求 sigma i由0-k C(n,i) 利用Lucas定理+整除分块将C(n/p,i/p)利用i/p分块,得到k/p-1个整块(p-1)和一个小块(k%p) 最后得到式子 F(n,k)=F(n/p,k/p-1)*F(n%p,p-1)+C(n/p,k/p)*F(n%p,k%p); 写代码时将F编写成类似与Lucas的递归程序 F(int n,int m)   if(k<0) return 0; if(n==0&&k==0) return 1; Lucas             if…

BZOJ4591 并不会写的组合数学. 我们设$f(n, k) = \sum_{i= 0}^{k}\binom{n}{i}$,那么每一个询问要求的就是$f(n, k)$. 发现$f(i, j)$其实可以递推: $f(i, 0) = 1$ $f(i, j) = f(i, j - 1) + \binom{i}{j}$ 看上去没什么用处,但是我们还有$Lucas$定理. $f(n, k) = \sum_{i = 0}^{k}\binom{n}{i} \ (Mod\ P) \ =\sum_{i = 0}…

[模板]卢卡斯定理/Lucas 定理 题目链接:luogu P3807 题目大意 求 C(n,n+m)%p 的值. p 保证是质数. 思路 Lucas 定理内容 对于非负整数 \(n\),\(m\),质数 \(p\),有: \(C_m^n\equiv \prod\limits_{i=0}^kC_{m_i}^{n^i}(\bmod\ p)\) 其中 \(m=m_kp^k+...+m_1p+m_0\),\(n=n_kp^k+...+n_1p+n_0\).(其实就是 \(n,m\) 的 \(p\) 进…

一句话题意:G 的 sigma d|n  C(n d) 次幂  mod 999911659 (我好辣鸡呀还是不会mathjax) 分析: 1.利用欧拉定理简化模运算 ,将上方幂设为x,则x=原式mod 999911658. 2.发现幂的前半部分太大无法直接算,又因为999911658 可分解为 2 3 4679 35617 四个质数 3.利用中国剩余定理可分别计算 x=a1(mod m1=2) ...最后利用它统计出x 4.快速幂将答案计算 #include<bits/stdc++.h> #d…

[luogu P2633] Count on a tree 题目描述 给定一棵N个节点的树,每个点有一个权值,对于M个询问(u,v,k),你需要回答u xor lastans和v这两个节点间第K小的点权.其中lastans是上一个询问的答案,初始为0,即第一个询问的u是明文. 输入输出格式 输入格式: 第一行两个整数N,M. 第二行有N个整数,其中第i个整数表示点i的权值. 后面N-1行每行两个整数(x,y),表示点x到点y有一条边. 最后M行每行两个整数(u,v,k),表示一组询问. 输出格式…

M_sea:这道题你分析完后就是一堆板子 废话 理解完题意后,我们要求的东西是\(G^s(s=\sum_{d|n} \binom{n}{d})\) 但是这个指数\(s\)算出来非常大,,, 我们可以利用费马小定理 \(a^{(p-1)}\equiv1(mod\ p)(gcd(a,p)=1)\) 由此我们可以得到\(G^s \equiv G^{s\ mod\ (p-1)}(mod\ p)\) 组合数部分可以使用\(Lucas\)定理求解 但是,本题的\(mod-1\)不是一个质数,它可以质因数分解…

[luogu P2294] [HNOI2005]狡猾的商人 题目描述 输入输出格式 输入格式: 从文件input.txt中读入数据,文件第一行为一个正整数w,其中w < 100,表示有w组数据,即w个账本,需要你判断.每组数据的第一行为两个正整数n和m,其中n < 100,m < 1000,分别表示对应的账本记录了多少个月的收入情况以及偷看了多少次账本.接下来的m行表示刁姹偷看m次账本后记住的m条信息,每条信息占一行,有三个整数s,t和v,表示从第s个月到第t个月(包含第t个月)的总收入…

数论入门2 另一种类型的数论... GCD,LCM 定义\(gcd(a,b)\)为a和b的最大公约数,\(lcm(a,b)\)为a和b的最小公倍数,则有: 将a和b分解质因数为\(a=p1^{a1}p2^{a2}p3^{a3}...pn^{an},b=p1^{b1}p2^{b2}p3^{b3}...pn^{bn}\),那么\(gcd(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{min(ai,bi)},lcm(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{max(ai,bi)}\)(0和任何…

Lucas–Kanade光流算法是一种两帧差分的光流估计算法.它由Bruce D. Lucas 和 Takeo Kanade提出.         光流(Optical flow or optic flow)是一种运动模式,这种运动模式指的是一个物体.表面.边缘在一个视角下由一个观察者(比如眼睛.摄像头等)和背景之间形成的明显移动.光流技术,如运动检测和图像分割,时间碰撞,运动补偿编码,三维立体视差,都是利用了这种边缘或表面运动的技术.       有序的图像可以估计出二维图像的瞬时图像速率或离…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 Lucas定理用来求大组合数对一个质数取模的值,不大于10^5用逆元,大于10^5就用Lucas转化成10^5以内,如果不是质数还要用扩展Lucas Lucas(n,m,p) = C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) #include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using names…

