城市规划 时间限制:40s      空间限制:256MB 题目描述 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.  刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.  好了, 这就

题目大意 一行有\(n\)个球,现在将这些球分成\(k\) 组,每组可以有一个球或相邻两个球.一个球只能在至多一个组中(可以不在任何组中).求对于\(1\leq k\leq m\)的所有\(k\)分别有多少种分组方法. 答案对\(998244353\)取模. \(n\leq {10}^9,m<2^{19}\) 题解 因为\(k>n\)的项都是\(0\),所以我们钦定\(m\leq n\) 考虑DP. 记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个球分为\(j\)组的方案数. \[ f_{i,j}=f

题解 分治FFT 设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数,\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数 经过简单的推导(枚举\(1\)所在的连通块大小),有: \[ f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}} \] \[ \begin{align} g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\ &=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-

多项式 ln 定义 \(给一多项式F(x),求G(x)\equiv lnF(x)\pmod x^n\) 前置知识 \(不定积分\) \(微分\) \(多项式乘法逆\) 推式子: \[\because G(x)\equiv lnF(x)\pmod x^n\] \[又\because lnF(x)=\int dlnF(x)\] \[=\int (lnF(x))'dx\] \[=\int \frac{F'(x)}{F(x)}dx\] 步骤: \(1.求F(x)的导数\) \(2.求F(x)的逆F_r(

LINK:多项式对数函数 多项式 ln 如题 是一个模板题.刚学会导数 几个知识点 \([f(x)\cdot g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)',f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)\) 求B(x)=ln A(x) 没啥好办法 同时对两边同时求导. \(B'(x)=[lnA(x)]'=ln'(A(x))A'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}\) 然后对于后者分子直接逐项求导分母求逆. 最后就可以求出B'(x)了.然后利用不定积分来对这个东西进行积分求出原多项式

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295 题目大意 求所有\(n\)个点的弱联通\(DAG\)数量. \(1\leq n\leq 10^5\) 解题思路 先不考虑弱联通的限制,求\(n\)个点的\(DAG\)数量. 设为\(f_i\),那么有式子 \[f_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)}f_{n-i}(-1)^{i+1} \] 这个式子的意思是说新建一层出度为\(0\)的点,\(\binom{n}{i

题目大意:给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$,满足$f(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+1)$,$g(x)=\prod\limits_{i=1}^{m}(b_i+1)$. 现在给你一个多项式$h(x)$,满足$h(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}(a_ib_j+1)$ 请输出多项式$h$的前$k$项,在模$998244353$意义下进行. 数据范围:$n,m≤10^5$. 我们现在有: $f(x)=\

传送门: http://codeforces.com/problemset/problem/838/C 题解: 如果一个字符串的排列数是偶数,则先手必胜,因为如果下一层有后手必赢态,直接转移过去,不然,就一直耗着,因为是偶数,所以会让后手进入下一层,则后手必输. 排列数是偶数,打表发现\(|s|\)是奇数时,先手必赢,否则后手必赢,接下来尝试归纳这个结论. |s|<=2时显然成立. 对于\(|S|\)奇数,排列个数是奇数时,设a[i]表示第i个字符出现次数,排列个数=\(\binom{|S|}{

题意 题目链接 Sol \(B(x) = \exp(K\ln(A(x)))\) 做完了... 复杂度\(O(n\log n)\) // luogu-judger-enable-o2 // luogu-judger-enable-o2 #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define MP(x, y) make_pair(x, y) #define fi first #define se second #defin

题意 题目链接 Sol 这个不用背XD 前置知识: \(f(x) = ln(x), f'(x) = \frac{1}{x}\) \(f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)\) 我们要求的是\(G(x) = F(A(x)), F(x) = ln(x)\) 可以直接对两边求导\(G'(A(x)) = F'(A(x))A'(x) = \frac{A(x)}{A'(x)}\) 发现这个可以算,只要求个逆就行了. 那么就直接求导之后积分回去,复杂度\(O(nlogn)\) #include<bi

$G(x)=ln(A(x))$ $G'(x)=ln'(A(x))A'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}$     由于求导和积分是互逆的,所以对 $G$ 求积分,即 $G(x)=\int\frac{A'(x)}{A(x)}$ 用求导 + 求逆 + 积分做一下即可 这里给出求导/积分的公式: $\int F(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{a_{i}}{i+1}x^{i+1}$ $d(F(x))=\sum_{i=1}^{n}i\times a_{i}x^{i-1}$    

