题意:仙人掌图最短路. 算法:圆方树DP,$O(n\log n+Q\log n)$ 首先建出仙人掌圆方树(与点双圆方树的区别在于直接连割边,也就是存在圆圆边),然后考虑点u-v的最短路径,显然就是:在圆方树上u-v的路径上的所有边权之和,加上每个环(方点)中连出去的两个点的最短距离. 现在问题就是:如何求出环上两个点的最短路径.考虑这样设定边权,首先显然圆圆边的边权就是原图的边权,然后设一个环在搜索树中深度最小的点为这个环的根,则方圆边的边权是环的根到这个点的最短距离,这个可以在Tarjan的时…

传送门 对仙人掌建立圆方树,然后对边定权 对于圆点和圆点之间的边,是原来仙人掌上的桥,边权保持不变 对于圆点和方点之间的边,将圆方树看做以一个圆点为根的有根树之后,一个方点的父亲一定是一个圆点.对于这条方圆边,将边权设为\(0\). 而对于这个方点连接的其他圆点来说,如果要从这个点走到方点的父亲并走出这一个环,在原仙人掌上会走最短的路径.那么这些圆方边的权值就是在原仙人掌上从这个圆点到对应方点的父亲的最短路径长度. 然后在圆方树上建立倍增数组 接着考虑每一个询问. 对于某一个询问\((x,y)\…

题意 给定仙人掌,多次询问两点之间的最短路径. \(n\le 10000, Q\le 10000​\) 分析 建出圆方树,分路径 lca 是圆点还是方点讨论. 预处理出根圆点到每个圆点的最短距离 \(dis\) . 如果 lca 是圆点,那么最短距离就是 \(dis_a+dis_b-2*dis_{lca}\). 否则找到 lca 到 a, b 路径上的第一个方点 x, y,最短距离即 \(dis_a-dis_x+dis_b-dis_y+dist(x, y)\) .其中 \(dist(x, y)\…

[题意]给定带边权仙人掌图,Q次询问两点间最短距离.n,m,Q<=10000 [算法]圆方树处理仙人掌问题 [题解]树上的两点间最短路问题,常用倍增求LCA解决,考虑扩展到仙人掌图. 先对仙人掌图建圆方树,圆圆边和原图边权一致.对于每个方点代表的环,记深度最小的点为x,则圆方边的边权是圆点到x的最短距离. 若lca(u,v)为圆点,则两点间最短路转化为圆方树上dis[u]+dis[v]-2*dis[lca].(向上延伸的路径,经过环则必然经过每个方点的x,计算无误) 若lca(u,v)为方点,则…

仙人掌&圆方树学习笔记 1.仙人掌 圆方树用来干啥? --处理仙人掌的问题. 仙人掌是啥? (图片来自于\(BZOJ1023\)) --也就是任意一条边只会出现在一个环里面. 当然,如果你的图片想看起来舒服一点,也可以把图片变成这样子 (图片来源于网络) 2.DFS树 为啥要写这个?--因为这个看起来也可以解决一些仙人掌的问题. 对于一个仙人掌,我们随便构建出一棵生成树. 然后我们就多了一些边--可以叫返祖边,非树边--你想叫啥就叫啥. 因为每条边只会出现在一个环中, 所以每一条返祖边覆盖了树中…

[BZOJ2125]最短路(仙人掌,圆方树) 题面 BZOJ 求仙人掌上两点间的最短路 题解 终于要构建圆方树啦 首先构建出圆方树,因为是仙人掌,和一般图可以稍微的不一样 直接\(tarjan\)缩点,对于每一个强连通分量构建方点(只有一个点的就不要建了) 圆方边的权值定义为到\(dfs\)(\(Tarjan\)不就是搞了一棵\(dfs\)树出来吗?)树上深度最小的点的最短距离. 为什么会有最短距离?因为它是一个环啊,走两侧的距离是不同的. 将圆方树树链剖分,和普通的求距离一样,先求解\(LCA…

传送门 人生的第一道仙人掌. 这道题求是仙人掌上的最短路. 先建出圆方树,然后用倍增跑最短路,当lca" role="presentation" style="position: relative;">lcalca是圆点和方点时分类讨论答案即可. 代码如下: #include<bits/stdc++.h> #define N 20005 using namespace std; inline int read(){ int ans=0;…

