2002年印度数学家Manindra Agrawal, Neeraj Kayal,Nitin Saxena 给出了一个是否为素数的判别准则. 定理一:设 $a$ 是于 $p$ 互素的整数,则 $p$ 是素数的充分必要条件是 $$(x-a)^p \equiv (x^p-a)(mod \ p)$$ 证: $\because  (x-a)^p = x^p + \sum_{i=1}^{p-1}C_n^ix^i(-a)^{p-i} + (-a)^p$ 如果 $p$ 是素数,则 $p | C_p^i, 0…

题意: 给你一个1e9-1e14的质数P,让你找出这个质数的前一个质数Q,然后计算Q!mod P 题解: 1e14的数据范围pass掉一切素数筛法,考虑Miller-Rabin算法. 米勒拉宾算法是一种判断素数的随机化算法,由于其随机性,它不能保证总是正确的,但其对于一个素数,总会返回素数的结果,对于一个合数,才有极小概率返回素数的结果(假阳性). 米勒拉宾算法对于单个素数的判断时间复杂度为$O(log^3n)$.(因为1e14相乘会爆longlong,模乘要写成龟速乘,因此要多一个log) 1…

题目背景 1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想:任何一个大于9的奇数都可以表示成3个质数之和.质数是指除了1和本身之外没有其他约数的数,如2和11都是质数,而6不是质数,因为6除了约数1和6之外还有约数2和3.需要特别说明的是1不是质数. 这就是哥德巴赫猜想.欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明. 从此,这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠". 题目描述 现在请你编一个程序验证哥…

转载自http://www.matrix67.com/blog/archives/5100 数论,数学中的皇冠,最纯粹的数学.早在古希腊时代,人们就开始痴迷地研究数字,沉浸于这个几乎没有任何实用价值的思维游戏中.直到计算机诞生之后,几千年来的数论研究成果突然有了实际的应用,这个过程可以说是最为激动人心的数学话题之一.最近我在<程序员>杂志上连载了<跨越千年的 RSA 算法>,但受篇幅限制,只有一万字左右的内容.其实,从数论到 RSA 算法,里面的数学之美哪里是一万字能扯完的?在写作…

笔者从事各种数据加解密算法相关的工作若干年,今天要说的是基于大数分解难题的RSA算法,可能有些啰嗦. 事情的起因是这样的,我最近针对一款芯片进行RSA CRT解密的性能优化.因为期望值是1024bits长度能做到20ms左右,但我的实现结果接近40ms.为了找到更加快速的实现方式,我在各大论坛查找不基于Jebelean和Montgomery的模乘实现.在查找过程中非常偶然的获得了一组密钥数据,现在按照一般生成密钥的顺序,先对该组数据简单说明一下,证明其正确性. 1. 密钥产生过程 选取两个512…

原文:http://www.matrix67.com/blog/archives/5100 数论,数学中的皇冠,最纯粹的数学.早在古希腊时代,人们就开始痴迷地研究数字,沉浸于这个几乎没有任何实用价值的思维游戏中.直到计 算机诞生之后,几千年来的数论研究成果突然有了实际的应用,这个过程可以说是最为激动人心的数学话题之一.最近我在<程序员>杂志上连载了<跨越千年的 RSA 算法>,但受篇幅限制,只有一万字左右的内容.其实,从数论到 RSA 算法,里面的数学之美哪里是一万字能扯完的?在写…

前端是时间在庞果网上看到不可表示的数的编程题(如下),我自己也试着解答了一下,写的算法虽然没有没有错,但是跑了一些还只是跑到a8,后来到自己整理一下网上的解答过程,虽然解答写的很清晰,但是有些知识还是不是很清楚,要弄清楚还是得自己在找其他的资料. 给定表达式[x/2] + y + x * y, 其中x,y都是正整数.其中的中括号表示下取整,例如[3/2] = 1 , [5/2]  = 2. 有些正整数可以用上述表达式表达出来,例如正整数2,当取x = y = 1时,可以把2表达出来 ( 解释下:…

