bzoj 4176 Lucas的数论 和约数个数和那题差不多.只不过那个题是多组询问,这题只询问一次,并且 \(n\) 开到了 \(10^9\). \[ \begin{align*} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N f(ij)&= \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{x|i} \sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\\&= \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{x|i} \sum_{y|j} \sum_{d|g…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

4176: Lucas的数论 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)\) \(n \le 10^9\) 代入\(\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]\) 反演得到 \[ \sum_{d=1}^n \mu(d) (g(\frac{n}{d}))^2 \\ g(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) \] 杜教筛\(\mu \ \sigma_0\)的前缀和 当然和前面…

4176: Lucas的数论 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MB Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Ou…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4176 题解: 莫比乌斯反演,杜教筛 首先有这么一个结论: 令d(n)表示n的约数的个数(就是题目中的f(n)),则有 $$d(nm)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]$$ ●BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和也用到了这个东西. 那么就下来接直接进行求ANS的式子的推导: $$\begin{aligned}ANS&=\sum_{n=1}^{N…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2…

题面 设d(x)d(x)d(x)为xxx的约数个数,给定NNN,求 ∑i=1N∑j=1Nd(ij)\sum^{N}_{i=1}\sum^{N}_{j=1} d(ij)i=1∑N​j=1∑N​d(ij) N<=109N<=10^9N<=109 题目分析 有这样一个结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​[(x,y)==1]这道题就是下面这道题的数据增强版,那么这个结论的证明…

题意概述:求,n<=10^9,其中d(n)表示n的约数个数. 分析: 首先想要快速计算上面的柿子就要先把d(ij)表示出来,有个神奇的结论: 证明:当且仅当a,b没有相同的质因数的时候我们统计其贡献,可以发现所有被统计的(a,b)乘积的质因数分解形式正好和i,j的所有因数的质因数分解形式一一对应,不重不漏(对于b中质因数指数不为0对应的就是i中指数+b中指数的情况,对于b中质因数指数为0的情况对应i中指数的情况). 然后就有如下的推导: 对于这个式子,整个数字分段来算,n/d一共sqrt(n)种…

首先由这样一个结论: \[ d(ij)=\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1] \] 然后推反演公式: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1] \] \[ \sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)==1]\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor\left \lfloor \frac{n}{q} \right…

Lucas的数论 reference 题目在这里> < Pre 数论分块 默认向下取整时. 形如\(\sum\limits_{i=1}^n f\left( \frac{n}{i}\right)\)的求和,由于\(\frac{n}{r}\)的值只有\(\sqrt{n}\)个,可以直接数论分块上. 题解 记原式为\(S(n)\),有 \[S(n)=\sum_{i\rightarrow n}\sum_{j\rightarrow n}[\gcd{i,j}=1]\frac{n}{i}\frac{n}{j…

Lucas的数论(math) 题目描述 去年的今日,Lucas仍然是一个热爱数学的孩子.(现在已经变成业界毒瘤了> <) 在整理以前的试题时,他发现了这么一道题目:求\(\sum\limits_{i=1}^nd(i)\) 随着毒瘤本性的爆发,Lucas灵机一动,编出了一道题: \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nd(ij)\]. 其中\(d(x)\)是一个函数表示\(x\)的约数个数.Lucas脑补了一下,发现这个问题并不单纯- -,于是你只需要输出…

[BZOJ4176]Lucas的数论 Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sam…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2 Sample Output 8 HINT 对于100%的数据n <= 10^9. 题解: 解锁新技能:杜教筛. 再复习一下: 若$F(n)=\s…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2…

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long int64; ; #define maxn 2000005 int top,tot,d[maxn],prim[maxn],mu[maxn]; bool vis[maxn]; int6…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2 Sample…

首先假设输入的是n,m 我们就是要求m^(Σ(c(n,i) i|n)) mod p 那么根据费马小定理,上式等于 m^(Σ(c(n,i) i|n) mod  (p-1)) mod p 那么问题的关键就是求 Σ(c(n,i) i|n) mod  (p-1)了 那么如果P是素数的话,我们可以用lucas定理来快速求出来组合数,这道题的p-1是 非素数,那么我们分解质因数pi,假设c(n,i) i|n为X,那我们求出来X mod pi=ai,这个是 符合lucas定理的,那么我们可以得到质因子数个式子…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257 \( \sum\limits_{i=1}^{n}k\%i = \sum\limits_{i=1}^{n}k-\left \lfloor k/i \right \rfloor *i \) 然后数论分块做即可,注意 \( n>k \) 时右边界的取值. 代码如下: #include<cstdio> #include<cstring> #include<algor…

