【题解】洛谷P1066 [NOIP2006TG] 2^k进制数(复杂高精+组合推导)

洛谷P1066：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1066

思路

挺难的一道题 也很复杂

满足题目要求的种数是两类组合数之和

r的最多位数m为

1. w/k（当w mod k=0 时）
2. w/k+1（当 w mod k=1 时）

First:

位数为2~m的种数

即从2^k-1中不重复地取i个的组合数(只取到2^k-1是因为2^k会进位)

即C(2^k-1,2)+C(2^k-1,3)+...+C(2^k-1,m)

Second:

位数为m+1的种数

因为要每个数严格小于左边

所以枚举第一位的值i 再取其他的组合数C(2^k-1-i,m)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int total[];//存高精ans
int k,w,n,m,c;
int gcd(int a,int b)
{
    if(a%b==) return b;
    else return gcd(b,a%b);
}
void C(int n,int m)
{
    if(n<m) return;
    int a[],b[],x,g;
    for(int i=m;i>=;i--)
    {
        a[i]=n+i-m;//分子的因子n!/(n-m)!
        b[i]=i;//分母的因子m!
    }
    for(int i=;i<=m;i++)//约分 去掉分母b[i]
    {
        if(b[i]==) continue;
        for(int j=m;j>=;j--)//高精除法
        {
            x=gcd(b[i],a[j]);
            b[i]/=x;
            a[j]/=x;
            if(b[i]==) break;
        }
    }
    memset(b,,sizeof(b));
    b[]=,b[]=;
    for(int j=;j<=m;j++)//约分后的分子相乘
    {
        g=;
        if(a[j]==) continue;
        for(int i=;i<=b[];i++)
        {
            b[i]=b[i]*a[j]+g;//高精乘法
            g=b[i]/;
            b[i]%=;
            if(i==b[]&&g!=) b[]++;//如果还要进位 说明长度要加1
        }
    }
    total[]=max(total[],b[]);
    for(int i=;i<=total[];i++)//高精加法
    {
        total[i]+=b[i];
        total[i+]+=total[i]/;
        total[i]%=;
    }
    if(total[total[]+]!=) total[]++;//如果还要进位 说明长度要加1
}
int main()
{
    cin>>k>>w;
    n=(<<k)-;//2^k-1
    c=w%k;
    m=w/k;//最高位数
    for(int i=m;i>=;i--) C(n,i);//计算位数为2~len-1的组合数
    c=(<<c)-;//最高位可取最大值
    if(c>=&&n>m)//计算位数为len的组合数
        for(int i=;i<=c;i++) C(n-i,m);//第一位取了i 后面只能取n-i 且要取m个
    for(int j=total[];j>=;j--) cout<<total[j];//逆序输出ans
}