上信息安全课,老师布置了几个大作业,其中一个为RSA加密算法的实现,不能用Java写.出于兴趣,决定尝试.完成之后,为了便于查找,于是写下这篇文章,以备后续查看.也供大家一起学习,一起进步. 1.预备知识 1.1 快速幂算法 顾名思义,快速幂就是快速算底数的$n$次幂.其时间复杂度为${\rm{O(log n)}}$,与朴素的$O\left( n \right)$相比,效率有了极大的提高.具体可以参考百度百科:快速幂. 1.2 扩展欧几里得算法 扩展欧几里得算法(英语:Extended Eucl…

Preface ZJOI一轮被麻将劝退的老年选手看到这题就两眼放光,省选也有乱搞题? 然后狂肝了3~4天终于打完了,期间还补了一堆姿势 由于我压缩技术比较菜,所以用的都是非打表算法,所以一共写了5K-- 话不多说我们慢慢分析这道神题(真的是慢慢,最后还会放上许多辅助的CODE) Case1~Case3 首先这几个点就是让你熟悉一下题目意思的 我们套路地发现这题由两部分组成,他们的功能编号开头分别为\(1/2\) 然后点开第一个点,发现第一个是数据组数?剩下的输入一个\(x\)然后就输出一个数 通…

今天是第二次培训的第一天,关于NOIP的基础算法,主要内容如下: $1.枚举 $2.搜索 $3.贪心 $1.枚举: •定义: 枚举又叫做穷举,是一种基础的算法,其思路主要是:从问题中有可能的解集中一一列举出可能的解,再使用各种奇奇怪怪的方式将正确的答案找出 (接下来做几道题玩玩咯) •例(1) 题目:一棵苹果树上长有n个苹果,每个苹果距离地面的高度用Ai来表示,小明的身高为h,试编一个程序求出小明最多能摘掉几个苹果. 分析:其实也么啥好分析的,就是将小明的身高和苹果的高度进行比较,如果苹果的高度…

__int64 sub_140006F50() { __int64 v0; // r8@1 __int64 v1; // r9@1 signed __int64 len; // rax@1 __int64 v3; // r8@4 __int64 i; // rdx@4 char anscii; // cl@5 char v6; // al@9 int v7; // eax@14 const char *v8; // rcx@14 char rp_rsa_zhishu(n); // [sp+20h…

出于无聊, 打算从头实现一遍RSA算法 第一步, 大素数生成 Java的BigInteger里, 有个现成的方法 public static BigInteger probablePrime(int bitLength, Random rnd) { bitLength是期望生成的素数的二进制位数, rnd是随机数发生器 函数注释表明, 这个方法的返回值为合数的概率为2^-100 生成100个1024位的素数, 耗时13471ms 但是显然我不打算直接使用这个函数, 要做就从最底层做起! 目前的做…

上一篇笔记中讲述了大量的代数知识,这一篇中我们看看如何将这些代数知识应用到RSA密码体制中. 一.公钥密码学简介 在经典密码学的研究模型中,我们根据已选择的秘钥K得到一条加密规则$e_{k}$和一条解密规则$d_{k}$,在这些密码体制中,$d_{k}$和$e_{k}$相同或者容易从$e_{k}$导出,因此两者只要泄露一个就容易导致系统的不安全性.这类密码体制称为对称秘钥体制. 对称密钥体制还有一个缺点就是Alice和Bob在传输密文之前需要商定好一个共同的密钥,而且还要通过安全信道交换这个密钥…

服务器端与客户端的密钥系统不一样,称为非对称式密钥系统 RSA算法的基础是模运算x mod n,事实上: [(a mod n) + (b mod n)] mod n = (a+b) mod n [(a mod n) - (b mod n)] mod n = (a-b) mod n [(a mod n) * (b mod n)] mod n = (a*b) mod n 因此有(a mod n)^d mod n = a^d mod n 报文/信息(message)其实仅仅是一个比特模式(bit pa…

RSA算法原理转自:https://www.cnblogs.com/idreamo/p/9411265.html C++代码实现部分为本文新加 RSA算法简介 RSA是最流行的非对称加密算法之一.也被称为公钥加密.它是由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest).阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)在1977年一起提出的.当时他们三人都在麻省理工学院工作.RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的. RSA是非对称的,也就是用来加密的密钥和用来解…

