蒟蒻语 这题太玄学了,蒟蒻写篇题解来让之后复习 = = 蒟蒻解 假设第 \(i\) 个颜色有 \(cnt_i\) 个珍珠. \(\sum\limits_{i=1}^{n} \left\lfloor\frac{cnt_i}{2}\right\rfloor \ge m\) \(\sum\limits_{i=1}^{n} cnt_i - cnt_i \mod 2 \ge 2m\) \(n - \sum\limits_{i=1}^{n} cnt_i \mod 2 \ge 2m\) \(\sum\limi…

[题解]CTS2019珍珠 题目就是要满足这样一个条件\(c_i\)代表出现次数 \[ \sum {[\dfrac {c_i } 2]} \ge 2m \] 显然\(\sum c_i=n\)所以,而且假如\(c_i\)是\(2\)的约数就有正常的贡献,如果不是就有少一点的贡献,那么 \[ \sum^D_{i=1} {[2\mid c_i]} > n-2m \] 设\(f_i\)为钦定有\(i\)种颜色出现偶数次的方案.问题瞬间就变成了HAOI染色... 则有 \[ f_i={D\choose i…

题面传送门 一道多项式的 hot tea 首先考虑将题目的限制翻译成人话,我们记 \(c_i\) 为 \(i\) 的出现次数,那么题目的限制等价于 \(\sum\limits_{i=1}^D\lfloor\dfrac{c_i}{2}\rfloor\le m\).不难发现这里涉及下取整,稍微有些棘手,因此考虑将这个下取整去掉,显然 \(\lfloor\dfrac{c_i}{2}\rfloor=\dfrac{c_i-c_i\bmod 2}{2}\),故原式可化为 \(\sum\limits_{i=1…

题面 CTS2019 珍珠 有 \(n\) 个在 \([1,d]\) 内的整数,求使可以拿出 \(2m\) 个整数凑成 \(m\) 个相等的整数对的方案数. 数据范围:\(0\le m\le 10^9\),\(1\le n\le 10^9\),\(1\le d\le 10^5\). 蒟蒻语 非常巧妙的题,主要要用到二项式反演.指数级生成函数和 NTT. 做个广告,这是我读过最好的生成函数讲解:link. 蒟蒻解 设 \(c_i\) 表示 \(i\) 这个数的出现次数. 设 \(odd=\sum…

[CTS2019]珍珠 考虑实际上,统计多少种染色方案,使得出现次数为奇数的颜色数<=n-2*m 其实看起来很像生成函数了 n很大?感觉生成函数会比较整齐,考虑生成函数能否把n放到数值的位置,而不是维度 有标号,EGF,发现奇偶性有关,其实就是e^x+-e^(-x)这种.(确实很整齐) 所以可以带着e^x化简 如果枚举奇数颜色数,再用两个EGF卷积搞来搞去,很麻烦 memset0 还要转化为路径?(可能上下阶乘很多吧...),这谁想得到 上面的方法之所以麻烦,是因为二项式展开之后存在三个sigm…

显然相当于求有不超过n-2m种颜色出现奇数次的方案数.由于相当于是对各种颜色选定出现次数后有序排列,可以考虑EGF. 容易构造出EGF(ex-e-x)/2=Σx2k+1/(2k+1)!,即表示该颜色只能选奇数个.同理有EGF(ex+e-x)/2=Σx2k/(2k)!,即表示该颜色只能选偶数个. 考虑暴力枚举有多少种颜色出现了奇数次.不妨设恰有i种颜色出现了奇数次的方案数为f(i),那么f(i)=n!·C(D,i)·[xn](((ex-e-x)/2)i·((ex+e-x)/2)D-i),答案显然为…

传送门 题目大意:给出一个长度为\(n\)的序列\(a_i\),序列中每一个数可以取\(1\)到\(D\)中的所有数.问共有多少个序列满足:设\(p_i\)表示第\(i\)个数在序列中出现的次数,\(\sum\limits_{i=1}^D \lfloor \frac{p_i}{2} \rfloor \geq m\).\(D \leq 10^5 , 0 \leq m \leq n \leq 10^9\) 在有生之年切掉laofu的多项式题,全场唯一一个写多项式求逆的,其他人都直接卷积,然后发现自己…

https://www.luogu.org/blog/user50971/solution-p5401 #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) using namespace std; ,mod=,i2=; int D,n,m,ans,fac[N],inv[N],ip2[N],f[N],g[N],rev[N],a[N],b[N]; int ksm(…