Description LMZ有n个不同的基友,他每天晚上要选m个进行[河蟹],而且要求每天晚上的选择都不一样.那么LMZ能够持续多少个这样的夜晚呢?当然,LMZ的一年有10007天,所以他想知道答案mod 10007的值.(1<=m<=n<=200,000,000) Input   第一行一个整数t,表示有t组数据.(t<=200)   接下来t行每行两个整数n, m,如题意. Output T行,每行一个数,为C(n, m) mod 10007的答案. 思路: 不想说什么,标准…

[基本解题思路] 将n个相同的元素排成一行,n个元素之间出现了(n-1)个空档,现在我们用(m-1)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把n个元素隔成有序的m份,每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1个.2个.3个.4个.….),这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法,这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法. [基本题型的变形(一)] 题型:有n个相同的元素,要求分到m组中,问有多少种不同的分法? 解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”…

1.Lucas定理 首先给出式子:\(C_n^m\%p = C_{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}^{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor} * C_{n\%p}^{m\%p}\% p\),其中p为质数. 这里给出证明--证明是我在luogu上看到的lance1ot大佬的证明,个人认为是写的很好的,在此还要做一下补充. 首先,对于质数p,可以保证\(C_p^i(1 <= i <= p-1) \equiv 0(mod\ p)\),这个比较显然,因为组合数一定是整…

拓展Lucas是解决大组合数取模非质数(尤其是含平方因子的合数)问题的有力工具... 首先对模数质因数分解,把每个质因子单独拎出来处理答案,然后用中国剩余定理(excrt)合并 问题转化为,对于每个质因子p,求$C_{n}^{m}(mod\;p^k)$ 把$C_{n}^{m}$展开成$\frac{n!}{m!(n-m)!}$,发现上下的阶乘里,都可能有质因子p,把它们从阶乘里提取出来,额外求出$n!$里p的数量,减掉$m!$和$(n-m)!$里p的数量,再乘回答案里 剩余的部分就是$n!$,$m…

模板题 在数论中,Lucas定理用于计算二项式系数\({\tbinom {m}{n}}\)被质数\(p\)除的所得的余数. 描述 设\(p\)为素数,\(a,b\in N_+\),且 \[a=a_kp^k+a_{k-1}p^{k-1}+\cdots+a_1p+a_0\] \[b=b_kp^k+b_{k-1}p^{k-1}+\cdots+b_1p+b_0\] 这里\(0\leq a_i,b_i\leq p-1\bigwedge a_i,b_i\in Z(i=0,1,2,3,\cdots,k)\)…

luogu 这里的组合数显然要用\(\text{lucas}\)定理来求,所以考虑\(\text{lucas}\)定理的本质,即把\(n,m\)分别拆分成\(p\)进制串\(\{a\}\{b\}\),然后\(\binom{n}{m}\mod p=\prod_i \binom{a_i}{b_i}\mod p\) 这题里\(p=2\),那么最后的\(\binom{n}{m}\)要为\(1\),当且仅当\(m\)的二进制串每一位\(\le n\)二进制串的对应位,这相当于\(n\ \&\)(按位与)\…

洛谷模板题面:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4720 扩展卢卡斯被用于解决模数为合数情形下的组合数问题. 首先我们把模数mod质因数分解,解决模每个素数的幂意义下的组合数这样一个子问题,最后用crt把他们合并到一起. 那么我们现在要解决这样一个问题: \[ C(n,m) \quad mod \quad p^k \] 其中p为质数. \(p^k\)可能很大,而且性质与p不同,使用单纯的lucas解决肯定是不行了. 我们考虑把组合数拆成阶乘的形式,发现…

lucas及其拓展 模板题 洛谷 P4720 本文侧向结论和代码实现, 推导请转至lucas定理及其拓展的推导 https://blog.csdn.net/yuyilahanbao/article/details/100568285 lucas定理 请阅读lucas定理 https://blog.csdn.net/yuyilahanbao/article/details/100550317 拓展lucas的结论 (nm)≡pk1−k2−k3×b1×b2−1×b3−1×cu1−u2−u3×k1!k…

题目描述(题目链接:https://www.luogu.org/problem/P1481) 风之子刚走进他的考场,就…… 花花:当当当当~~偶是魅力女皇——花花!!^^(华丽出场,礼炮,鲜花) 风之子:我呕……(杀死人的眼神)快说题目!否则……-_-### 花花:……咦好冷我们现在要解决的是魔族的密码问题(自我陶醉:搞不好魔族里面还会有人用密码给我和菜虫写情书咧,哦活活,当然是给我的比较多拉*^_^*).魔族现在使用一种新型的密码系统.每一个密码都是一个给定的仅包含小写字母的英文单词表,每个单…

