我日啊..被cls的计数题虐得欲仙欲死...根本不会计数QAQ... 不懂数学啊... 前置技能 群 群是二元组\((G,*)\),满足 \(*:(G,G)\rightarrow G\) \(\exists e\in G, \forall x\in G, x*e=x=e*x, \mathtt{(单位元)}\) \(\forall x\in G, \exists y\in G, x*y=e, \mathtt{记}y=x^{-1}, \mathtt{(存在逆元)}\) \(\forall x,y,z

这个计数定理在考虑对称的计数中非常有用 先给出这个定理的描述,虽然看不太懂: 在一个置换群G={a1,a2,a3……ak}中,把每个置换都写成不相交循环的乘积. 设C1(ak)是在置换ak的作用下不动点的个数,也就是长度为1的循环的个数.通过上述置换的变换操作后可以相等的元素属于同一个等价类 那么等价类的个数就等于: 然后理解一下公式 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案?其中,经过转动相同的图象算同一方案. 关于转动,一共有四种置换方法,也就是|G|=4 不动(360度):a1=(1)(2)

置换群 设\(N\)表示组合方案集合.如用两种颜色染四个格子,则\(N=\{\{0,0,0,0\},\{0,0,0,1\},\{0,0,1,0\},...,\{1,1,1,1\}\}\),\(|N|=2^4\). 对于\(N\)上的所有置换,它们组成的群称为置换群,记为\(G\).\(G\)中任意两个置换的积仍在\(G\)中. Burnside引理 又称轨道计数定理.Burnside计数定理.Cauchy-Frobenius定理.Pólya-Burnside引理. 定理描述为:\(等价类数量=\

[BZOJ1478]Sgu282 Isomorphism 题意:用$m$种颜色去染一张$n$个点的完全图,如果一个图可以通过节点重新标号变成另外一个图,则称这两个图是相同的.问不同的染色方案数.答案对$P$取模. $n\le 53,m\le 1000,P>n,P$是质数. 题解:对于本题来说,每个元素是所有边,每个置换是边的置换,而边的置换难以表示,点的置换容易表示,所以我们考虑点置换和边置换的关系. 如果两个点置换有着相同的结构,则它们对应的边置换的循环数相同. $$\begin{pmatri

Burnside's lemma 引例 题目描述 一个由2*2方格组成的正方形,每个格子上可以涂色或不涂色, 问共有多少种本质不同的涂色方案. (若两种方案可通过旋转互相得到,称作本质相同的方案) 解法 每个格子可以涂色,可以不涂色,共有16种方案.将16种方案编号. 把本质相同的方案合并: 方案1:{1},方案2:{2}, 方案3:{3,4,5,6},方案4:{7,8,9,10}, 方案5:{11,12},方案6:{13,14,15,16}, 共6种方案. 旋转可以看作是置换,所有置换组成置换

目录 @0 - 参考资料@ @1 - 问题引入@ @2 - burnside引理@ @3 - pólya定理@ @4 - pólya定理的生成函数形式@ @0 - 参考资料@ 博客1 @1 - 问题引入@ 一个经典问题: 一正方形分成4格,2着色,有多少种方案? 其中,经过转动相同的图象算同一方案. 假如不考虑转动,各种方案如下所示. 首先可以发现,转动的角度只有 4 种:0°,90°,180°,270°. 然后可以得到,每一次转动可以将一个方案唯一映射成另一个方案(可以是自身). 于是我们可以

群 群的定义 在数学中,群是由一种集合以及一个二元运算所组成的,符合"群公理"的代数结构. 一个群是一个集合 \(G\) 加上对 \(G\) 的二元运算.二元运算用 \(\cdot\) 表示,它结合了任意两个元素 \(a\) 和 \(b\) 形成了一个属于 \(G\) 的元素,记为 \(a\cdot b\). 群的公理化定义 群公理包含下述四个性质(有时略去封闭性,只有三个性质).若非空集合 \(G\) 和 \(G\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((G,\cdot

前言 我什么都不会,菜的被关了起来. 有标号的DAG图I Solution 考虑递推,设\(f_i\)表示i个点的答案,显然这个东西是可以组合数+容斥递推? 设\(f_i\)表示i个点的答案,我们考虑假设现在有j个点入度为1,那么可以选出的点就是一个组合数\(C_i^j\),边的可能性有两种,对应的就是\(2^{j*(i-j)}\),然后接着搞,肯定这样子算会有重复的,所以容斥一下然后和以前的答案乘起来就好了. \(f_i=\sum_{j=1}^{i}f_{i-j}*-1^{j-1}*C_i^j

[POJ2154]Color 题意:求用$n$种颜色染$n$个珠子的项链的方案数.在旋转后相同的方案算作一种.答案对$P$取模. 询问次数$\le 3500$,$n\le 10^9,P\le 30000$ 题解:旋转i次的循环个数显然是$gcd(i,n)$,然后套用Pólya定理. $$ans=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)}$$ $$ans=\sum\limits_{i=1}^nn^{gcd(i,n)-1}$$ $$ans=\sum\limit

[POJ2409]Let it Bead 题意:用$m$种颜色去染$n$个点的环,如果两个环在旋转或翻转后是相同的,则称这两个环是同构的.求不同构的环的个数. $n,m$很小就是了. 题解:在旋转$i$次后,循环节的个数显然是$gcd(i,n)$. 如果考虑翻转,我们将点从$0$到$n-1$标号,令其先以0到圆心的连线为对称轴翻转,再旋转i次,则原来编号为x的会变成$n-x+i \mathrm{mod} n$,令$n-x+i=x \mathrm{mod} n$,则$2x=i$或$2x=n+i$.