RSA攻击方式总结 1.模数分解 1).解题思路 ​ a).找到RSA算法中的公钥(e,n) ​ b).通过n来找到对应的p和q,然后求得φ(n) ​ c).通过gmpy2.invert或者gmpy2.gcdext可以求得e的逆元d ​ d).通过pow函数将密文解密(pow(a,b,c)函数的速度比直接写a**b mod c 要快) 2).直接分解n ​ a).通常情况下,如果n的长度小于256bit(二进制),那么可以通过本地的工具进行分解(RSATool2v17) ​ b).如果n的长度较…

之前一直对于这个神奇的素性判定方法感到痴迷而又没有时间去了解.借着学习<信息安全数学基础>将素性这一判定方法学习一遍. 首先证明一下费马小定理. 若p为素数,且gcd(a, p)=1, 则有 a^(p-1) = 1 (mod p) 基于以下定理 若(a, p)=1,{x| (x, p)=1}为模p下的一个完全剩余系,则{ax| (x, p)=1}也为模p下的一个完全剩余系. 又{0, 1, 2, ... p-1}为模p下一个剩余系   因此有, {a*0, a*1, a*2, ... a*(p…

    Miller-Rabin是一种高效的随机算法,用来检测一个数$p$是否是素数,最坏时间复杂度为$\log^3 p$,正确率约为$1-4^{-k}$,$k$是检验次数. 一.来源     Miller-Rabin是由Miller和Rabin两个人根据费马小定理的逆定理,也就是费马测试优化过来的.费马小定理就是$$a^{p-1}\equiv 1(\mod p)$$     我们知道当$p$为素数时费马小定理才成立,但是如果一个数满足费马小定理,它一定是素数吗?可以发现,当这个数肥肠小时,它是…

\(\\\) Miller-Rabin 素性测试 考虑如何检验一个数字是否为素数. 经典的试除法复杂度 \(O(\sqrt N)\) 适用于询问 \(N\le 10^{16}\) 的时候. 如果我们要把询问范围加到 \(10^{18}\) ,再多组询问呢? Miller 和 Rabin 建立了Miller-Rabin 质数测试算法. \(\\\) Fermat 测试 首先我们知道费马小定理: \[ a^{p-1}\equiv 1\pmod p \] 当且仅当 \(p\) 为素数时成立. 逆命题是…

摘自:http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/27209455 看了好久没看懂,最后在这篇博客中看明白了. 费马定理的应用,加上二次探测定理. Fermat素数测试 1819年有人发现了Fermat小定理逆命题的第一个反例:虽然2的340次方除以341余1,但341=11*31.后来,人们又发现了561, 645, 1105等数都表明a=2时Fermat小定理的逆命题不成立.人们把所有能整除2^(n-1)-1的合数n叫做伪素数(pseudoprime…

适用范围:较大数的较快素性判断 思路: 因为有好的文章讲解具体原理(见参考文章),这里只是把代码的大致思路点一下,读完了文章如果还有些迷糊,可以参考以下解释 原理是费马小定理:如果p是素数,则a^(p-1)%p==1,加上二次探测定理:如果p是一个素数,则x^2%p==1的解为,则x=1或者x=n-1. 因为有通过费马小定理的伪素数的概率不是充分小,在此基础上加以改进判断. 一次检测中: 主要是把一个数n的n-1分解成d*2^r的形式,其中d为奇数,正向过程是a^n%p如果是1,就继续分解a^(…

有时候我们想快速的知道一个数是不是素数,而这个数又特别的大导致 $O(\sqrt n)$ 的算法也难以通过,这时候我们可以对其进行 Miller-Rabin 素数测试,可以很大概率测出其是否为素数. 两个理论基础 (1)费马小定理:当 $p$ 为质数,有 $a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)$,反过来不一定成立,也就是说,如果 $a, \ p$ 互质,且 $a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)$,不能推出 $p$ 是质数,比如 $Carmichael$ 数 (2)二次探…

目录 @1 - 素性测试:Miller-Rabin算法@ @1.1 - 算法来源@ @1.2 - 算法描述@ @1.3 - 算法实现@ @2 - 因数分解:Pollard-Rho算法@ @2.0 - 参考资料@ @2.1 - 算法来源@ @2.2 - 算法描述@ @2.3 - 算法实现@ @1 - 素性测试:Miller-Rabin算法@ @1.1 - 算法来源@ 假如我们需要检测一个数 x 是否为素数,我们应该怎么做? 最显然的就是从 2~n-1 尝试去找到 x 的另一个因数. 当然可以稍微优…

