组合数学的实质还是DP,但是从通式角度处理的话有利于FFT等的实现. 首先推荐$Candy?$的球划分问题集合: http://www.cnblogs.com/candy99/p/6400735.html 以下部分节选自 http://blog.csdn.net/sr_19930829/article/details/40888349 第一类Stirling数 定理:第一类Stirling数$s(p,k)$计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数. 证明:把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈…

一.第二类Stirling数 定理:第二类Stirling数S(p,k)计数的是把p元素集合划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数. 证明:元素在哪些盒子并不重要,唯一重要的是各个盒子里装的是什么,而不管哪个盒子装了什么. 递推公式有:S(p,p)=1 (p>=0)         S(p,0)=0  (p>=1)         S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1)   (1<=k<=p-1) .考虑将前p个正整数,1,2,.....p的集合作为要被…

第一类Stirling数 首先设 $$S_k(n)=\sum_{i=0}^ni^k$$ 根据第一类斯特林数的定义(P是排列数,C是组合数,s是Stirling) $$C_n^k={P_n^k\over k!}={\sum_{i=0}^k(-1)^{i+k}s(k,i)n^i\over k!}$$ 变形得 $$ n^k ={\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+k}s(k,i)n^i}-k! C_n^k$$ $n$ 从1取到n累加, $$S_k(n)=\sum_{j=0}^n(k!C_j…

做了老是忘…… 实际问题: 找维基百科.百度百科…… 第一类Stirling数 n个元素构成m个圆排列 S(n,m)=S(n-1,m-1)+(n-1)*S(n-1,m) 初始 S(0,0)=1 S(n,0)=0(n<>0) 第n个元素: 1.形成一个新的环 原来n-1个元素,m-1个环 2.加入原来的任意一个环,插入到原来其中一个数(n-1个)的左/右边 原来n-1个元素,m个环 第二类Stirling数 n个元素分成m个集合 S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m) 初始 S…

前面说到了Catalan数,现在来了一个Bell数和Stirling数.什么是Bell数,什么是Stirling数呢?两者的关系如何,有用于解决什么算法问题呢? Bell数是以Bell这个人命名的,组合数学中的一组整数数列:B0=1,B1=1,B2=2,B3=5,B4=15,B5=52,B6=203.... Bn是基数为n的集合的划分方法数目.集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族,他们的并是S.例如B3=5,集合S={1,2,3}的5中划分就是 {{1},{2},{3}} {{1…

上一道例题 我们来介绍第二类Stirling数 定义 第二类Stirling数实际上是集合的一个拆分,表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数,记为 或者 .和第一类Stirling数不同的是,集合内是不考虑次序的,而圆排列是有序的.常常用于解决组合数学中几类放球模型.描述为:将n个不同的球放入m个无差别的盒子中,要求盒子非空,有几种方案? 第二类Stirling数要求盒子是无区别的,所以可以得到其方案数公式: 递推式 第二类Stirling数的推导和第一类Stirling数类似,可以从定义出…

第二类斯特林数 第二类Stirling数:S2(p, k) 1.组合意义:第二类Stirling数计数的是把p个互异元素划分为k个非空集合的方法数 2.递推公式: S2(0, 0) = 1 S2(p, 0) = 0 ( p >= 1)  显然p >= 1时这种方法不存在 S2(p, p) = 1  显然这时每个元素看为一个集合 S2(p, k) = k * S2(p - 1, k) + S2(p - 1, k - 1) 考虑将1,2,3,...,p划分为k个非空集合,考虑p ⑴将p单独划分为一…

Bell Time Limit:3000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice HDU 4767   Description What? MMM is learning Combinatorics!? Looks like she is playing with the bell sequence now: bell[n] = number of ways to pa…

上午noi.ac崩崩崩了,栽在组合数学上,虽说最后在辰哥&Chemist的指导下A掉了此题,也发现自己组合数学太弱了qwq. 在luogu上找题,结果找到了一个第二类斯特林数的题(还是双倍经验,逃.) 一.什么是第二类Stirling数 第二类斯特林数 S(n,k):把 n 个元素划分成 k 个集合的方案数.  这个问题说的实际一点,就比如说,有n个互异的小球,把他们放入m个盒子里,盒子里不允许为空的方案数.我们设s(i,j)表示放到i个小球,j个盒子的方案数. 那么对于每个小球,当前我们有两种…

