最近在看CKKS方案,里面的编码/解码用到了n次单位根,感觉基于环上的加密,很多都会用到,现在系统的学习一下! 定义 先看定义: \[z^n=1,(n=1,2,3,...) \] 该方程的根z为n次单位根,就是说这些根是复数! 简单说:n次方根,就是多项式\(x^n-1\)或方程\(x^n-1=0\)在复数域内的n个不同的根,简称单位根 具体来讲,单位根有n次根的有n个:$$z_i=e^{2\pi ki/n },(k=0,1,2,..,n-1)$$ 复数域内:$$x_k=cos(2k\pi/n)

问题描述:对于方程,其中为素数,x,y为整数,且,输出符合条件的x,y. 分析:对于本方程,我们通过费马平方和定理知道,只有奇素数p满足这个条件时才有解. 那么当此方程有解时,解有几个呢?很明显不可能存在解满足x等于y的情况,那么不妨设,那么本方程解唯一. 现在我们就来求满足此条件的x,y,方法分为两步: (1)先找出同余方程的最小正整数解.(关于这个问题我的上一篇文章已经做了细致的分析) (2)对和进行欧几里德辗转相除运算,记每次的余数为,当满足条件时停止运算,此时的就是x 这样就得到了x,那

第一次接触省选的知识点呢!zrf大佬在课堂上讲的非常清楚,但由于本蒟蒻实在太菜了,直接掉线了.今天赶紧恶补一下. 那么这篇博客将分为两块,第一块是FFT的推导和实现,第二块则是FFT在OI上的应用 因为博主是蒟蒻,难免有些写错的地方,还请各位大佬不吝指正. 目标是能够让像博主这样的蒟蒻都能学会FFT(都有耐心看完这篇博客) 一.FFT的推导与实现 1.多项式的表示 最常见的表示方式自然是系数表示 诶诶诶,别走啊,我说清楚点还不行吗?  其实就是我们常见的表达方式 这种表达式的优势在于我们可以用O

自闭集训 Day5 生成函数 一般生成函数 无脑地把序列变成多项式: \[ \{a_i\}\rightarrow A(x)=\sum_{n} a_nx^n \] 形式幂级数 生成函数是一种形式幂级数.我们不关心这个函数的具体的取值,只关心多项式的系数.在需要的时候可以把\(x​\)当成任意值. 例题 求\(\{n^2\}\)的生成函数. 这个--只要知道\(\{{n+k-1\choose k-1}\}\)的生成函数是\(\frac 1 {(1+x)^k}\)就没了. 例题 简单生成函数题,不讲了

题意: 给你n对 b[i], c[i], 让你求a[i],不存在输出-1 b[i] = (a[i] and a[1]) + (a[i] and a[2]) + (a[i] and a[3]) +...+ (a[i] and a[n]); c[i] = (a[i] or a[1]) + (a[i] or a[2]) + (a[i] or a[3]) +...+ (a[i] or a[n]); and 和 or 是按位与 或 思路: (a and b) + (a or b) = (a + b) 证明

问题: Given an array S of n integers, find three integers in S such that the sum is closest to a given number, target.Return the sum of the three integers. You may assume that each input would have exactly one solution.For example, given array S = {-1

B. Remainders Game time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Today Pari and Arya are playing a game called Remainders. Pari chooses two positive integer x and k, and tells Arya k but

描述 W市的交通规划出现了重大问题,市政府下决心在全市的各大交通路口安排交通疏导员来疏导密集的车流.但由于人员不足,W市市长决定只在最需要安排人员的路口安放人员.具体说来,W市的交通网络十分简单,它包括n个交叉路口和n-1条街道,任意一条街道连接两个交叉路口,并且任意两个交叉路口之间都存在一条路径互相连接.经过长期调查结果显示如果一个交叉路口位于W市交通网的最长路径上,那么这个路口必然拥挤不堪,所谓最长路径定义为某条路径p=(v1,v2,v3…vk),路径经过的路口各不相同且城市中不存在长度>k

2756: [SCOI2012]奇怪的游戏 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2925  Solved: 792[Submit][Status][Discuss] Description Blinker最近喜欢上一个奇怪的游戏. 这个游戏在一个 N*M 的棋盘上玩,每个格子有一个数.每次 Blinker 会选择两个相邻的格子,并使这两个数都加上 1. 现在 Blinker 想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数,如果永远不能变成

There are two ways of using the Jacobian matrix to solve kinematics. One is to use the transpose of the Jacobian JT. The other is to calculate the inverse of the Jacobian J-1. J is most likely redundant and non square,thus an ordinary inverse is not

dancing link简直是求解数独的神器,NOIP2009最后一题靶形数独,DFS 各种改变搜索顺序 都没法过,最后还是用了卡时过得.用dancing link写,秒杀所有数据,总时间才400ms不到..(虽然还不是很清楚为什么会快). 一开始还是先看这个blog,图文都非常清晰 http://www.cnblogs.com/grenet/p/3145800.html 上文解释了dancing link的原理,可以用来解决精度覆盖问题,但是求解数独问题还需要一步转化. 见博文: http:/

