数时,R(x)<=√x这是废话. 首先求所有质数的F(x)和,下设g(i,j)=ΣF(x),其中2<=x<=i,且x为质数或R(x)>pri[j],其中pri[j]为第j个质数.其实,j的取值至多√n个显而易见,下面可以发现最终状态是g(i,tot),其中tot为√n以内的质数个数.初始化g(i,0),即将所有数视为质数…

前言 杜教筛学了,顺便把min25筛也学了吧= =刚好多校也有一道题需要补. 下面推荐几篇博客,我之后写一点自己的理解就是了. 传送门1 传送门2 传送门3 这几篇写得都还是挺好的,接下来我就写下自己对min25筛的理解吧 . 正文 简介: min25筛同杜教筛类似,是用来解决一类积性函数的前缀和,即\(\sum_{i=1}^nF(i)\),并且这里的\(n\)可以达到\(10^{10}\)的规模. 但所求积性函数要求满足以下条件: \(F(p)\)可以表示为简单多项式的形式,比如\(p_1^{…

怕忘了赶快更一下.就是求积性函数前缀和的. 没有 \(\LaTeX\) 原理 现在你有一个积性函数 f(1)=1 FP(p) FPK(p,k) 首先要求的是前缀和,那就是f(质数)+f(合数)+f(1),然后f(1)=1直接最后加上,算前面的时候直接忽略掉. 首先算质数(min25筛第一阶段) 为了能做必须先把f(x)搞成一堆完全积性函数的和一起筛,下面以其中一个f(x)为例 设G(n,j)为2-n中i(i是质数或者i的最小质因子>pj)的f(i)之和,f是积性函数中的FP函数 按j从小到大分层…