题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1326 题意:有n匹马赛跑.问有多少种不同的排名结果.可以有多匹马的排名相同. 思路:排名相同的算作一组,那么最后的排名有1.2……n组,都有可能.那么对于有m组的,首先我们需要计算出n匹马分成m组有多少种分法,这就是第二类Stirling数,设为S(n,m),设a[m]表示m!,那么最后答案就是ans=sum(S(n,i)*a[i])(1<=i<=n). 第二类Stirling数:…

5093: [Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 250  Solved: 130[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. Input 第一行包含两个正…

简单的模板题. 题意:问n匹马出现的不同排名数. 题解:可以使用DP,本质上还是第二类Stirling数(隔板法) #include <stdio.h> #include <iostream> #include <string.h> #include <algorithm> #include <utility> #include <vector> #include <map> #include <set> #i…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2643 题意: 有n个个选手参赛,问排名有多少种情况(可以并列). 题解: 简化问题: 将n个不同的元素放到i个有差别的盒子中,情况数为P(n,i),求∑P(n,i) (1<=i<=n) 再简化: 将n个不同的元素放到i个无差别的盒子中,情况数为S(n,i),求∑( S(n,i)*i! ) (1<=i<=n) 哇这是第二类Stirling数 (￣▽￣)~* 递推式:s(n,k) = s(…

贝尔数 贝尔数是以埃里克·坦普尔·贝尔命名,是组合数学中的一组整数数列,开首是(OEIS的A000110数列): $$B_0 = 1, B_1 = 1, B_2 = 2, B_3 = 5, B_4 = 15, B_5 = 52, B_6 = 203, ...$$ $B_n$ 的含义是基数为 $n$ 的集合划分成非空集合的划分数. 例如, $B_3=5$ 是因为3个元素的集合有5种划分方法: {{a}, {b}, {c}} {{a}, {b, c}} {{b}, {a, c}} {{c}, {a,…

都是数学题 思维最重要,什么什么数都没用,DP直接乱搞(雾.. 参考LH课件,以及资料:http://daybreakcx.is-programmer.com/posts/17315.html 做到有关的题目会更新 n个乒乓球放到m个盒子里的方案数 1.球相同,盒子不同,不允许空 分成m段,n-1个空选m-1个放隔板 ,$\binom{n-1}{m-1}$ 2.球相同,盒子不同,允许空 $(1)$ 加入m个球变成不允许空 $(2)$ m-1个隔板和球放在一起,从中选m-1个做隔板 $C_{n+m…

定义 bell数即一个集合划分的数目 示例 前几项的bell数列为 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975 ,... 求值方法 1.bell数适合递推公式 2.每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和   3.用一下方法可以构造一个bell三角形(Aitken阵列或Peirce三角形) 1)第一行第一列是1 2)对于n>1,第n行第一列等于上一行的最后一个数 3)对于n>1,m>1,第n行第m列=第n行…

题目链接: D. Symmetric and Transitive time limit per test 1.5 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Little Johnny has recently learned about set theory. Now he is studying binary relations. You've probabl…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2512 题目大意:因为长期钻研算法, 无暇顾及个人问题,BUAA ACM/ICPC 训练小组的帅哥们大部分都是单身.某天,他们在机房商量一个绝妙的计划"一卡通大冒险".这个计划是由wf最先提出来的,计划的内容是,把自己的联系方式写在校园一卡通的背面,然后故意将自己的卡"遗失"在某处(如水房,TD,食堂,主M....)他们希望能有MM看到他们遗失卡,能主动跟他们联系,这样就…

卡特兰数 Catalan数 ( ACM 数论 组合 ) Posted on 2010-08-07 21:51 MiYu 阅读(13170) 评论(1)  编辑 收藏 引用 所属分类: ACM ( 数论 ) .ACM_资料 .ACM ( 组合 ) 维基百科资料: 卡塔兰数 卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列.由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为                       另类递归式:  h(n)=((4*…