这题72分做法挺显然的(也是我VP的分): 对于n,D<=5000的数据,可以记录f[i][j]表示到第i次随机有j个数字未匹配的方案,直接O(nD)的DP转移即可. 对于D<=300的数据,根据转移系数建立矩阵,跑一遍矩阵快速幂,复杂度O(D3logn),不过要注意卡常数,因为是稀疏矩阵可以判掉无用状态. 对于m较小数据,m=0快速幂,m=1为Dn-A(n,D),m=2暴力讨论一下有没有出现>=1次的值,如果有,唯一出现>=1次的值是出现2次还是3次. 当然还是水平低啊不会正解.…

持续更新...纪念一下我的高分暴力...(好丢人啊qwq) NOI2014 动物园 80pts 用倍增暴力跳nxt数组 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define MAXN 1000010 #define MOD 1000000007 #define ull unsigned long long…

题目传送门:LOJ #3120. 题意简述: 称一个长度为 \(n\),元素取值为 \([1,D]\) 的整数序列是合法的,当且仅当其中能够选出至少 \(m\) 对相同元素(不能重复选出元素). 问合法序列个数. 题解: 设颜色为 \(c\) 的珍珠的个数为 \(\mathrm{cnt}_c\),则一个方案合法当且仅当: \[\begin{aligned}\sum_{c=1}^{D}\left\lfloor\frac{\mathrm{cnt}_c}{2}\right\rfloor&\ge m\\…

[CTS2019]珍珠(生成函数) 题面 LOJ 洛谷 题解 lun题可海星. 首先一个大暴力\(sb\)的\(dp\)是设\(f[i][S]\)表示当前考虑完了前\(i\)个珍珠,\(S\)集合中这些颜色的珍珠当前还有一个没有匹配.这个随便转移就行了. 然后发现并没有任何需要记录下确切的哪些颜色是奇数个,只需要记录有多少种就行了. 这样子可以做到\(O(nd)\). 从这里我们看出,最终能够匹配出来的对数恰好等于\((n-|S|)/2\),总个数减去奇数颜色的个数的一半. 首先如果我们能够知道…

「CTS2019」珍珠 解题思路 看了好多博客才会,问题即要求有多少种方案满足数量为奇数的变量数 \(\leq n-2m\).考虑容斥,令 \(F(k)\) 为恰好有 \(n\) 个变量数量为奇数的方案数,\(G(k)\) 为钦点了 \(k\) 种变量的选法且它们数量都是奇数,剩下的变量随便组合的方案数. 那么, \[ Ans = \sum_{i=0}^{\min(n-2m,D)} F(i) \] 显然 \(F, G​\) 之间满足以下关系: \[ G(k) =\sum_{i=k}^D {i\c…

题目 ​ $laofu $出的题 ​ \(n\)个离散型随机变量\(X_i\)可能的值为\([1,D]\) ,求有至少\(m\)对的概率 ​ $0 \le m \le 10^9  ,  1 \le n \le 10^9  ,  1 \le D \le 10^5 $ 题解 60 pts 观察到能配对的个数只和颜色奇数个数有关 令\(L=min(D,n-2m)\),这是奇数个数上界 \(dp_i,j\)表示前\(i\)个球,奇数个数为\(j\)的方案 复杂度:\(O(Dn)\) 如果用快速幂转移加上…

link .... 感觉自己太颓废了....还是来更题解吧...[话说写博客会不会涨 rp 啊 qaq ? 题意: 有 n 个物品,每个都有一个 [1,D] 中随机的颜色,相同颜色的两个物品可以配对.现在要求至少能配 m 对,问方案数? $n,m\leq 10^9,D\leq 10^5$ 题解: 配对数量 $\geq m \Longleftrightarrow$ 出现奇数次的权值个数 $\leq n-2m$ . 一个权值出现偶数次的生成函数: $\frac{e^x +e^{-x}}{2}$ 一个…

