FFT/NTT/MTT Tags:数学 作业部落 评论地址 前言 这是网上的优秀博客 并不建议初学者看我的博客,因为我也不是很了解FFT的具体原理 一.概述 两个多项式相乘,不用\(N^2\),通过\(FFT\)可以把复杂度优化到\(O(NlogN)\),\(NTT\)能够取模,\(MTT\)可以对非\(NTT\)模数取模,相对来说\(FFT\)常数小些因为不要取模 二.我们来背板子(FFT) 先放一个板子(洛谷P3803 [模板]多项式乘法(FFT)) #include<iostream>

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4245 三模数NTT: 大概是用3个模数分别做一遍,用中国剩余定理合并. 前两个合并起来变成一个 long long 的模数,再要和第三个合并的话就爆 long long ,所以可以用一种让两个模数的乘积不出现的方法:https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/79477797 x*m1+a1 = -y*m2 + a2  <==>  x*m1+y*m2

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4245 用三模数NTT做,需要注意时间和细节: 注意各种地方要取模!传入 upt() 里面的数一定要不超过2倍 mod! 乘法会爆 long long 时用快速乘! 两次合并的模数,第一次是 (ll) p1*p2,第二次直接对题目的模数取模即可! 注意局部开 (ll)! 合并时用到的逆元每次都一样,所以要先处理好而不是现场快速幂算!! 然而为什么时间还是 Narh 的两倍! 一晚上的心血... 代码如下: #i

本来一直都是写\(7\)次的\(MTT\)的--然后被\(shadowice\)巨巨调教了一通之后只好去学一下\(4\)次的了-- 简单来说就是我们现在需要处理一类模数不为\(NTT\)模数的情况 这里是板子 三模\(NTT\) 跑的很慢而且我也不会,这里就不说了 拆系数\(FFT\) 两个多项式\(P(z),Q(z)\),我们把它们的系数拆成 \[A(z)=\sum_{i=0}^\infty (P_i>>15)z^i,B(z)=\sum_{i=0}^\infty (P_i\&3276

FFT&NTT总结 一些概念 \(DFT:\)离散傅里叶变换\(\rightarrow O(n^2)\)计算多项式卷积 \(FFT:\)快速傅里叶变换\(\rightarrow O(nlogn)\)计算多项式卷积 \(NTT:\)快速数论变换\(\rightarrow\)对\(FFT\)的常数优化 \(MTT:\)\(NTT\)的一些拓展 FFT 多项式&卷积 设\(A(x)\)表示一个\(n-1\)次多项式 则\(A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\) 而卷积就是两个

网上相关博客不少,这里给自己留个带点注释的模板,以后要是忘了作提醒用. 以洛谷3803多项式乘法裸题为例. FFT: #include <cstdio> #include <cmath> #include <cctype> #include <algorithm> #define ri readint() #define gc getchar() int readint() { , s = , c = gc; ) c = gc; , c = gc; + c

打算写一个多项式总结. 虽然自己菜得太真实了. 好像四级标题太小了,下次写博客的时候再考虑一下. 模板 \(FFT\)模板 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <cctype> #include <algorithm> #define rin(i,a,b)

目录 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 引入 快速数论变换--NTT 一些引申问题及解决方法 三模数 NTT 拆系数 FFT (MTT) 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 \(NTT\) 在某种意义上说,应该属于 \(FFT\) 的一种优化. --因而必备知识肯定要有 \(FFT\) 啦... 如果不知道 \(FFT\) 的大佬可以走这里 引入 在 \(FFT\) 中,为了能计算单位原根 \(\omega\) ,我们使用了 \(\text{C++}\) 的 math 库中的

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF

  进阶篇戳这里. 目录 何为「多项式」 基本概念 系数表示法 & 点值表示法 傅里叶(Fourier)变换 概述 前置知识 - 复数 单位根 快速傅里叶正变换(FFT) 快速傅里叶逆变换(IFFT) 迭代实现 例题 「洛谷 P3803」「模板」多项式乘法(FFT) 题意简述 数据规模 快速数论变换(NTT) 原根 实现 NTT 模数 奇怪的模数 - 任意模数 NTT 三模 NTT 拆系数 FFT(MTT) 七次转五次 五次转四次 例题 「洛谷 P4245」「模板」任意模数 NTT 题意简述 数

几周前搞了搞--有点时间简要整理一下,诸多不足之处还请指出. 有哪些需要理解的地方? 点值表示:对于多项式 \(A(x)\),把 \(n\) 个不同的 \(x\) 代入,会得出 \(n\) 个不同的 \(y\),在坐标系内就是 \(n\) 个不同的点,那么这 \(n\) 个点唯一确定该多项式 为什么引入单位根 \(\omega\) 作为变量 \(x\):若代入一些 \(x\) ,使每个 \(x\) 的若干次方等于 \(1\),就不用做全部的次方运算了 单位根的性质:于是可以分治实现 \(FFT\