1. 为什么需要素性测试? 我们其实已经知道有一些判断素数的方法,比如: 遍历测试:待测试数n与2,3,...√n做除法判断余数是否为零,如果没有任何一个数可以整除n,则说明n为素数 Wilson定理:对于给定的正整数n,n是素数的充要条件为,则可以通过判断这个方程是否成立来判断n是否为素数 上面的方法都可以确定的判断出一个数是否为素数,但问题在于对于大整数,这两个算法都需要很大计算量和时间,能不能有一个更快速的判定算法呢? 答案是当前还没有一个更高效且能准确判定素数的方法.但借助随机算法和数论…

自从操作系统升级到64位以后,就要不断的需要面对32位.64位的问题.相信有很多人并不是很清楚32位程序与64位程序的区别,以及Program Files (x86),Program Files的区别.同时,对于程序的dll文件应该放到System32文件夹,还是SysWow64,大部分人做的决定是,32位程序放到System32,64位程序放到SysWow64.是不是这样呢,那么今天就由我身边发生的一个案例来详细的说明一下. dll文件不匹配导致数据库无法启动 前段时间,数据库做了一些功能上的…

前言: 最近公司C轮融资成功了,移动团队准备扩大一下,需要招聘Android开发工程师,陆陆续续面试了几位Android应聘者,面试过程中聊到性能优化中如何避免内存泄漏问题时,很少有人全面的回答上来.所以决定抽空学习总结一下这方面的知识,以及分享一下我们是如何检测内存泄漏的.我们公司使用开源框架LeakCanary来检测内存泄漏. 什么是内存泄漏? 有些对象只有有限的生命周期.当它们的任务完成之后,它们将被垃圾回收.如果在对象的生命周期本该结束的时候,这个对象还被一系列的引用,这就会导致内存泄漏…

C++大量的手动分配.回收内存是存在风险的,也许一个函数中一小块内存泄漏被重复放大之后,最后掏空内存. 这里介绍一种在debug模式下测试内存泄漏的方法. 首先在文件的开头以确定的顺序写下这段代码: #define _CRTDBG_MAP_ALLOC #include <crtdbg.h> #include <stdlib.h> 第1行定义了宏,实现一些内存分配函数向debug模式的映射. 打开<crtdbg.h>我们可以找到这么一段代码: 可以看到,定义了_DEBUG…

本文在腾讯技术推文上 修改 发布. http://wetest.qq.com/lab/view/63.html?from=ads_test2_qqtips&sessionUserType=BFT.PARAMS.195040.TASKID&ADUIN=913337456&ADSESSION=1468996652&ADTAG=CLIENT.QQ.5431_.0&ADPUBNO=26510 自从Google在2013年发布了Android Studio后,Android…

一.整体介绍 前面已经介绍了网络访问的NSURLSession.NSURLConnection,还有网页加载有关的webview,基本满足通常的网络相关的开发. 其实在网络开发中还有比较常用的就是网络状态的检测.苹果对需要联网的应用要求很高,就是必须要进行联网检查.另外,当网络发生异常时能够及时提示用户网络已断开,而不是程序问题造成卡顿:当用户观看视频或下载大文件时,提示用户当前的网络状态为移动流量或wifi下,是否继续使用,以避免在用户不知情下产生过多流量资费等等. 网络状态的检测有多种方法,…

简介     在一个理想的世界中,不会存在任何数据库的损坏,就像我们不会将一些严重意外情况列入我们生活中的日常一样,而一旦这类事情发生,一定会对我们的生活造成非常显著的影响,在SQL Server中也同样如此,或许几年内您没有遇见过数据库中出现这类情况,而一旦遇见这类情况,往往伴随着数据的丢失,宕机,严重甚至您本身的职业生涯也会受到影响.因此对于这类情况,我们需要了解数据库损坏方面的知识,以便我们能够事前准备,事后能够处理.本篇文章会对数据库损坏的原因.现象.事前和事后的一些处理方法以及简单的修…