LOJ3120 52pts \(N - D >= 2M\)或者\(M = 0\)那么就是\(D^{N}\) 只和数字的奇偶性有关,如果有k个奇数,那么必须满足\(N - k >= 2M\) 所以设\(f[i][j]\)表示第\(i\)个数有\(j\)个奇数的方案数,\(j\cdot f[i][j] \rightarrow f[i + 1][j - 1]\)和\((D - j) \cdot f[i][j] \rightarrow f[i + 1][j + 1]\) 64pts 这个只需要把上面的…

Description Solution 有一个直观的思路是考虑每种颜色个数的奇偶性,奇数个数的颜色不能超过\(n-2m\) 因此若\(n-2m\geq D\)则答案一定是\(D^n\) 否则由于每种颜色其实没有区别,我们考虑一种颜色为奇数和为偶数的指数型生成函数 奇数是\(e^x-e^{-x}\over 2\),偶数是\(e^x+e^{-x}\over 2\) 我们枚举有多少个奇数的颜色 容易得到 \[Ans=n!\sum\limits_{i=0}^{n-2m}{D\choose i}\lef…

文章目录 珍珠 题意 分析 增加限定条件 去掉限定条件 Code 珍珠 题意 一共n课珍珠,m颗悬挂,其余在桌子上.如图所示. 仆人每天从某一端"借"一颗珍珠珠.主人每天都会检查悬挂的珍珠数目. 每颗珍珠的摩擦系数都是kkk. 若有wh>kwtw_h \gt kw_twh​>kwt​,则珍珠落地,被主人发现. 珍珠iii的质量是wiw_iwi​,价格是cic_ici​. 问仆人最大可以借多少价钱的珍珠,并输出借的珍珠数目和一种"借"的方案. 分析 增加限…

目录 @description@ @solution@ @accepted code@ @details@ @description@ 有 \(n\) 个在范围 \([1, D]\) 内的整数均匀随机变量. 求至少能选出 \(m\) 个瓶子,使得存在一种方案,选择一些变量,并把选出来的每一个变量放到一个瓶子中,满足每个瓶子都恰好装两个值相同的变量的概率. 请输出概率乘上 \(D^n\) 后对 \(998244353\) 取模的值. 原题传送门. @solution@ 记 \(l = \min\{…

题目   luogu. 题解   先 % 兔.同为兔子为什么小粉兔辣么强qwq. 本文大体跟随小粉兔的题解的思路,并为像我一样多项式超 poor 的读者作了很详细的解释.如果题解界面公式出现问题,可以尝试"在 Ta 的博客查看"w~   生成函数 + NTT.   首先,转化题意:求长度为 \(n\),元素属于 \([1,D]\) 且存在至少 \(m\) 对位置不重复的相同元素的整数序列个数.   不妨把元素的值形象化为颜色,设第 \(c\) 中颜色在某个序列中出现次数为 \(cnt_…

原题传送门 毒瘤计数题 我们设\(dp_i\)表示至少有\(i\)个极大数字的概率,\(ans_i\)表示恰好有\(i\)个极大数的概率,\(mi=Min(n,m,l)\) 易知: \[dp_i=\sum_{j=i}^{mi} ans_j \tbinom{j}{i}\] 由二项式反演得: \[ans_i=\sum_{j=i}^{mi} dp_j \tbinom{j}{i} (-1)^{j-i}\] 我就不在此证明(实际是我不会证明) 所以我们只需要快速求出dp数组,就珂以快速得到答案 我们需要利…

原题传送门 我们珂以先考虑一条链的情况,设\(sum\)为所有\(w_i\)的总和,\(Sw_i\)表示\(\sum_{j=i}^nw_i\) \[1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow -- \rightarrow n\] \[P(1\rightarrow n)=\prod_{i=1}^n(\frac{w_i}{Sum}\sum_{j=0}^{\inf}(\frac{Sum-Sw_i}{Sum})^j)=\prod_{i=1}^n\frac{w_i}…