LINK:最短路 一张仙人掌图 求图中两点最短路. \(n<=10000,Q<=10000,w>=1\) 考虑边数是多少 m>=n-1 对于一张仙人掌图 考虑先构建出来dfs树 非树边会形成环 环不可能相交 也没有自环 那么说一每形成一个环需要一条树边和非树边. 所以m<=2n-2. 求图中两点最短路.离线做也不太好做.考虑一下一个点到另外一个点 会经过一些割点 必经之点 那么任意两个割点之间的最短路有两条. 显然其中一条永远没用 考虑构建出圆方树 边权dfs的时候处理一下即…

题目链接 圆方树.做题思路不写了.. 就是当LCA是方点时跳进那个环可以分类讨论一下用树剖而不必须用倍增: 如果v是u的(唯一的那个)重儿子,那么u的DFS序上+1的点即是要找的:否则v会引出一条新的链. 不用圆方树的做法(代码错了不想改了,但是能A). //3876kb 148ms(Rank6!) #include <cstdio> #include <cctype> #include <algorithm> //#define gc() getchar() #def…

orzYCB 虚树 %自为风月马前卒巨佬% 用于优化一类树形DP问题. 当状态转移只和树中的某些关键点有关的时候,我们把这些点和它们两两之间的LCA弄出来,以点的祖孙关系连成一棵新的树,这就是虚树. 容易证明,如果关键点数量为\(m\),则虚树点数不超过\(2m\). 虚树的构建 dfs原树,对点进行dfn标号,并将关键点按dfn从小到大排序. 搞个栈,栈内的点满足:都在从栈顶的点到原树的根的一条链上. 现在我们准备加入一个点\(x\) 直接加可能破坏一条链的性质,于是把栈顶的元素弹掉直到可以加…

仙人掌 && 圆方树 && 虚树 总结 Part1 仙人掌 定义 仙人掌是满足以下两个限制的图: 图完全联通. 不存在一条边处在两个环中. 其中第二个限制让仙人掌的题做起来十分舒服. 仙人掌的基环DP 首先勾出一棵有根生成树. 那么树边上正常转移即可. 我们把返祖边形成的环归到环上深度最浅的点上,即环顶. 那么到环顶时,单独跑一遍关于环的\(DP\)即可. 一般写法为: void dfs(RG int u,RG int From) { dfn[u] = low[u] = +…

仙人掌&圆方树 Tags:图论 [x] [luogu4320]道路相遇 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4320 [ ] [SDOI2018]战略游戏 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4606 [x] [APIO2018]铁人两项 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4630 [ ] [SHOI2008]仙人掌图 [ ] [BZOJ4316]小C的独立集 [x]…

题目链接 本代码10分(感觉速度还行..). 建圆方树,预处理一些东西.对询问建虚树. 对于虚树上的圆点直接做:对于方点特判,枚举其所有儿子,如果子节点不在该方点代表的环中,跳到那个点并更新其val,加入B数组:对于环中的点直接加入B数组. 然后像BZOJ2125一样更新环上的.懒得写拆环的单调队列了,直接用min(abs,len-abs). UOJ特么的数据有毒啊.调不出来了,AC的代码一个比一个码风奇特,还有的贼长..先不调了. 一上午+半下午了..从注释的代码可以看出调的过程多么鬼畜. /…

目录 圆方树的定义 圆方树的构造 实现 细节 圆方树的运用 「BZOJ 3331」压力 「洛谷 P4320」道路相遇 「APIO 2018」「洛谷 P4630」铁人两项 「CF 487E」Tourists 「SDOI 2018」「洛谷 P4606」战略游戏 「BZOJ 4316」小C的独立集 「洛谷 P5236」「模板」静态仙人掌 「HNOI 2009」「洛谷 P4410」无归岛 圆方树的定义   圆方树是由一个无向图转化出的树形结构.转化方法为: 所有原图的点为"圆点". 对于每个点…

我写这篇博客的原因 证明我也是学过圆方树的 顺便存存代码 前置技能 双联通分量:点双 然后就没辣 圆方树 建立 新建一个图 定义原图中的所有点为圆点 对于每个点双联通分量(只有两个点的也算) 建立一个方点,向所有的点双内的点连边 性质 一定是个森林 每个点双有唯一的方点 圆点方点相间分布,相同点不相邻 等等 例子 1 题面 求可以出现在两点之间的简单路路径上的点的最大权值,不带修改 分析 考虑用圆方树来解决 设圆点权值为本身,方点权值为点双中的最大权值 那么就是树上的路径最大权值 例子 2 还是…