题目 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目"求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N",其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. 输入格式 第一行一个整数n. 输出格式 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. 输入样例 2 输出样例 8 提示 对于100%的数据…

思路: 枚举约数 套个裸的Lucas+CRT就完了... //By SiriusRen #include <cmath> #include <cstdio> using namespace std; #define int long long ,N=; void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ ,y=;return;} exgcd(b,a%b,x,y); int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y; } int CRT…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值:   其中 表示ij的约数个数. 他发现答案有点大,只需要输出模1000000007的值. Input 第一行一个整数n. Output 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2 Sample…

枚举答案, 然后O(N^2)枚举野人去判他们是否会在有生之年存在同山洞. 具体做法就是: 设第x年相遇, 则 Ci+x*Pi=Cj+x*Pj (mod M), 然后解同余方程. 复杂度应该是O(ans*N^2log(ans)), 但是实际远小于....能够AC -------------------------------------------------------------------- #include<cstdio> #include<algorithm> #inclu…

(x+1)(x-1) mod N = 0, 枚举N的>N^0.5的约数当作x+1或者x-1... ------------------------------------------------------------------------------ #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath>   using namespace std;   type…

题意:求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij),d是约数个数函数\) 题解:首先有一个结论\(d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(i,j)==1]\) 那么\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|(i,j)}\mu(d)\) 枚举d,\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d|i,d|j}\mu(d)d(\frac{i}{d})d(\frac{j}{d})=\s…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4772 题解:https://blog.csdn.net/Dream_Lolita/article/details/82314788 关于 \( g[p^t] \) 的值是多少,提供自己的见解: 首先,和 \( p^t \) 互质的数有 \( p^{t-1} \) 段,每段有 \( p-1 \) 个,模 p 等于 1 ~ p-1 . 那么和 \( p^t \) 做 gcd 的就是 \( p^…

2277: [Poi2011]Strongbox Time Limit: 60 Sec  Memory Limit: 32 MBSubmit: 527  Solved: 231[Submit][Status][Discuss] Description Byteasar is a famous safe-cracker, who renounced his criminal activity and got into testing and certifying anti-burglary dev…

Description 求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j. Input 第一行两个数n,m. Output 一个整数表示答案mod 19940417的值 Sample Input 3 4 Sample Output 1 样例说明答案为(3 mod 1)*(4 mod 2)+(3 mod 1) * (4 mod 3)+(3 mod 1) * (4 mod 4) + (3 mod 2) * (4 mod 1) + (3 mod…

读了一下题就会很愉快的发现,这个数列是关于p的幂次的斐波那契数列,很愉快,然后就很愉快的发现可以矩阵快速幂一波,然后再一看数据范围就......然后由于上帝与集合对我的正确启示,我就发现这个东西可以用欧拉函数降一下幂,因为两个数一定互质因此不用再加一个phi(m),于是放心的乘吧宝贝!! #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <iostream> #include &…

求$$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f(ij)$$,其中$f(x)$表示$x$的约数个数,$0\leq n\leq 10^9$,答案膜$10^9+7$ 题解 首先有个妙不可言(被hjw污染了)的结论:$$f(nm)=\sum\limits_{i|n}\sum\limits_{j|m}[gcd(i,j)=1]$$ 证明:咕 那么大力推一波式子: $$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f(ij)$…

Description: 求$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} d(i \times j)$ $d(i)$表示$i$的约数个数和.$n \leq 10^9$ 废话: 好久没有做反演了感觉自己都不会了... 做了一遍发现自己真的不会了 手推了不知道多久终于推出了式子中间还错了一遍打了一半发现过不去样例 题解: 标签都知道了那也就没什么好说的了,直接上式子(类比<约数个数和>那道题)(以下分数皆表示整除向下取整) $\sum\limits_{i…