Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法.它利用了费马小定理,即:如果p是质数,且a,p互质,那么a^(p-1) mod p恒等于1.也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1.那么根据逆否命题,对于一个p,我们只要举出一个a(a<p)不符合这个恒等式,则可判定p不是素数.Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数. 但是每次尝试过程中还做了一个优化操作,以提高用少量的a检测出p不是素数的概率.这个优化叫做…

普通的素数测试我们有O(√ n)的试除算法.事实上,我们有O(s*log³n)的算法. 下面就介绍一下Miller_Rabbin算法思想: 定理一:假如p是质数,且(a,p)=1,那么a^(p-1)≡1(mod p).即假如p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1.(费马小定理) 定理二:如果p是一个素数,那么对于x(0<x<p),若x^2 mod p 等于1,则x=1或p-1. 它利用了费马小定理,即:如果p是质数,且a,p互质,那么a^(p-1) mod p恒等于…

Pollard_rho算法进行质因素分解要依赖于Miller_Rabbin算法判断大素数,没有学过的可以看一下,也可以当成模板来用 讲一下Pollard_rho算法思想: 求n的质因子的基本过程是,先判断n是否为素数,如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列,对于每个生成的随机数判断与n是否互质,如果互质则尝试下一个随机数.如果不互质则将其公因子记作p,递归求解p和n/p的因子.如果n是素数则直接返回n为其素因子. Pollard rho算法的原理就是通过某种方法得到两个整数a和b,而…

大家都知道RSA的加密的安全性就是能够找到一个合适的大素数,而现在判断大素数的办法有许多,比如Fermat素性测试或者Miller-Rabin素性测试,而这里我用了Miller-Rabin素性测试的算法,具体的理论我写到下面. 算法的理论基础: Fermat定理:若n是奇素数,a是任意正整数(1≤ a≤ n−1),则 a^(n-1) ≡ 1 mod n. 2.  如果n是一个奇素数,将n−1表示成2^s*r的形式,r是奇数,a与n是互素的任何随机整数,那么a^r ≡ 1 mod n或者对某个j…

出于无聊, 打算从头实现一遍RSA算法 第一步, 大素数生成 Java的BigInteger里, 有个现成的方法 public static BigInteger probablePrime(int bitLength, Random rnd) { bitLength是期望生成的素数的二进制位数, rnd是随机数发生器 函数注释表明, 这个方法的返回值为合数的概率为2^-100 生成100个1024位的素数, 耗时13471ms 但是显然我不打算直接使用这个函数, 要做就从最底层做起! 目前的做…

GCDLCM 题目链接(点击) 题目描述 In FZU ACM team, BroterJ and Silchen are good friends, and they often play some interesting games. One day they play a game about GCD and LCM. firstly BrotherJ writes an integer A and Silchen writes an integer B on the paper. The…

外部排序算法相关:主要用到归并排序,堆排序,桶排序,重点是先分成不同的块,然后从每个块中找到最小值写入磁盘,分析过程可以看看http://blog.csdn.net/jeason29/article/details/50474772 hash值算法 1.题目描述 给定a.b两个文件,各存放50亿个url,每个url各占64字节,内存限制是4G,让你找出a.b文件共同的url? 2.思考过程 (1)首先我们最常想到的方法是读取文件a,建立哈希表(为什么要建立hash表?因为方便后面的查找),然后再…

在我们需要判断一个数是否是素数的时候,最容易想到的就是那个熟悉的O(√n)的算法.那个算法非常的简单易懂,但如果我们仔细想想,当n这个数字很大的时候,这个算法其实是不够用的,时间复杂度会相对比较高. 怎么解决呢?我们先来了解一下“费马小定理”.假设我们有一个素数p,且另一个数a和p互素,就可以得到ap-1≡1(mod p).这个定理很巧妙啊,有人就想了,能不能通过费马小定理来判断一个数是否是素数呢?也就是说,当我们判断一个数p是否是素数时,只需要判断ap-1≡1(mod p)是否成立即可.这里的…

算法课有这么一节,专门介绍分治法的,上机实验课就是要代码实现大整数乘法.想当年比较混,没做出来,颇感遗憾,今天就把这债还了吧! 大整数乘法,就是乘法的两个乘数比较大,最后结果超过了整型甚至长整型的最大范围,此时如果需要得到精确结果,就不能常规的使用乘号直接计算了.没错,就需要采用分治的思想,将乘数“分割”,将大整数计算转换为小整数计算. 在这之前,让我们回忆一下小学学习乘法的场景吧.个位数乘法,是背诵乘法口诀表度过的,不提也罢:两位数乘法是怎么做的呢?现在就来一起回忆下12*34吧:    3 …

这几天一直再学习这些内容,也没有发一些博客,现在我觉得差不多了 首先基础是Miller_raibin随机化检测素数,顾名思义,随机化也就是有几率不对,但是很低,适用于大数快速检测,因为大数已经超出了我们打表的范围了 对于这个算法基础是费马小定理 和二次探测定理 1. Fermat定理:若n是奇素数,a是任意正整数(1≤ a≤ n−1),则 a^(n-1) ≡ 1 mod n. 2. 推演自Fermat定理(具体过程我没看懂,Orz), 如果n是一个奇素数,将n−1表示成2^s*r的形式,r是奇数…