一道很好的圆方树入门题 感谢PinkRabbit巨佬的博客,讲的太好啦 首先是构建圆方树的代码,也比较好想好记 void tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++dfn_clk; //初始化dfn和low数组 stk[++tp] = u; //把u加入栈中 for(int i = head[u]; i; i = e[i].next) { int v = e[i].to; if(!dfn[v]) { //v还未访问 tarjan(v); //先访问 low[u] =…

传送门 题意简述:给你一张无向图,问你满足存在从a−>b−>ca->b->ca−>b−>c且不经过重复节点的路径的有序点对(a,b,c)(a,b,c)(a,b,c)的数量. 思路: 对每一个连通块建一棵圆方树,然后可以按照圆点和方点做不同的树形dpdpdp. 圆点:找存在于两棵不同子树的点对数 方点:找存在于三颗不同子树的点对数. 代码: #include<bits/stdc++.h> #define ri register int using namesp…

[CF487E]Tourists(圆方树) 题面 UOJ 题解 首先我们不考虑修改,再来想想这道题目. 我们既然要求的是最小值,那么,在经过一个点双的时候,走的一定是具有较小权值的那一侧. 所以说,我们可以让所有的方点表示它所在的点双的最小权值, 这样子只需要对于圆方树树链剖分之后维护链的最小值就行了. 好的,回归带修改,无非是要动态的维护一下方点的最小权值了. 你问我怎么动态维护若干个值的最小值?搞个\(multiset\)不就好了吗? 但是,现在问题又来了,如果每次修改一个点的权值(这个点当…

[APIO2018]铁人两项(圆方树,动态规划) 题面 UOJ 洛谷 BZOJ 题解 嘤嘤嘤,APIO的时候把一个组合数写成阶乘了,然后这题的70多分没拿到 首先一棵树是很容易做的,随意指定起点终点就只能在两点路径上选择第三点.那么考虑过中点的路径个数,就可以很方便的\(dp\)计算了. 对于仙人掌而言,把环全部缩成点,转成树,缩起来的点额外定义一个点权,同样可以直接在树上做\(dp\),额外考虑环自身内部的贡献. 那么对于一般图而言,构建圆方树,那么选定起点和终点后,还是只能选择两点路径之间的…

题目链接 圆方树 圆方树就是对于联通无向图中的每一个点双新建一个方点,与点双中的每个点连一条边,然后将原来的边删去.将原来的点看作圆点,新建的点看作方点.所以叫做圆方树. 性质 1.圆方树肯定是棵树(废话).证明显然. 2.圆方树中与圆点相连的点肯定是方点.与方点相连的点肯定是圆点. 算法 根据圆方树的定义就可以知道.构建圆方树的过程实际上就是找点双的过程.本质上就是找割点.所以用tarjan来做就好了.将找出的点双中的点与新建的点连边即可. 思路 这个题就是圆方树的经典应用,先对于原图构建出圆…

[NOI2013模拟]坑带的树 题意: 求\(n\)个点,\(m\)条边的同构仙人球个数. \(n\le 1000\) 这是一道怎么看怎么不可做的题. 这种题,肯定是圆方树啦~ 好,那么首先转为广义圆方树. 圆方树上有两种点(废话),那么对于一个方点,它实际上代表的是一个点双,所以我们需要判断一个方点的子树是否中间对称,如果对称则这个子树答案乘\(2\). 显然. 然后判断一个圆点与几个方点相连时,注意到方点之间是可以互相交换顺序的,于是我们看看有多少个子树相同,乘个阶乘. 最后就是求同构仙人球…

传送门 思路 先考虑两点如何使他们不连通. 显然路径上所有的割点都满足条件. 多个点呢?也是这样的. 于是可以想到圆方树.一个点集的答案就是它的虚树里圆点个数减去点集大小. 可以把点按dfs序排序,然后统计相邻两点距离和首尾两点距离之和. 为了防止一个点被统计多次,把点权改为边权,再额外算上lca是圆点的情况. 另外,写完这题之后P4320就是双倍经验了. 代码 #include<bits/stdc++.h> clock_t t=clock(); namespace my_std{ using…