[题解]P4841 城市规划 P4841 城市规划 超级弱化版本(DP):POJ - 1737 两张图不同当且仅当边的分布不一样的时候,带编号最后乘一个阶乘即可,现在最主要的问题就是"联通"这个条件. 我首先考虑的容斥,"随意连不联通"的方案太好算了,\(2^{n(n-1)/2}\),但是发现不会降低复杂度,因为"联通"和"随意连不联通"不好容斥,他们之间的关系不是简单的关系,所以不行了. 其次考虑DP,仍然发现不行,数据范围

牛顿迭代 若 \[G(F_0(x))\equiv 0(mod\ x^{2^t})\] 牛顿迭代 \[F(x)\equiv F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}(mod\ x^{2^{t+1}})\] 以下多数都可以牛顿迭代公式一步得到 多项式求逆 给定\(A(x)\)求满足\(A(x)*B(x)=1\)的\(B(x)\) 写成 \[A(x)*B(x)=1(mod \ x^n)\] 我们会求\[A(x)*B(x)=1(mod \ x^1)\] 然后我们考虑求\[A

前言 这里的全家桶目前只包括了\(ln,exp,sqrt\).还有一些类似于带余数模,快速幂之类用的比较少的有时间再更,\(NTT\)这种前置知识这里不多说. 还有一些基本的导数和微积分内容要了解,建议不懂的可以先去翻翻高二数学书. 之后多项式算法基本是一环扣一环的,所以前面的看不懂对于后面的理解会造成很大影响. 本博客涉及内容偏浅 Tips 这里是一些我个人的模板书写习惯 习惯相关的问题:默认将读入的\(n\)变为\(2\)的整数次幂形式,目前为止这样的做法都不会影响正确性 正确性相关的问题:

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{

多项式总结&多项式板子 三角/反三角是不可能放的(也不可能真香的 多项式乘法(DFT,FFT,NTT,MTT) 背板子 前置知识:泰勒展开 如果\(f(x)\)在\(x_0\)处存在\(n\)阶导,那么 \[f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^i(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\] 称作\(f(x)\)在\(x_0\)处的泰勒展开. 前置知识:牛顿迭代 有一个\(n-1\)次多项式\(A(x)\),你需要求\(B(x)\)满足\(A(B(x))\equiv 0(

题目链接 https://www.luogu.org/problem/P5564 题解 这题最重要的一步是读明白题. 为了方便起见下面设环长可以是\(1\), 最后统计答案时去掉即可. 实际上就相当于如果只有树没有环,答案就是卡特兰数第\((n-1)\)项.令\(C(x)\)为Catalan数生成函数,\(T(x)\)为这种树的生成函数,则\(T(x)=xC(x)\). 然后环的话可以考虑Burnside引理,首先枚举环长,枚举置换,易得答案为\(\sum^n_{k=1}\frac{1}{k}\

题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 著名的多项式练习题,做法也很多,终于切掉了纪念 首先求一波递推式: 令\(F(n)\)为\(n\)个点的有标号无向连通图的个数,则考虑补集转化为有标号无向不连通图的个数,然后枚举\(1\)号点所在联通块的大小: \[F(n)=2^{n\choose 2}-\sum^{n-1}_{i=1} {n-1\choose i-1} F(i)2^{n-i\choose 2}\] 这样可以做

看了jcvb的WC2015交流课件.虽然没懂后面的复合逆部分,但生成函数感觉受益良多. 指数生成函数 集合中大小为 i 的对象的权值是 \( a_i \) ,该集合的生成函数是 \( \sum\limits_{i>=0} \frac{a_i}{i!} x^i \) 一个重要式子: \( \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{A^i}{i!} = e^A \) .其中 A 可以是一个多项式. 对于有标号对象的计数.可以“拼接”,即 “大小为 i 的集合的带标号方案” 与

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式 多项式乘法 好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数 我们定义虚数单位 \(i\) 为满足 \(x^2=-1\) 的 \(x\). 那么所有的复数都可以表示为 \(z=a+bi\) 的形式,其中 \(a,b\) 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘

zszz,使用 NTT 可以在 \(\mathcal O(n\log n)\) 的时间内求出两个多项式的卷积.以及一个多项式的 \(\text{inv},\ln,\exp,\text{sqrt}\) 等,但是如果模数不是 NTT 模数(譬如 \(10^9+7\))并且复杂度允许 \(\mathcal O(n^2)\) 实现上述操作,那么再使用 \(n\log n\) 的 NTT 优化版多项式全家桶就不合适了,因此我们也要懂得如何暴力 \(n^2\) 递推. 多项式乘法 这个就过于弱智了吧--直接