计算式 \[ S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n,m) \] \(S(0,0)=1,S(i,0)=0(i>0)\) 组合意义 将\(n\)个不可分辨的小球放入\(m\)个不可分辨的盒子中,且每个盒子非空 那么上面的式子就类似与\(dp\)的转移了 性质 1.\(S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\dbinom{m}{i}(m-i)^n\) 证明:考虑组合意义 先将盒子变成有序,最后除以\(m!\)即可 第二类斯特林数保障每个盒子非空,故考虑容斥,

定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 \(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) 由于一共有 \(n\) 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su

当执行update语句时,如果受影响的行数是0,返回的也是true. $conn = new mysqli(); $sql = "update ..."; $query = $conn->query($sql); var_dump($query); //此时,如果update   sql语句执行成功,但是影响行数为0,$query是true. 影响行数: $conn->affected_rows; // 如果执行sql语句出错,返回-1, =================

https://vjudge.net/problem/HDU-4625 题意 给出一颗树,边权为1,对于每个结点u,求sigma(dist(u,v)^k). 分析 贴个官方题解 n^k并不好转移,于是用第二类斯特林数转化一下,这样可以预处理第二类斯特林数,而sigma(C(dist(u,v),i))则利用C(n,x)=C(n-1,x)+C(n-1,x-1)来进行树DP转移得到. 设dp[u][k]=sigma(C(dist(u,v),k)),则dp[u][k]=dp[v][k]+dp[v][k-

题目链接 对于单独一个点,我们枚举它的度数(有多少条边)来计算它的贡献:\[\sum_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\] 每个点是一样的,所以\[Ans=n\cdot 2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 考虑如何计算\(\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\). 然后...dalao看到\(i^k\)就想起了第二类斯特林数: \(S(n,m

题意 给你一个数 \(n\) 求这样一个函数的值 : \[\displaystyle f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i} \begin{Bmatrix} i \\ j \end{Bmatrix} \times 2^j \times (j!)\] \((1 \le n \le 100000)\) 题解 这个题直接划式子 然后 \(NTT\) 就行了qwq 需要知道一个容斥求斯特林数的东西 \[\displaystyle \begin{Bmatrix} n \\ m

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1

题目链接 \(Description\) 求\[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)\times 2^j\times j!\mod 998244353\] 其中\(S(i,j)\)为第二类斯特林数(\(S(n,m)\)即在\(m\)个无区别盒子中放\(n\)个不同小球的方案数). \(Solution\) (不知博客园markdowm怎么回事就是显示格式错误) 另:第二类斯特林数 总结. //7988kb 2340ms #include <cstdio> #includ

注意这里讲的是斯特林数而非斯特林公式. 斯特林数分两类:第一类斯特林数 和 第二类斯特林数. 分别记为. 首先描述第二类斯特林数. 描述为:将一个有n件物品的集合划分成k个非空子集的方法数. 比如集合{1,2,3,4}有以下划分: {1,2,3}U{4}   {1,2,4}U{3}   {1,3,4}U{2}   {2,3,4}U{1}  {1,2}U{3,4}   {1,3}U{2,4}  {1,4}U{2,3}. 7个这样的划分. 记为. 那么有一下第二类斯特林数交给你计算. 根据定义,易得

[题意]给定n,求Σi=0~nΣj=1~i s(i,j)*2^j*j!,n<=10^5. [算法]生成函数+排列组合+多项式求逆 [题解]参考: [BZOJ4555][Tjoi2016&Heoi2016]求和-NTT-多项式求逆 $ans=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}s(i,j)*2^j*j!$ 令$g(n)=\sum_{j=0}^{n}s(n,j)*2^j*j!$ 则ans是Σg(i),只要计算出g(i)的生成函数就可以统计答案. g(n)可以理解为将n个数划分

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 给你三个正整数 \(n\),\(a\),\(b\),定义 \(A\) 为一个排列中是前缀最大值的数的个数,定义 \(B\) 为一个排列中是后缀最大值的数的个数,求长度为 \(n\) 的排列中满足 \(A = a\) 且 \(B = b\) 的排列个数.\(n \le 10^5\),答案对 \(998244353\) 取模. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 三个整数n,a,b \(\color{#0066ff}{输出格式}\

link \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathrm{sgcd}(i,j)^k=\sum_{p=1}^ns(p)^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p]=\sum_{p=1}^ns(p)^k(-1+2\sum_{i=1}^{n/p}\varphi(i))\) 由于 \(n\) 的范围是 \(10^9\) ,对于后面的我们最多只有根号种取值,根据套路,可以杜教筛/Min_25筛一波. 至于前面的东西,我们可以考虑Min_25筛的过程:

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2159 学习材料:https://blog.csdn.net/litble/article/details/80882581 https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Stirling-Number.html https://blog.csdn.net/qq_

Description Crash 小朋友最近迷上了一款游戏--文明5(Civilization V).在这个游戏中,玩家可以建立和发展自己的国家,通过外交和别的国家交流,或是通过战争征服别的国家.现在Crash 已经拥有了一个N 个城市的国家,这些城市之间通过道路相连.由于建设道路是有花费的,因此Crash 只修建了N-1 条道路连接这些城市,不过可以保证任意两个城市都有路径相通.在游戏中,Crash 需要选择一个城市作为他的国家的首都,选择首都需要考虑很多指标,有一个指标是这样的: 其中S(

题目链接:http://codeforces.com/gym/101147/problem/G G. The Galactic Olympics time limit per test 2.0 s memory limit per test 64 MB input galactic.in output standard output Altanie is a very large and strange country in Mars. People of Mars ages a lot. So

题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4372 Count the Buildings Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 2509    Accepted Submission(s): 815 Problem Description There are N buildings standin

题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4045 Machine scheduling Time Limit: 5000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1907    Accepted Submission(s): 702 Problem Description A Baidu’s engineer needs to an

题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-2512 一卡通大冒险 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 2572    Accepted Submission(s): 1741 Problem Description 因为长期钻研算法, 无暇顾及个人问题,BUAA ACM/ICPC 训练小组的帅哥们

传送门 首先,题目所求为\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即对于每个点\(i\),枚举它的度数,然后计算方案.因为有\(n\)个点,且关于某个点连边的时候剩下的边都可以随便连,所以有前面的两个常数 所以真正要计算的是\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 根据第二类斯特林数的性质,有\[i^k=\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\] 然后带入,得\[\s

题目链接:https://arc096.contest.atcoder.jp/tasks/arc096_c Time limit : 4sec / Memory limit : 512MB Score : 900 points Problem Statement In "Takahashi-ya", a ramen restaurant, basically they have one menu: "ramen", but N kinds of toppings a

题目链接: http://codeforces.com/problemset/problem/140/E 题意: 圣诞树上挂彩球,要求从上到下挂\(n\)层彩球.已知有\(m\)种颜色的球,球的数量不限. 要求结果对\(p\)取模.然后给你\(n\)个数,表示第 \(i\) 根绳长 \(l_i\),也就是要挂 \(l_i\) 个球. \(1.\)要求每根绳上相邻彩球颜色不同. \(2.\)相邻的绳子上挂的彩球种类不能相同. 题解: 我们先解决子问题,先考虑第 \(i\) 层上能放多少个球,\(a