洛谷 Codeforces 思路 首先要莫名其妙地想到圆方树. 建起圆方树后,令方点的权值是双联通分量中的最小值,那么\((u,v)\)的答案就是路径\((u,v)\)上的最小值. 然而这题还有修改,可以在每个方点维护一个\(multiset\)以支持. 但如果每次修改都暴力修改相邻的方点权值显然要挂,如何优化? 可以令方点的权值不包括自己的父亲,那么修改圆点时只需要修改自己的父亲即可. 查询时如果\(lca\)是方点那么还要与方点的父亲取\(\min\). 比较码农. 代码 #include<…

传送门 又学会了一个新东西好开心呢~ 思路 显然,假如枚举了起始点\(x\)和终止点\(y\),中转点就必须在它们之间的简单路径上. 不知为何想到了圆方树,可以发现,如果把方点的权值记为双联通分量的大小,圆点权值记为-1,那么\(x \rightarrow y\)的答案就是树上\(x\rightarrow y\)的路径权值和. 直接枚举\(O(n^2)\),点分治\(O(n\log n)\),考虑每个点被经过的次数乘上它的权值即可\(O(n)\). 注意图可能不连通. 代码 #include<b…

学了一下圆方树, 好神奇的东西呀. #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define fi first #define se second #define mk make_pair #define PLL pair<LL, LL> #define PLI pair<LL, int> #define PII pair<int, int> #define SZ(x) ((int)x.size()) #def…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ23.html 题目传送门 - UOJ#23 题意 给定一个有 n 个节点的仙人掌(可能有重边). 对于所有的 $L(1\leq L\leq n-1)$ ,求出有多少不同的从节点 1 出发的包含 L 条边的简单路径.简单路径是指不重复经过任意一点. $n\leq 10^5$ 题解 首先我们把走一条边看作多项式 $x^1$ ,那么一条长度为 L 的路径就是其路径上的多项式的乘积. 接下来称“环根”为距离节点…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ30.html 题目传送门 - UOJ#30 题意 uoj写的很简洁.清晰,这里就不抄一遍了. 题解 首先建出圆方树.接下来,我们称"圆点"为原来有的点,"方点"为新增的点. 然后先只考虑在线询问如何做. ——把方点的值设置成所有与他连边的圆点的权值的最小值,直接在圆方树上树链剖分再套个线段树支持一下区间询问即可. 然后会发现这样做支持不了修改操作. ——直接来个菊花图不断修…

Description 如果某个无向连通图的任意一条边至多只出现在一条简单回路(simple cycle)里,我们就称这张图为仙人掌图(cactus). 所谓简单回路就是指在图上不重复经过任何一个顶点的回路. 举例来说,上面的第一个例子是一张仙人图,而第二个不是——注意到它有三条简单回路: (4,3,2,1,6,5,4).(7,8,9,10,2,3,7)以及(4,3,7,8,9,10,2,1,6,5,4), 而(2,3)同时出现在前两个的简单回路里.另外,第三张图也不是仙人图,因为它并不是连通图…

传送门 要求的是一条按顺序经过\(s,t,c\)三个点的简单路径.简单路径的计数问题不难想到点双联通分量,进而使用圆方树进行求解. 首先将原图缩点,对于一个大小为\(size\)的点双联通分量内,在这个分量内部任意选择\(s,t,c\)都是可行的,可以贡献\(P_{size}^3\)的答案. 接下来就需要计算跨越点双联通分量的\(s,t,c\)了.这个可以在圆方树上进行树形DP统计答案. 但是考虑到割点可能会被统计多次,我们令圆方树中所有的方点都不包含它的父亲,这样对于一个圆点就只会被计入一次答…

传送门 注意到我们需要求的是两点之间所有简单路径中最小值的最小值,那么对于一个点双联通分量来说,如果要经过它,则一定会经过这个点双联通分量里权值最小的点 注意:这里不能缩边双联通分量,样例\(2\)就是一个反例 上面这个图如果缩点双会缩成\(3\)个,但是缩边双会将整个图缩成\(1\)个点. 假如我们询问的是\((1,4)\)之间的简单路径,而图中权值最小的点为\(7\)号点,那么如果缩成了边双联通分量,你的答案会是\(7\)号点的权值,意即认为可以走到\(7\)号点,但实际上如果到\(7\)号…