听大佬们说了这么久Pólya定理,终于有时间把这个定理学习一下了. 置换(permutation)简单来说就是一个(全)排列,比如 \(1,2,3,4\) 的一个置换为 \(3,1,2,4\).一般地,我们记 \(i\) 到 \(a_i(1<=i<=n)\) 的一个置换为 \[ \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{matrix} \r

[合集]有标号的DAG图计数(合集) orz 1tst [题解]有标号的DAG计数1 [题解]有标号的DAG计数2 [题解]有标号的DAG计数3 [题解]有标号的DAG计数4

生物医学大数据-蛋白质定量 现今肽段定量效率存在巨大差异.比如相同质量蛋白质,但是肽段和蛋白信号不均一,在物理条件一致时,仅有70%的重复率,并且当重复次数变多时,overlapping在变少. 无标定量法 方法一是针对二级色谱的谱图计数,即统计二级色谱的数量,数量越多则蛋白丰度越高,但相同丰度蛋白也有不同的二级色谱数,所以算法目的是减少噪音. 方法二是针对一级色谱的离子流色谱峰XIC,即每个肽段的离子流色谱峰,可以取同一个肽段不同时间点上的信号强度,连接成峰,通过求该曲线的曲线下面积获取曲线信

在介绍\(Polya\) 定理前,先来介绍一下群论(大概了解一下就好): 群是满足下列要求的集合: 封闭性:即有一个操作使对于这个集合中每个元素操作完都使这个集合中的元素 结合律:即对于上面那个操作有结合律 单位元:对于\(a * e = a\)则称\(e\)是集合\(A\)对于操作\(*\)(并不一定是相乘)的逆元 逆元:即有\(a * b = b * a = e\)对于元素\(a\)有逆元 置换群: 考虑这样的一个全置换集合,可以验证该集合为群.(置换不懂的话建议右转百度,这里不细说) 接下

本篇口胡写给我自己这样的什么都乱证一通的口胡选手 以及那些刚学Matrix-Tree,大致理解了常见的证明但还想看看有什么简单拓展的人- 大概讲一下我自己对Matrix-Tree定理的一些理解.常见版本的证明.我自己的证明,以及简单的一些应用(比如推广到有向图.推广到生成树边权的乘积和什么的,非常基础). 应该看到这里的人都知道Matrix-Tree定理是干什么的吧-就是统计一个无向图的生成树个数,表示成一个行列式. 1.前置定义及性质 首先是Matrix-Tree定理相关的定义:对于一个无向图

Burnside & Pólya (详细内容请参阅<组合数学>或2008年cyx的论文,这里只写一些我学习的时候理解困难的几个点,觉得我SB的请轻鄙视……如果有觉得不科学的地方欢迎留言) Burnside: 我们要证明的是:$$N(G,C)=\frac{1}{|G|} \sum_{f \in G}|C(f)|$$ 难点一:非等价着色数=等价类数目($N(G,C)$),这其实是从等价类的定义来的...因为一个等价类表示着一种与众不同的染色方案,当然有多少个等价类就有多少种非等价染色方案啦

题目链接 \(Description\) 一个国家有1~n座城市,其中一些城市之间可以修建高速公路(无自环和重边). 求有多少种方案,选择修建一些高速公路,组成一个交通网络,使得任意两座城市之间恰好只有一条路径. \(Solution\) 生成树计数 直接上Matrix Tree 无解情况别忘了判 MatrixTree定理大体见这吧,证明别的应用什么的先不管了. 基尔霍夫矩阵=度数矩阵-边矩阵. #include <cmath> #include <cstdio> #include

定理: 1.设G为无向图,设矩阵D为图G的度矩阵,设C为图G的邻接矩阵. 2.对于矩阵D,D[i][j]当 i!=j 时,是一条边,对于一条边而言无度可言为0,当i==j时表示一点,代表点i的度. 即: 3.对于矩阵C而言,C表示两点之间是否存在边,当i==j时为一点无边可言为0,即: 4.定义基尔霍夫矩阵J为度数矩阵D-邻接矩阵C,即J=D-C; 5.G图生成树的数量为任意矩阵J的N-1阶主子式的行列式的绝对值. 证明: 伪证明,不是证明基尔霍夫定理,而是讲一下原理,证明超过我们所需要使用的范

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4980 题目大意 \(n\)个物品图上\(m\)种颜色,求在可以旋转的情况下本质不同的涂色方案. 解题思路 既然是群论基本题就顺便写一下刚刚了解到的相关知识把(顺便消磨一下时间 一个群\((G,\times )\)定义为一个在运算\(\times\)下满足以下条件的集合 封闭性:若存在\(a,b\in G\)那么有\(a\times b\in G\) 交换律:若有\(a,b,c\in G\)那么有\((a\ti

Necklace of Beads Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 9162   Accepted: 3786 Description Beads of red, blue or green colors are connected together into a circular necklace of n beads ( n < 24 ). If the repetitions that are pro

Description 曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加 强大的粒子流的神秘装置.超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升.它有三个参数n,k.它会 向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流.现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数,让你求 其发射的粒子流的威力之和模2333. Input 第一行一个整数t.表示数据组数. 之后t行,每行二个整数n,k.含义如题面描述. k<