[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中\(f(x)\)表示\(x\)的次大质因子. 题解 这个数据范围不是杜教筛就是\(min\_25\)筛了吧... 看到次大质因子显然要\(min\_25\)筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_…

推导过程类似https://www.cnblogs.com/acjiumeng/p/9742073.html 前面部分min25筛,后面部分杜教筛,预处理min25筛需要伯努利数 //#pragma GCC optimize(2) //#pragma GCC optimize(3) //#pragma GCC optimize(4) //#pragma GCC optimize("unroll-loops") //#pragma comment(linker, "/stack…

折腾了一晚上很水的数论,整个人都萌萌哒 主要看了欧拉筛和素数筛的O(n)的算法 这个比那个一长串英文名的算法的优势在于没有多次计算一个数,也就是说一个数只筛了一次,主要是在%==0之后跳出实现的,具体的解释看的迷迷糊糊,特别是欧拉函数的求解 http://blog.csdn.net/lerenceray/article/details/12420725 代码如下 void ES(){ ;i<n;i++){ if (!pd[i]){ prime[++top]=i; phi[i]=i-; } ;j<…

题目 首先我们先把题目分析一下. emmmm,这应该是一个找规律,应该可以打表,然后我们再分析一下图片,发现如果这个点可以被看到,那它的横坐标和纵坐标应该互质,而互质的条件就是它的横坐标和纵坐标的最大公约数为一,那这题的意思就变成了,在一个n * n的方格内寻找所有点的横坐标和纵坐标互质的点的个数. 但是这样复杂度肯定是过不去的.打表时间花费也是很多的,所以我们需要找到加快速度的方法,就是用欧拉函数来加快速度,所以我们就要实现大的优化,我们先明确欧拉函数是个什么东西. 欧拉函数 \(φ(x)\)…

题面 传送门 题解 这题有毒--不知为啥的错误调了半天-- 令\(f(i)={sgcd(i)}\),那么容易看出\(f(i)\)就是\(i\)的次大质因子,用\(i\)除以它的最小质因子即可计算 于是题目所求即为 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{f(\gcd(i,j))}^k\] \[\sum_{d=1}^n {f(d)}^k\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\f…

传送门 思路 (以下令\(F(n)=f(n)^k\)) 首先肯定要莫比乌斯反演,那么可以推出: \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2\sum_{d|T}F(d)\mu(T/d) \] 可以整除分块,但后面的东西怎么办呢? 令\(G(T)=F*\mu\),那么就有 \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2G(T) \] 看到\(\mu\)函数有点烦,考虑用杜教筛的式子消去它. \[ g(1)S(…

题意: 已知\(f(n,a,b)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^igcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\mod 1e9+7\),\(n\leq1e9\),且保证\(ab\)互质,求\(f(n,a,b)\) 思路: 由不知道什么得:当\(ab\)互质,则\(gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j\). 那么可转化为: \[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii-j[gcd(i,j)=1]\mod 1…

嗯.... 埃氏筛和欧拉筛的思想都是相似的: 如果一个数是素数,那么它的所有倍数都不是素数.... 这里主要介绍一下欧拉筛的思路:(欧拉筛的复杂度大约在O(n)左右... 定义一个prime数组,这个数组被称为“素数表”,里面的数都为素数:然后用一个vis数组,如果一个数不是素数,则标记为1. 然后把i从2到n进行枚举,如果它没被访问过,则将其加入素数表中:然后for循环素数表,如果i % prime[j] == 0,则break即可, 因为prime[j]作为i的一个质因数,在某一种情况下,它…

P3383 [模板]线性筛素数 题目描述 如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内) 输入输出格式 输入格式: 第一行包含两个正整数N.M,分别表示查询的范围和查询的个数. 接下来M行每行包含一个不小于1且不大于N的整数,即询问该数是否为质数. 输出格式: 输出包含M行,每行为Yes或No,即依次为每一个询问的结果. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 100 5 2 3 4 91 97 输出样例#1: 复制 Yes Yes No No Yes 说明…