Problem \(\mathtt {loj-3124}\) 题意概要:给定 \(n\) 个点,\(w_i\) 分别有 \(p_{i,1},p_{i,2},p_{i,3}\) 的概率取 \(1,2,3\). 在确定了所有的 \(w_i\) 后再开始游戏:不断抽点,点 \(i\) 被抽中的概率为 \(\frac {w_i}{\sum_{j=1}^nw_j}\),直到所有点都被抽中过. 给定 \(n-1\) 个二元组 \((u,v)\) 表示第一次抽中 \(u\) 的时间需要比第一次抽中 \(v\)…

problem \(\mathtt {loj-3119}\) 题意概要:一个 \(n\times m\times l\) 的立方体,立方体中每个格子上都有一个数,如果某个格子上的数比三维坐标中至少有一维相同的其他格子上的数都要大的话,我们就称它是极大的.将 \(n\times m\times l\) 的排列随机填入这些格子,求恰有 \(k\) 个极大的数的概率.\(T\) 组数据. \(T\le 10,\ 1\le n,m,l\le 5\times 10^6,\ 1\le k \le 100\)…

题目链接:洛谷 pb大佬说这是sb题感觉好像有点过fan...(我还是太弱了) 首先,设$i$这个数在序列中出现$a_i$次,要求$\sum_{i=1}^D[a_i \ mod \ 2]\leq n-2m$ 如果要直接计算$\leq n-2m$的数量会非常麻烦,所以考虑设$g_i$表示恰好出现$i$个奇数的方案之和. 这样也还是太麻烦,我们考虑使用反演或容斥通过$\geq i$的数量推算出恰好等于$i$的数量,假设$f_i$表示出现$i$个奇数的方案数. 因为这是数的排列问题,所以考虑使用指数型…

传送门 思路 非常显然,就是要统计有多少种方式使得奇数的个数不超过\(n-2m\).(考场上这个都没想到真是身败名裂了--) 考虑直接减去钦点\(n-2m+1\)个奇数之后的方案数,但显然这样会算重,所以考虑容斥. 设\(f_k\)表示至少有\(k\)个为奇数的方案数. 那么有 \[ \begin{align*} f_k&={D\choose k}{n!}[x^n](\frac{e^x-e^{-x}}{2})^k e^{(D-k)x}\\ &={D\choose k}\frac{1}{2^…

分析 容易发现\(D \leq n - 2m\)时,任意数列都满足要求,直接判掉,下文所讨论的均为\(D > n - 2m\)的情况. 考虑把两个数列合并,显然可以认为是两个带标号对象的合并,可以使用EGF相乘. 我们可以枚举有\(k\)个数出现了奇数次,答案即为: \[ \begin{aligned} ans=&n!\sum_{k=0}^{n-2m}(EVEN(x)+yODD(x))^D[x^n][y^k]\\ =&n!\sum_{k=0}^{n-2m}(\frac{e^x+e^{…

目录 #1. A + B Problem #2. Hello, World! #3. Copycat #4. Quine #7. Input Test #100. 矩阵乘法 #101. 最大流 #102. 最小费用流 #103. 子串查找 #104. 普通平衡树 #108. 多项式乘法 #119. 非负权单源最短路 #130. 树状数组 1 :单点修改,区间查询 #139. 树链剖分 #161. 乘法逆元 2 #556. 「Antileaf's Round」咱们去烧菜吧 #2030. 「SDOI…

描述 There are N beads which of the same shape and size, but with different weights. N is an odd number and the beads are labeled as 1, 2, ..., N. Your task is to find the bead whose weight is median (the ((N+1)/2)th among all beads). The following com…

[CTS2019]氪金手游(动态规划) 题面 LOJ 洛谷 题解 首先不难发现整个图构成的结构是一棵树,如果这个东西是一个外向树的话,那么我们在意的只有这棵子树内的顺序关系,子树外的关系与这棵子树之间的限制无关.所以我们只需要强制根节点在其他儿子之前的就行了(你可以认为如果这次随机抽到了子树外面的东西就重新抽一次,这个概率等于只考虑子树权值和的概率),那么这里的概率就是\(\frac{w_u}{\sum w}\).然后每个根节点显然可以独立考虑,所以只需要把所有根节点的结果直接乘起来就好了. 那…