题目链接 题意: 一个n*n 的木板 ,每个格子 都 可以 染成 白色和黄色,( 一旦我们对也个格子染色 ,他的上下左右 都将改变颜色): 给定一个初始状态 , 求将 所有的 格子 染成黄色 最少需要染几次?  若 不能 染成 输出 inf. 分析: 和1222差不多,唯一的区别是这个题还要求 最短的步数,其实只需要枚举一下最后的x[][]是否为1,即是否需要按下, 由于只有无解或者解唯一,因为按的顺序是没有影响的,所以只要是有解一定唯一,而且最短的情况是每个格子只按一次, 因为按两次以后就变为

Given an array S of n integers, find three integers in S such that the sum is closest to a given number, target. Return the sum of the three integers. You may assume that each input would have exactly one solution. For example, given array S = {-1 2

Valid Palindrome吐槽一下Leetcode上各种不定义标准的输入输出(只是面试时起码能够问一下输入输出格式...),此篇文章不是详细的题解,是自己刷LeetCode的一个笔记吧,尽管没有代码,可是略微难一点的都会标出主要思路,便于以后复习 PS:题目中有"水题"两字的都是一遍AC,没有标注的都说明了问题,顺序依照Leetcode上时间倒序排列,少量题目因为和之前的题目有相关性,因此将其放在一起,比方12题和13题,因此中间可能会"缺少"几道题目,缺少的

数论. 如果$x$不唯一,假设存在两个解,较大的为${x_1}$,较小的为${x_2}$. 那么, $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}\% {c_i} = {x_2}\% {c_i}}\\{{x_1}\% k \ne {x_2}\% k}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{({x_1} - {x_2})\% {c_i} = 0}\\{({x_1} - {x_

[T1] [简要题意]   长度为N的括号序列,随机确定括号的方向:对于一个已确定的序列,每次消除相邻的左右括号(右左不行),消除后可以进一步合并和消除直到不能消为止.求剩下的括号的期望.\(N \leq 2000\),保留三位小数. [做题过程]   看上去一道傻逼题,又让我涨姿势了.   直接按长度DP咯?仔细一想,要记录一直延续至今的待消左括号个数,所以起码是二维.所以就是 \(F_{i,j}\) 表示处理了前i个点,目前有j个待消的左括号.写了一半我才发现一个问题, $F_{i,j} $

<principles of model checking>中的离散时间马尔科夫链 说明:此文为我自学<principles of model checking>第十章内容的笔记. 一.离散时间马尔可夫链的定义,目标问题和一些辅助定义. 二.将迁移系统转化为矩阵表达及一简例 三.列出方程X=AX+B 四.对于解该方程的一点个人想法 五.作者给出的解法 一.离散时间马尔可夫链的定义,目标问题和一些辅助定义. 一个离散时间马尔可夫链定义为一个五元组,其中 S:一个可数非空集合,元素为状

关于问题求解,书中有一个实际的案例. 上图是一个交叉路口的模型,现在问题是,怎么安排红绿灯才可以保证相应的行驶路线互不交错. 第一步,就是把问题弄清楚. 怎么能让每一条行驶路线不冲突呢? 其实,就是给所有的行驶路线分组(这样保证了安全问题,不会撞车). 并且,所做的分组应该尽可能大一些,用以提高路口的通行效率(经济问题,如果一个组一条路线,虽然不会撞车,但是等待的时间会很长). 有了上面的最大化分组的想法.那么就进一步将问题具体化. 这个路口有13个可供行驶的方向:AB,AC,AD,BA,BC,

课件:Lecture 3: Planning by Dynamic Programming 视频:David Silver强化学习第3课 - 动态规划(中文字幕) 动态规划 动态(Dynamic): 问题中的时序部分 规划(Planning): 对问题进行优化 动态规划将问题分解为子问题, 从子问题的解中得到原始问题的解. 动态规划的性质 最优子结构(Optimal substructure) 应用最优性原则(Principle of optimality) 最优解可以从子问题的最优解中得到 重

标题:大臣的旅费 很久以前,T王国空前繁荣.为了更好地管理国家,王国修建了大量的快速路,用于连接首都和王国内的各大城市. 为节省经费,T国的大臣们经过思考,制定了一套优秀的修建方案,使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达.同时,如果不重复经过大城市,从首都到达每个大城市的方案都是唯一的. J是T国重要大臣,他巡查于各大城市之间,体察民情.所以,从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情.他有一个钱袋,用于存放往来城市间的路费. 聪明的J发现,如果不在某个城市停下来修整

Problem A: 序列 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 12  Solved: 9[Submit][Status][Web Board] Description 作为一名火星人,你为了占领地球,需要想方设法使地球人失去信心.现在你获得了一项能 力,控制今后n天的天气温度,对于第i天,你能将温度控制在[ai,bi]中任意一个数字,你的 目的是使其中某段时间,温度持续不下降,趁此来攻击地球.现在问你最多可以使连续的多 少天满足温度不