HDU 1068 :题目链接 题意:一些男孩和女孩,给出一些人物关系,然后问能找到最多有多少个人都互不认识. 转换一下:就是大家都不认识的人,即最大独立集合 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <math.h> #define init(a) memset(a,…

Dolls Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 869 Accepted Submission(s): 403 Problem Description Do you remember the box of Matryoshka dolls last week? Adam just got another box of dolls…

Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2该递推关系的解为:h(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3,...(其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数) 问题描…

看到了匹配,第一个想到了用正则表达式,哈哈,果然很方便.不过正则表达式高深莫测!我还没有研究明白啊..目前学了点皮毛.代码如下: <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/199…

Kafka-分区数-备份数-如何设置-怎么确定-怎么修改 kafka partition 数量 更新_百度搜索 kafka重新分配partition - - CSDN博客 如何为Kafka集群选择合适的Partitions数量-优化问答-云客网SEO众包服务平台 如何决定kafka集群中话题的分区的数量 - CSDN博客 [原创]如何确定Kafka的分区数.key和consumer线程数 - huxihx - 博客园 如何决定kafka集群中话题的分区的数量_百度知道 kafka --repli…

/** 题目:Guardian of Decency UVALive - 3415 最大独立集=结点数-最大匹配数 老师带大学生旅游 链接:https://vjudge.net/problem/UVALive-3415 题意:老师带学生去旅游,要求从n个学生中选出一些学生,满足任意两个学生至少要满足下面的四条中的一条. 1,身高相差大于40cm 2,性别相同 3,最喜欢的音乐不同类型 4,最喜欢的体育比赛相同类型 输出可以挑选的最多学生人数. 思路:最大独立集做法. 选出来的学生必须满足上面四个…

题目链接: Problem  2198  快来快来数一数 题目描述: 给出n个六边形排成一排,a[i]代表i个六边形能组成的生成树个数,设定s[i]等于a[1]+a[2]+a[3]+....+a[i-1]+a[i],问s[n]为多少? 解题思路: n取值范围[1, 1018],打表内存不够,然后就要考虑快速幂咯!纳尼!!!!快速幂写出来竟然超时,敢信?果然还是见题太少了.(GG) 对于a[n] = 6*a[n-1] - a[n-2],可以很明显看出. 然后求和的时候就要化简一番了,但是并不是很难…

2412: 帮警长数一数[循环.分支简单综合] 时间限制: 1 Sec  内存限制: 64 MB 提交: 323  解决: 169 题目描述 黑猫警长在犯罪现场发现了一些血迹,现已经委托检验机构确定了血型,需要统计各种血型的样本数目. 输入 血型序列(A/B/O/C,C代表AB型血,输入以X结束) 输出 各种血型的数量 样例输入 ABCAOCOAOOBX 样例输出 A:3 B:2 O:4 AB:2 迷失在幽谷中的鸟儿,独自飞翔在这偌大的天地间,却不知自己该飞往何方-- #include <std…

Catalan数——卡特兰数 今天阿里淘宝笔试中碰到两道组合数学题,感觉非常亲切,但是笔试中失踪推导不出来后来查了下,原来是Catalan数.悲剧啊,现在整理一下 一.Catalan数的定义令h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2该递推关系的解为:h(n) = C(2n-2,n-1)/n,n=1,2,3,...(其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数) 问题描…

前言 如何计算年龄?我的第一直觉做法:(当前时间戳 - 出生时的时间戳)/ (365*86400)  所得结果向下取整.后来发现这种做法获得的结果不准确,不是多了一岁就是少了一岁,不能简单粗暴的这么处理,只能把相差的年数月数天数精确的算出来.我一开始以为这个很简单,这个问题不值得记录下来,后来发现不是这么一回事,实现起来没有那么顺利,对我而言. 闰年 要计算2个日期之间的相差的时间,肯定需要知道闰年是咋回事.地球绕太阳公转一圈的时间即为公历一年的时间,地球公转花的时间大概是365天5小时48分,…

题目 权限题QAQ 题解 超级卡特兰数/施罗德数 CODE #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1000005; const int mod = 1e9 + 7; int inv[MAXN], f[MAXN], n; int main () { scanf("%d", &n); inv[0] = inv[1] = f[0] = f[1] = 1; for(int i = 2;…