Lucas定理 先上结论: 当p为素数: \(\binom{ N }{M} \equiv \binom{ N/p }{M/p}*\binom{ N mod p }{M mod p} (mod p)\) 证明:令 \(s=\lfloor \frac{n}{p} \rfloor\),\(q=n\bmod p\),\(t=\lfloor \frac{m}{p} \rfloor\),\(r=m \bmod p\). 需证明 \(\binom{sp+q}{tp+r}\equiv \binom{s}{t}\…

引入: 组合数C(m,n)表示在m个不同的元素中取出n个元素(不要求有序),产生的方案数.定义式:C(m,n)=m!/(n!*(m-n)!)(并不会使用LaTex QAQ). 根据题目中对组合数的需要,有不同的计算方法. (1)在模k的意义下求出C(i,j)(1≤j≤i≤n)共n2 (数量级)个组合数: 运用一个数学上的组合恒等式(OI中称之为杨辉三角):C(m,n)=C(m-1,n-1)+C(m-1,n). 证明: 1.直接将组合数化为定义式暴力通分再合并.过程略. 2.运用组合数的含义:设m…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4640 题目大意 \(n\)种物品,其中\(t\)种物品是有个数限制的,第\(i\)种限制为\(b_i\),求选出\(m\)个物品的方案数\(\% p\)的值 \(1\leq n,m,b_i\leq 10^9,0\leq t\leq 15,p\in[1,10^5]\cap Pri\) 解题思路 看上去就很\(\text{OGF}\)的题目? 对于有限制的物品为\(f(x)=\frac{1-x^{b_i+1}}{…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4345 题目大意 \(T\)组询问,给出\(n,k\)求 \[\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i} \] 对\(2333\)取模的值 \(1\leq T\leq 10^5,1\leq k\leq n\leq 10^{18}\) 解题思路 因为模数很小,可以考虑用\(Lucas\)定理,然后考虑怎么优化复杂度. 对于给出的\(n,k\)分成两个部分,第一部分是由\(k\)前面若干段长度为\(P\)…

题目链接 DP 题目大意:给定一个数n,求1~n这n个整数的所有排列中有多少个波动数列,将这个数量%p后输出. 什么是波动数列呢?顾名思义,就是一个大.一个小.一个大.一个小--或者是一个小.一个大.一个小.一个大--像"5,2 ,3,1,4"和"2,3,1,5,4"这样的数列就叫做波动数列,题目里也很形象地说了. 首先,关于波动数列,我们可以推出两条性质: 性质一:在一个波动数列中,若一个数x与另一个数(x+1)不相邻,那么交换这两个数的位置就可以得出一个新的波动…

传统上,css就是用来对网页进行布局和渲染网页样式的.然而,css3的出现彻底打破了这一格局.了解过css3的人都知道,css3不但可以对网页进行布局和渲染样式,还可以绘制一些图形.对元素进行2D和3D变换.从而可以替代一些以前必须使用图片实现的功能,大大加快了网页的响应速度.例如,css3可以实现渐变背景.绘制圆角和一些小图标等! 今天,就来说说如何用css3绘制一些小图标和css3中的变形.建议用chrome浏览器查看,这里为了方便大家理解,暂时没有写其他浏览器前缀!  一.div和css3…

CSS3在CSS2.1的基础上新增加了许多属性,这里选择了较常用的一些功能与大家分享,帮助文档中有很详细的描述,可以在本文的示例中获得帮助文档. 一.阴影 1.1.文字阴影 text-shadow<length>①: 第1个长度值用来设置对象的阴影水平偏移值.可以为负值 <length>②: 第2个长度值用来设置对象的阴影垂直偏移值.可以为负值 <length>③: 如果提供了第3个长度值则用来设置对象的阴影模糊值.不允许负值 <color>: 设置对象的阴…

动态绑定的GridView由于列数不固定,而列又太多,这样设置GridView固定宽度就不能满足需求了.为此整理了两种方法来达到GridView自适应列宽不变形的效果. //在GridView的行数据绑定完的事件中设置 protected void gvObjectList_RowDataBound(object sender, GridViewRowEventArgs e) { if (e.Row.RowType == DataControlRowType.DataRow || e.Row.R…

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037 Lucas定理模板. 现在才写,noip滚粗前兆QAQ #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; int jc[100003]; int p; int ipow(int x, int b) { ll t = 1, w = x;…

/*对元素进行改变(移动.变形.伸缩.扭曲)*/ .wrapper{ margin:100px 100px auto auto; width:300px; height:200px; border:2px dotted blue; } .wrapper div{ width:300px; height:200px; background:red; color:blue;/*设置文本颜色 如果有的话*/ text-align:center;/* 设置文本位置 如果子元素有的话 */ line-he…