传送门 多项式求逆的解法看这里 我们考虑用分治 假设现在已经求出了$[l,mid]$的答案,要计算他们对$[mid+1,r]$的答案的影响 那么对右边部分的点$f_x$的影响就是$f_x+=\sum_{i=l}^{mid}f[i]g[x-i]$ 发现右边那个东西可以用卷积快速计算 那么只要一边分治一边跑FFT统计贡献就行了 说是分治FFT实际上代码里写的是NTT…… 而且分治FFT跑得好慢多项式求逆的速度是它的10倍啊…… //minamoto #include<iostream> #incl

数论变换NTT 前置知识 FFT:NTT的思想和FFT一样(FFT介绍) 概述 数论变换,即NTT(Number Theory Transformation?),是基于数论域的FFT,一般我们默认FFT为负数域上的快速傅里叶变换,和NTT区分. 我们知道,FFT是利用单位复根的周期性,以\(\Theta(N \log N)\)的复杂度计算\(N\)组多项式的值.NTT其实就是在数论域上的FFT,它利用素数取模的周期性,达到了和FFT一样的效果. 原根 若\(a\)模\(P\)的阶等于\(φ(P)

首先,在写这篇博客之前,我还没有完全学会FFT. 先把会的部分打好,加深一下记忆(也可以说是做笔记吧). 初三了,还不会FFT,要退役喽-- 多项式乘法 点开这篇博客之前,你就应该知道,FFT是用来求多项式乘法的. 什么是多项式,什么是多项式乘法? 不讲.初一内容. 如果要求多项式乘法,有一个非常显然的做法,就是暴力. 时间复杂度是O(N2)O(N^2)O(N2)的,很朴素. 然而FFT这个东西可以将其复杂度优化到O(Nlg⁡N)O(N\lg N)O(NlgN). 点值表示法 对s于一个多项式A

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 一些概念@ @2 - 傅里叶正变换@ @3 - 傅里叶逆变换@ @4 - 迭代实现 FFT@ @5 - 参考代码实现@ @6 - 快速数论变换 NTT@ @7 - 任意模数 NTT@ @三模数 NTT@ @拆系数 fft (mtt)@ @8 - 例题与应用@ @分治 FFT@ @多维卷积@ @循环卷积@ @多项式求逆,除法与取模@ @多点求值与快速插值@ @多项式开方,对数,指数,三角与幂函数@ @0 - 参考资料@ Miskcoo's Space 的讲解

LINK:5.15 T1 对于60分的暴力 都很水 就不一一赘述了. 由于是询问所有点的这种信息 确实不太会. 想了一下 如果只是询问子树内的话 dsu on tree还是可以做的. 可以自己思考一下. 如果强行dsu的时候做 会发现点对和点对之间难以解决. 考虑正解 点分治: 当x为分治中心还是需要统计点对和点对之间的贡献. 和刚才几乎一样.不过这个时候可以发现 需要对每个点都求一个答案. 对于深度为w的点 那么 贡献为\(\sum_{j=w}^{n}c_{j-w}a_j\) 其中\(c_x\

一.简介 前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 \(\sin,\cos\) 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根 与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 \(p\),若

NTT 先学习FFT 由于FFT是使用复数运算,精度并不好,而且也无法取模,所以有了NTT(快速数论变换). 建议先完全理解FFT后再学习NTT. 原根 NTT使用与单位根性质相似的原根来代替单位根. 定义:设\(m\)是正整数,\(a\)是整数,若\(a\)模\(m\)的阶等于\(φ(m)\),则称\(a\)为模\(m\)的一个原根. 如果你不知道阶 定义:对于\(an≡1(modp)an≡1(modp)\)最小的\(n\),我们称之为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(δp(a)\) 如果你

引入 \(\tt NTT\) 和 \(\tt FFT\) 有什么不一样呢? 就是 \(\tt NTT\) 是可以用来取模的,而且没有复数带来的精度误差. 最最重要的是据说 \(\tt NTT\) 常数小的很,可以在这一方面吊打 \(\tt FFT\) . 至于对于不用取模的多项式乘法怎么做,可以给他附一个非常大的模数. 但是如果遇到有非整数的系数的多项式还是只能看 \(\tt FFT\) 了. 正文 \(\tt NTT\) 的前置知识比 \(\tt FFT\) 的要简单的多. 原根 对于 \(p

数学什么的....简直是丧心病狂啊好不好 引入:Q1:前n个数中最多能取几个,使得没有一个数是另一个的倍数   答案:(n/2)上取整 p.s.取后n/2个就好了 Q2:在Q1条件下,和最小为多少 答案:从n/2向前枚举,对于每个数,倍增考虑后面选的数有多少个是它的倍数,如果只有一个,就用当前数替换后面的那个 (复杂度:nloglogn) 正文: 一.gcd与exgcd gcd(a,b)=gcd(b%a,a)  exgcd:已知Ax≡B (%C) 则Ax+By=C int g=gcd(A,B,C